线性代数期末考试试卷+答案合集

XX义大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1-31

1.若05X=0,则力=。

-12-2

Zv,+x2+x3=0

2.若齐次线性方程组<匹+疝2+七=0只有零解，则％应满足。

X]++七=0

3.已知矩阵A,B,C=（%）”,,，满足AC=C8,则A与8分别是阶矩阵。

a\2

4.矩阵A=a2la22的行向量组线性。

1。31。32,

5.〃阶方阵A满足42-34-5=0,则A-I=。

二、判断正误（正确的在括号内填“J"，错误的在括号内填“X”。每小题2分，共10分）

1.若行列式。中每个元素都大于零，则。〉0。（）

2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）

3.向量组％,a,“中，如果q与a,”对应的分量成比例，则向量组为,4线性相关。

()

0100

1000,.

4.A=，则A-1=4。()

0001

0010

5.若4为可逆矩阵A的特征值，则AT的特征值为4。（）

三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）

1.设A为〃阶矩阵，且|A|=2,则|A|A[=（）。

①2"②2"-'③2"+,④4

2.〃维向量组四,a2，…，（3<s<n）线性无关的充要条件是（）。

①%,a2，…，4中任意两个向量都线性无关

②%,a?，…，中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③%,a?，…，4中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④%,a2,---,%中不含零向量

3.下列命题中正确的是（）。

①任意〃个〃+1维向量线性相关

②任意〃个〃+1维向量线性无关

③任意〃+1个〃维向量线性相关

④任意”+1个〃维向量线性无关

4.设A,8均为n阶方阵，下面结论正确的是（）0

①若A,8均可逆，则A+8可逆②若4,8均可逆，则A8可逆

③若A+B可逆，则A—B可逆④若A+B可逆，贝ijA,B均可逆

5.若匕，v2,匕，匕是线性方程组AX=O的基础解系，则匕+乙+匕+K,是AX=0的（）

①解向量②基础解系③通解④A的行向量

四、计算题（每小题9分，共63分）

X+Qbcd

ax+bcd

1.计算行列式o

abx+ca

abcx+d

解.

xbcdx+〃+/?+c+dbed

ax+bcdx+a+0+c+dx+Z?cd

abx+cdx+〃+/?+c+dh尤+cd

abcx+dx+a+b+c+dbcx+d

1bcd\bcd

1xA-hcd0x00

=(x+〃+Z?+c+d)=(%+a+b+c+d)=(x+a+A+c+d)/

1bx+cd00x0

1bcx+d000x

‘301、

2.设AB=A+28,且4二110,求5。

、014;

2-1-f-5-2-2~

解.(A-2E)8=A(A-2E)-'=2-2-1,B=(A-2EY'A=4-3-2

-111-223

’1-100、’2134、

01-10

3.设5=C=jj；；且矩阵X满足关系式X(C-8)=瓦求X。

001-1

10

0017、0002,

4.问。取何值时,卜列向量组线性相关?

Afi+x2+/=几—3

5.2为何值时，线性方程组,F+&2+X3=一2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多

X]+%2+<^3—2

解时求其通解。

①当awl且aw—2时，方程组有唯一解;

②当4=-2时方程组无解

③当4=1时，有无穷多组解，通解为X

<r「2、'1、(3、

49010

6.设%,%=,%=.求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向

1-1,%=-3-7

⑼、一3)1一77

量用该极大无关组线性表示。

’100、

7.设4=010,求A的特征值及对应的特征向量。

、。21,

五、证明题(7分)

若A是〃阶方阵，且714，=/,同=—1,证明|A+/|=0。其中/为单位矩阵。

XXX大学线性代数期末考试题答案

一、填空题

1.52./IW13.sxs,nxn4.相关

5.A-3E

二、判断正误

1.X2.J3.V4.J5.X

三、单项选择题

1.③2.③3.③4.②5.①

四、计算题

1.

x+abed冗+〃+b+c+dbed

ax+bcdx+a+b+c+dx+bcd

abx+cdx+Q+O+c+dbx+cd

abcx+dx+a+O+c+dbcx+d

\bcd[bed

1x+bcd0x00

=(%+〃+Z?+c+d)=(%+〃+/?+c+d)=(%+Q+6+C+4)/

1bx+cd00x0

1bcx+d000x

2.

-2-1-T-5-2-2

(A-2E)8=A(A-2Ey'=2-2-1,6=(A-2£)一/=4-3-2

-111-223

3.

-1234-■)00O-

01232100

C-B=，（c-B)=

00123210

00014321

-

100O--1000

-2100-2100

[(C-B)T=X=E[(C-6)T=

1-2101-210

01-2101-21

4.

11

u——

22

11

aa=0

|卬ri\~~a--二一（2。+1）~（2Q-2）当a=—或。=1时，向量组外,a,%线性相

822

11

————a

22

关。

5.

①当;Iwl且;Iw—2时，方程组有唯一解;

②当；1=-2时方程组无解

③当；1=1时，有无穷多组解，通解为X

6.

121312131213

4901001-4-201-4-2

(%,a2,a3,a4)=->

1—1—5-70-3-4-1000-16-16

0-3-1-70-3-1-700-13-13

100-2

0102

0011

0000

则a2,ava4)=3,其中q,a2,%构成极大无关组，a4=-2at+2a2+a3

7.

A-100

\AE-川=02-10=("1)3=0

0-22-1

0

特征值4=4=1,对于入1=1,^E-A=0

0

五、证明题

\A+I\=\A+AA|=|A|/+A[=-(/+A)'=-(/+A)

:.2|(/+A]=0,•••|(/+A)=0

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求）

1、设A,8为n阶方阵，满足等式A8=0,贝I」必有（）

(A)A=0或8=0;⑻A+5=0；(C)同=0或冏=0;(D)|A+M=0。

2、A和8均为〃阶矩阵，且（4+8）2=屋+246+1，则必有（）

（A）A=E；（B）B=E；（C）A=8.（D）AB^BA.

3、设A为mx〃矩阵，齐次方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（）

（A）A的列向量线性无关；（B）A的列向量线性相关；

（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关.

4、〃阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）

（A）A的秩小于〃；（B）闾工0；

（0A的特征值都等于零；（D）A的特征值都不等于零；

二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、若4阶矩阵A的行列式⑶=-5,A*是A的伴随矩阵，贝!J|A*卜。

6、A为/jx〃阶矩阵，且—4一2E=0,贝lJ(A+2E)T=

42T

7、已知方程组23a+2x2=3无解，贝=

X

a—2Jl3y4

8、二次型/（七,》2，刍）=2片+3¥+用+2取2+2罚/是正定的，则f的取值范围

是O

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）

1+x111

9、计算行列式O=|I"J'

111+y1

111\-y

10、计算〃阶行列式

玉+3%2…%

』々+3…%

D”=...

为x2•••x„+3

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）

11＞若向量组%,%,火线性相关，向量组%,%，%线性无关。证明：

（1）能有线性表出;

(2)%不能由外,4,线性表出。

12、设A是"阶矩方阵，E是〃阶单位矩阵，A+E可逆，且/(A)=(E-A)(E+A)T。

证明

(1)(£+/(A))(£+A)=2E；

(2)/(/(A))=4。

五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)

’200、

13、设4=032,求一个正交矩阵尸使得P力尸为对角矩阵。

23,

+x2+x3=0

14、已知方程组<X]+2》2+如3=0与方程组/+2工2+》3=4-1有公共解。

2

X]+4X2+ax3=0

求。的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知〃/生,%是它的三个解向量,

且

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1、C；2、D；3、A；4^Ao

二、填空题

5、-125;6、-；7、-1；8、t>-

25o

三、计算题

9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：

xx00

11-x11

D二

00yy

111l-y

x000

第二列减第一列，第四列减第三列得：।°

（4分）

00y0

101-y

按第一行展开得

-x10

D=x0y0

01—y

按第三列展开得

—x0

D^-xy=人2。（4分）

1y

、

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子1+3,再通过行列式的变换化

3=i7

为上三角形行列式

1…

。.缶+3广：3…？

（4分）

1x2•••+3

1々…X,,

住+3）°：°

00­••3

=3"（*>,+3）（4分）

四、证明题

11、证明：

(1)、因为%，%，％线性无关，所以%，出线性无关。，

又％,4，出线性相关，故%能由线性表出。(4分)

r(%,a2,%)=3,

(2)、(反正法)若不，则心能由四，。2，。3线性表出，

不妨设a4=kxa]+k2a2+k3a3。

由(1)知，%能由%,出线性表出，

不妨设/=t1a2+t2«3o

所以。4=匕(廿2+t2。3)+42a2+&3a3,

这表明a2,。3，。4线性相关，矛盾。

12、证明

(1)(£+/(A))(E+A)=[E+(E-A)(E+A)-'](E+A)

=(E+A)+(E-A)(E+A)T(E+A)=(E+A)+(E-A)=2E(4分)

(2)/(/(Q)=[£—/(A)][E+/(A)「

由(1)得：[E+/(A)「=；(E+4),代入上式得

W(A))=[JE-4)(E+A叫(E+4)=加+A)—(一)(E+A尸加+4)

=-(£+A)--(E-/4)=A(4分)

22

五、解答题

13、解：

(1)由|花—A|=0得A的特征值为2,=1，4=2,4=5。(4分)

0、

(2)4=1的特征向量为。-1

1>

4=2的特征向量为&='，

4=5的特征向量为女（3分）

(3)因为特征值不相等，则。，互后正交。（2分）

0

1

（4）将g单位化得Pi凸二屹（2分）

0I0

1I

取「=（P］，P2，P3）

一正0f

1

0a

正

00

(6)P^'AP020（1分）

、0057

14、解：该非齐次线性方程组Ax=8对应的齐次方程组为

Ax=0

因R（A）=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它

的基础解系。（5分）

另一方面，记向量J=2〃i-（%+%），则

=4(27一〃？一〃3)=24彷一Az?2—=2b-b-b=0

直接计算得4=（3,4,5,6）「HO,J就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构

知，原方程组的通解为

，3、，2、

_43

x=殆+7=k$keR0(7分)

4

、6,.

15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组：

X1+%2+兀3=°，

xx+2X2+ax3=0,

2

+4X2+ax3=0,

$+2尤2+%=a-1.

若此非齐次线性方程组有解，则①与②有公共解，且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵N作初等行变换得:

"1110、‘1110、

12a001(3-10

X=->.(4分)

14a2000(a—2)(〃—1)0

J21"1,、00I—a6z—1?

1°当。=1时，有r(A)=r(Z)=2<3,方程组③有解,即①与②有公共解，其全部公共解即

为③的通解，此时

f1010"|

(0000)

’-1、

则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为：0

<1>

Jp

所以①与②的全部公共解为左0,a为任意常数.(4分)

2°当a=2时，有"4)=«4)=3,方程组③有唯一解，此时

"1000、

0101

001-1

、0000,

j01f01

故方程组③的解为：1,即①与②有唯一公共解.丫=1.（4分）

线性代数习题和答案

好东西

第一部分选择题（共28分）

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式孙3,2=m,a'3卬』，则行列式0+a^等于（）

321a22a0332]a^]a"+a23

A.m+nB.一(m+n)

C.n-mD.m-n

‘100、

2.设矩阵人=020,则A-1等于（）

<003；

1

-Oo

310o

11

o-Oo-o

A.22

O011

OO

3-

(1

-00

—002

3

010D.0-0

13

00001

'3-12、

3.设矩阵A=10-1,A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1,2）的元素是（)

「214>

A.-6B.6

C.2D.-2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有()

A.A=0B.B声C时A=0

C.Aw0时B=CD.IAI#0时B=C

5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（)

A.1B.2

C.3D.4

6.设两个向量组a”a2,（^和即，g，…，6,均线性相关，则（)

A.有不全为0的数人1，A.2,入s使AIa什X.2a2+…+入sas=0和入।B1+入2B2+…As。s=0

B.有不全为0的数人1，入2,…，3使人।(a|+61)+入2(a2+82)+…+入s(as+B.)=0

C.有不全为0的数人1，A2,…，As使人］(aI)+82(az—B?)+…+入s(as-3s)=0

D.有不全为0的数人”A2)—,L和不全为0的数NI，u2,…,使入ia|+入2a2+…+、sas=0

和」1B1+U2）2+…+us0s=0

7.设矩阵A的秩为r,则A中（)

A.所有r-l阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有•个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,”是其任意2个解，则下列结论错误的是（)

B.|Oi+gL是Ax=b的一个解

A.ni+n2是Ax=o的一个解

c.n「n2是Ax=o的一个解D.2nrn2>Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

A.秩（A）<nB.秩（A）=n-1

C.A=0D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是•个n（，3）阶方阵，下列陈述中正确的是（)

A.如存在数人和向量a使Aa=入a,则a是A的属于特征值人的特征向量

B.如存在数人和非零向量a,使（人E-A）a=0,则入是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同•个特征向量

D.如入X2,入3是A的3个互不相同的特征值，a（,a2,5依次是A的属于A”X2,入3的特

征向量，则a|,a2,<13有可能线性相关

11.设入。是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入o的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（)

A.kW3B.k<3

C.k=3D.k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（)

A.IAF必为1B.IA必为1

C.A-I=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC则（)

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（)

2334

A.B.

,34.26,

‘100、♦1r

C.02-3D.120

<0-35>J02>

第二部分非选择题(共72分)

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空

格内。错填或不填均无分。

111

15.356=.

92536

16.设A=(；；[，B=C]；).则A+2B=-----------1

17.设A=(aijbx3，IAI=2,Ajj表示IAI中元素a.的代数余子式(i,j=l,2,3),则

(a|1A2।+a12A22+a13A23)~+(a21A21+a22A22+a23A23)~+(a31A2।+a32A22+a33A23)~=.

18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则a=.

19.设A是3X4矩阵，其秩为3,若山，112为非齐次线性方程组人*=1)的2个不同的解，则它的通解

为.

20.设A是mXn矩阵，A的秩为r«n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数

为.

21.设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+6与a-B的内积(a+B,a-0)=,

22.设3阶矩阵A的行列式IAI=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.

(0106](2、

23.设矩阵A=1-3-3,已知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为一

「2108)[2)

24.设实二次型f(X|,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为

三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)

'120、

/23-1A

25.设A=340B二.求(1)ABT；(2)I4AL

1-24

-121>

31-12

26.试计算行列式:13-4

201-1

1-53一3

试判断a4是否为a”a2,a3的线性组合；若是,则求出组合系数。

'I-2-102

-2426-6

29.设矩阵人=0,

2-10A23

、33334,

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

‘0-22'

30.设矩阵A=-2-34的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T“AT=D.

、24-3,

31.试用配方法化卜列二次型为标准形

f(Xj,X2,X3)=xf+2x9-3x：+4X]X2-4X]X3-4x2X3，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.设是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，（，g2是其导出组Ax=0的一个基础解系试证明

（1）n尸no+1,12=110+&2均是人*=1）的解；

（2）Ho,Hl,n?线性无关。

答案:

一、单项选择题（本大题共14小题,每小题2分，共28分）

1.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.D14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15.6

17.4

18.-10

19.ni+c(nI)(或n2+c(。2-Qi))，C为任意常数

20.n-r

21.-5

22.-2

23.1

24.Z：+Z2+Z3-7-4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

120V2-2、

25.解(1)ABT=34034

「121八—10>

86

=1810

、31。

(2)I4AI=43IAI=64IAI,而

12()

IAI=34()

-121

所以14Al=64•(-2)=-128

31-1251-11

-513-4-1113-1

26.解

201-10010

1-53-3-5-530

51

-11-1

-50

511

-62

-620=30+10=40.

-5-5

-5-50

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

’223」-4-、3

(A-2E)■=1-10-5-3

<-l2L64;

-4-3V423、

所以B=(A-2E)-IA=1-5-310

64;23>

3-8-6、

2-9-6

-2129>

,-230]-53-2、

1-30-11-30-1

28.解一->

02240112

<34-19;<013-1⑵

035、<1035、

02012

■»

0088001

<00-14-14；<0000；

口002、

001

00

<0000；

所以a4=2aj+a2+a3,组合系数为（2,1,1).

—考a4=x]a1+X2a2+X3a3,

—2x]+x2+3x3=0

即X-X2=T

2x2+2x3=4

3x]+4x2—X3—9.

方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).

29.解对矩阵A施行初等行变换

'1-2-I02'

0006-2

0328-2

.0963-27

(1-2-102]