无限单元在地基动力反应中的应用

无限单元在地基动力反应中的应用摘要：在地下结构或土体的动力分析中，无限地基的模拟是其中的一个关键问题。本文对无限地基模拟的人工边界方法进行了若干理论探讨，并借助于有限元软件ABAQUS中对各类人工边界进行了算例模拟，最后将无限单元、粘性边界和修正的粘弹性边界的数值计算结果同理论解进行了比较，结果表明，相对于其它人工边界而言无限单元的效果较好，而且使用简单，是无限地基的动力模拟的有效方法。关键词：人工边界，粘性边界，粘弹性边界，无限单元AnalysisandComparisonsofNumericalSimulationsforInfiniteMediumUsingArtificialBoundaryABSTRACT:Thenumericalsimulationofinfinitemediumisaveryimportanttopicindynamicanalysisofundergroundstructuresorsoils.Thispaperinvestigatestheinfluenceofartificialboundaryconditionssuchasviscousboundary,modifiedviscous-springboundary,andinfiniteelementonstructuralanalysisusingthefiniteelementsoftwarepackage,ABAQUS.Thecomparisonofthenumericalresultswiththeclosedformsolutionshowsthattheinfiniteelementismoreeffectiveandmoreaccuratethantheothertwo.Soitisrecommendedtousetheinfiniteelementwhensimulatinginfinitedomains.Keywords:artificialboundary,viscousboundary,modifiedviscous-springboundary,infiniteelement.1.引言在对土体或地下结构进行有限元分析的过程中，必须对实际上近于无限的计算域用某一人为边界截断，才能在有限的区域内划分有限个单元进行计算。这样就不可避免地给计算结果引入截断误差。特别是对于动力分析问题，应力波传到截断边界时将发生反射，常常会给计算结果带来不能允许的误差。这就使得动力分析过程中边界处理问题尤为重要，也吸引了很多学者进行这方面的研究。最初和最简单的人工边界是远置人工边界。1968，Alterman[REF_Ref132620700\h8]首次将无限域用一个很大的有限域来模拟，这种远置人工边界的方法成为现在常用的检验边界精度的一个比较精确的方法。一般认为[REF_Ref132622950\h10]，当人工边界与计算结构的距离为结构特征尺寸5～10倍时，上述远置人工边界可以取得一个较稳定的值。1969年，Lysmer和Kuhlemeyer[REF_Ref132620780\h6]提出了粘性边界条件（viscousboundarycondition）。粘性边界利用在边界上设置法向和切向阻尼器的方法吸收反射波的能量，从而减少边界反射波引入的误差。粘性边界因为使用简单，因此直到现在都应用较多。后来的研究者又提出了粘弹性边界的概念，即在粘性边界的基础上并联一个弹簧，并建立了若干修正模型[REF_Ref132619934\h3]。随着单向波动理论的发展，各国学者开始从波动方程的角度的对人工边界条件进行研究。Lindman首先从偏微分方程构造单侧波动方程的角度来近似模拟人工边界外行波场，并依据这一思路发展了多种人工边界。而最有代表性的则是Clayton和Engquist(1977)提出的旁轴近似人工边界（ParaxialApproximationboundary）。这是70年代和80年代人工边界研究的标志性成果。80年代初期，我国学者廖振鹏[REF_Ref132620827\h7]（1984）在直接模拟单侧波动共同运动学特征的基础上，提出了多次透射人工边界（MTF）。这种边界条件，以边界内节点的位移来推求边界点的位移，使得人工边界变成一种真正的可动边界，但是在实际应用过程中，这种边界给出的计算结果有时会出现低频漂移和高频失稳现象，并且控制参数的选取也带有一定的经验性。下面仅对粘性边界、修正粘弹性边界及有限元软件ABAQUS自带的无限单元进行简要的说明，并对各种边界的计算结果进行对比研究。结果表明，ABAQUS自带的无限单元使用简单，而且具有较高的效率和计算精度。2.各种边界条件的简要说明（1）粘性边界[REF_Ref132620780\h6]1969年，Lysmer和Kuhlemeyer提出了粘性边界条件（viscousboundarycondition）。粘性边界最初的想法是把无限域分成内部域和外部域，从内部域向外部域行进的波应该全部通过，而没有反射，因此，可以把外部域看作是一个波动吸收器或是一个无反射边界。基于这种思想，Lysmer等提出了边界条件用以下公式表示：（SEQ公式\*ARABIC1）其中，分别是边界的法向和切向应力；是介质密度；分别是波和波波速；分别是法向和切向速度。从以上我们可以看出，粘性边界的实质就是在人工边界上施加法向和切向的阻尼器。（2）修正的粘弹性边界[2,3]蜂杜修力奥和赵密农利用敢平面波和远场付散射波经验叠世加来反映外行柿波传播，并在骗推导过程中考锹虑了多角度透键射的影响，然涌后引入无限介去质的线弹性本现构关系建立了珠一种应力人工绩边界条件。屿其中对粘弹性拒边界的食粘猴性系数和恳弹性斗系数各提出一难个经验系数进中行了修正。喝其中对二维问碌题，钩法向和切向的瓶弹簧和阻尼系宜数分别为：刻换嘱法孔向水院稳尊艳漫控心球痛寻粉脑流读丑返（膨SEQ炒锻公严式斥\*AR清ABIC抱语2据）华滋裳（动SEQ款信公耳式牧\*AR跌ABIC赤铅3辽）宅切刻向移巩察在匠业（你SEQ跳筛公孝式邻\*AR扮ABIC眠赌4述）绒幻梦疫伴（蒜SEQ挥带公丢式耽\*AR童ABIC糊众5户）显（日3死）无限单元雪[早REF_R窗ef1326超21207枝\h幸不\*ME却RGEFOR联MAT魂9达]冶无限元的概念灌最早疯由如Ungles妄s证提出，后来经踢过怖Bettes揪s吸，烧Zienki续ewic杯z输等人的发展，惯在使用上已经刊很广泛了。REF_Ref133724134\h捡图主泽1园为整体坐标与鹊局部坐标的映央射简图。其图沉SEQ图\*ARABIC摇1石掘整体坐标与局满部坐标的映射向简图懒F肢ig.1段Mapped钥烈figure礼betwe习en霸whole岭coordi雕nate扛andl挠ocalc亚oordin禽ate泰对于一维的情庆况，整体坐标往与局部坐标之牵间的关系挠可以写为停太欲轰（菠SEQ帽映公奖式滴\*AR疮ABIC肆毁6味）纱从而可以看出终当欲时，尾；秧时，元；铜时，配，符合无限元污映射到无限远漆的条件。怕将泪，肌代入炸式抽（形6分）隶可以得到期，即受弱忍络（盾SEQ峰盾公缺式颠\*AR拾ABIC竭完7塑）膝利用偏插值函数提表达式班，可得想秒劫馒（扇SEQ蕉翠公休式口\*AR瑞ABIC虫杏8精）窗根据无限元艰的压性质定，认为无穷远蔑处的位移为零潮，即侵，因此可得际撕元黑（佛SEQ写疏公调式舞\*AR集ABIC晓东9凝）柿将式沃（适7图）烛代入式可得蛋丧队（剖SEQ奶状公理式忍\*AR竿ABIC蹦有10腰）枕由此得到位移管随着距离的衰抬减函数桨，即位移蓄为无限单元节蹈点位移的错和杰的绍函数遵。提将上述推导的厨无限单元应用厅于静力问题的筑有限元觉分析，颗可以获得很好揭的计算结果；咳但若将其直接骗应用于动力问诉题的有限元分吴析，计算过程蝴中有限单元和脆无限单元的交胃界处仍然会产达生一些散射波找，从而影响计字算精度。下面冶的推导将通过叠给无限单元引楚入分布阻尼的掏方式消除上述滋散射波的影响纺。陡基于垂直入射洗平面体波的考墨虑，假定靠近墓边界的区域的食反应很小请材料处于弹性届状态，钳介质的唇平衡方程愤可以写胜为军勺权榆（赚SEQ驾蜘公爆式裁\*AR挣ABIC稀传11番）昼其中，趋为材料的密度难，抹为介质艺位移冰，扔为应力，类是位置点。驴假设介质变形皮为弹性，则裂式甜（仙1俊1巨）仆解为紧腥袄吗（拘SEQ陶营公畏式萍\*AR承ABIC剥倒12胶）建其中，桨为应变，其中禾，社为拉梅还弹性询常数（其中众为弹性模量，虫为泊松比定）任。对于小变形饰的情况，班，代入式放（就1征1殿）概可得泰超尊杰蚕（俭SEQ核树公旷式灾\*AR罪ABIC乔拐13标）信考虑平面波沿哄轴传播时，对走于压缩波，昏可以得到侨，司，酿；而阴对于剪切波蛙，可以得到伙，宰或者笨，声，呆。习首先在睛边界酬处悲施加廊分布阻尼，肿即父边界上晋的阻尼应黎力为搁，帅，看，棋然后运选择适当的参津数护、渡使稳边界处恋波的反射为零美，导就可以箩达到提高计算恶精度的目的烛。茂设边界处为的蠢入射波为溪，则反射波为盯，酸那么家在盐边界偷处康施加了报分布梦阻尼以后誉总升的峰法向衣应力故可以写与为稍逝触蚕巴（拖SEQ出飞公蝴式锣\*AR待ABIC白爆14矩）举若考虑反射波拍为零，即秩，则式搬REF_R宴ef1332靠01220躲\h香劳霉己传（掩（级1描4诱）疑成立的条件为怨组咸外疯（彻SEQ瞎录公宪式炸\*AR野ABIC嫁崭15棚）冤同理，可得充。将这些分布植阻尼内嵌疫入露ABAQU促S伙中的无限单元诉中蜻就可以进行无债限地基的动力晓模拟。由于无越限单元中非线恒性衰减映射函寸数对分布阻尼移具有调整作用羊，所以索相对于直接加火阻尼器而言，寒ABAQU对S煮中的无限单元肤可以取得更好锣的效果。郑3.汉算例验证松对于无限大的晶土体，边界条湾件对计算精度笼的影响是不可被忽略的，因此做，盛本文馆对不同的边界誓条件咸进行了数值验鸭证国。对于额无限大切各锁向熊同性绸地基会，誉理论解表明躁[晕REF_R霉ef1326坐20827揉\h盖\*M腥ERGEFO哲RMAT巾7糕]遗土体秒自由表面酷的位移幅值为病底部输入位移定幅值吹的体2与倍。潜（从1叨）北提算例情况说明培计算模型阵[抵REF_R晶ef1326托15429集\h弊\*M渴ERGEFO债RMAT眨1赛]云如扭REF_R鹊ef1307鸡22924听\h像屯图拔冶2挥，均匀场地，抓计算物理参数荣为：泊松比玉，质量密度疲，剪切模量漫，剪切波速搭。入射波位移灯过程为产，直入射顽，痒人工边界划定欲的计算范围承，单元大小泪，计算时步顷，计算区各质氧点运动初始条倡件为零。煮图北猪SEQ醋饼图费\*AR奋ABIC够跳2膏均匀场地计算骆示意图季F叶ig.2义Sketch揭mapo量f拖homoge动neous雨field棕（闹2羊）矩各种边界计算改结果及对比a无限单元仙ABAQUS洒自带的往无限单元导在无限元映射煎函数的基础上霉，将分布阻尼笼嵌入到无限单训元中。为了仓尽可能使得扬靠近边界区域急的反应为弹性贷，应使无限单臣元远离我们所兆关心的区域聪。中心区域的竿有限单元部分障的晴单元大小袭为穿，陈而靠近边界的挡有限单元的尺肯寸可以适当放舅大，浊REF_R秀ef1334粒63118谦\h傅鞋图近顷3橡为无限元计算伶模型的简图。废REF_R衔ef1307捷17514帅\h墙反\*ME成RGEFOR笼MAT真图慎冠4俩，REF_Ref130723011\h因\*ME慌RGEFOR虏MAT惩图胆松5呢分别为自由表硬面边界点及中朴间的略两个点的计算溜结果对比。从迈图中可以看出渡，运用胡无限协单元，表面节借点的位移可以茫达著到桃1.胞8剧倍恢到崭2.招4挑倍之间，奏而且中间点的速位移幅值接近另是底部输入位牙移幅值极的蔽2寸倍，并听可以明显欢地享看到滞后效应鸦。永图乖蜜SEQ板映图且\*AR萌ABIC敌股3冶无限元计算模庄型简图航Fig.3貌S呜kethm彩apof里infini汉teele驰men汁t蚁（望a让）掉膛多鱼歇赠(b)押图意造SEQ货蛛图绍\*AR芝ABIC形皇4嗓表面点断A焦（领a蹄）剑、醋B纵（齐b柿）弹的位移时程及袄相应底面位移叹时程曲线煎F舞ig.4酒Thedi积splace府ment-t听imehi壤story刺ofsur桐facep鲜ointA届,Ban让dthe硬corres养pondin渗gbott计ompoi岂nts悦亚图减矮SEQ洒乏图问\*AR版ABIC句简5司表面点送C寇位移时程及相着应底面位移时朱程曲线奖F等ig.5吼Thedi矮splace刻ment求遇timeh陡istory盲ofsu自rface厨point细Cand炊theco贿rrespo鼠nding超bottom桃point解b.办修正的粘弹性圆性边界岂[酒REF_R肌ef1326什19843有\h栽伟\*ME查RGEFOR咽MAT跨2椅,3]灯杜修力和赵密受在原有粘弹性惧边界的基础上害，通过对参数述进行修正，推结导出了修正的席粘弹性边界葵。杜计算中采用文班献REF_Ref132619843\h密2如、REF_Ref132619934\h始3剥中推荐的值，吼取千。惭计算结果的对浇比如佳REF_R考ef1307址23944贴\h跪猎\*ME妈RGEFOR画MAT糠图讯秋6串，REF_Ref130723948\h小\*ME狭RGEFOR哈MAT泼图址摄7分所示。向（炉a垂）牌点侍斧派狭忌（揭b尝）香图糕突SEQ士线图哑\*AR甜ABIC也政6随表面点闲A缴（语a晃）、升B劣（炸b求）友的位移时程及毒相应底面位移接时程曲线垃F钱ig.6码Thedi祝splace闹ment-t到imehi湿story秧ofsur戏facep锡ointA爹,Ban抄dthe夫corres去pondin肾gbott淹ompoi局nts答图气满SEQ谅亮图去\*AR神ABIC骨卸7凉表面点棵C崭的位移时程及奖相应底面位移稍时程曲线什F油ig.7带Thedi季splace矿ment-t售imehi性story膊ofsur食facep行ointC绢andt梢hecor贫respon陵dingb弦ottom然point宵从图中可以看唯出，表面中间肝点的位移幅值厅只为底面输入论位移时程穴的碌1.季8尝倍左右。碗c.告粘性边界衣对于普通的粘旋性边界，标直接苏在边界上施院加切向和法向旅阻尼器程，阻尼系数利挎用式欲（僻1舌5遗）进行计算。射REF_R辣ef1334车67005即\h从犬图夹内8丝、REF_Ref133463556\h君图玉译9速为粘性边界的阿情况下，伏底部位移时程疑与表面位移时烛程曲线价，可以发现，够位移幅值为底算部输入幅值山的遗1.仿4缴倍嘱到戚1.题8阁倍之间。撤（滴a假）驳纽响括埋(b)惨图将动SEQ远玻图搭\*AR煮ABIC违冰8劳表面震点害A浩（管a肤）曾、灰B岩（益b醒）的位移时程垮及相应底面位愈移时程曲线罗F规ig.8闭Thedi咐splace廊ment-t螺imehi斥story耻ofsur竟facep笛ointA涨,Ban殊dthe诱corres丝pondin幸gbott裙ompoi明nts储图贸盟SEQ说圈图李\*AR夜ABIC樱棕9遇表面耽点爱C体的位移时程及糖相应底面位移陈时程曲线瑞F括ig.9县Thedi蒙splace叮ment-t榨imehi抚story猪ofsur励facep辱ointC里andt拖hecor过respon号dingb成ottom驶point4.结论略象从以上的分析盲可见，军人工边界条件踢对无限地基动茫力反应的影响浑是很大的，因损此恰当的人工嫂边界条件是无著限域动力反应校的一个关键问己题。方常规币的粘性边界或棍粘弹性边界是置在边界节点上挂施加阻尼器和东弹簧，这对于朝网格划分有一史定的依赖性，陈并且计算效果门也并不尽如人名意。继本文钻使用蛛有限元软冬件老ABAQU贪S醉中的无限单元距，将算分布阻尼内嵌笼入无限单元中容，从而宜不仅烂避免了清网格依赖性笨，刑还耀可以文借助于状映射柴函数考虑波动娇向外传播过程迎中的衰减以及巧无限远楼处零位移边界杀条件的影响趣。咐同时肉这种单元使用合简单，并且具宫有良好的凶稳定性和收敛葱性扩，每是毕无限地基的动辟力龙模拟的有效方甚法配。参考文献：SEQ折文献劈\*AR蹄ABIC桂1所虑陈原，栏工程场地地震示动相干函数研世究脾[D]篮，同济大学妇博士学位论文歪，指导教师：债李杰苗，矛2005.SEQ池文献努\*AR按ABIC应2定.属赵密益.根粘弹性人工边稀界及其透射人宁工边界的比较飞研究卧[D]盛，北京工业大缺学硕士学位论侧文，指导教师淡：杜修力概，冻2004仅.SEQ逢文献胖\*AR茅ABIC懒3济.暮杜修力，赵密境，王进廷豆.匪近场波动模拟鸭的人工应力边彻界条件纱[J]糟，力学学报，盈Vol.3臂8,No.蹄1箱:慎49励~笔56伙，宿2006.