211二重积分概念

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很好的教案

其次十一章二重积分

1二重积分概念

教学目的把握二重积分的定义和性质．教学内容二重积分的定义和性质．

(1)基本要求：把握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2)较高要求：平面点集可求面积的充要条件．教学建议

(1)要求学生必需把握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简单介绍．

(2)对较好学生可详细陈述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题．教学程序

一、平面图形的面积

（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念

直线网T分割平面图形P，T的网眼中小闭矩形i的分类：（ⅰ）i含的全是P的内点,

（ⅱ）i含的全是P的外点（不含P的点）,（ⅲ）i内含有P的边界点,记sPT为T的第ⅰ类i的面积的和．记SPT为T的第ⅰ和第三类i的面积的和．记IP=记IP=

supsPTT，称为P的内面积．

infSPTT，称为P的外面积．

定义1若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP，则称P为可求面积，并称其共同值IP=IP=IP为P的面积（约当，黎曼测度）

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定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的0，总存在直线网T，使得

SPTsPT.（2）

证明[必要性]设平面有界图形P的面积为IP．由定义1，有IP=P=IP．对任给的，由IP及P的定义知道，分别存在直线网T1与T2，使得

sPT1IP,SPT2IP

22，

记T为由T1与T2这两个直线网合并的直线网，可证得

sPT1sPT，SPT2SPT，(3)

于是由（3）可得

sPTIP

2

,SPTIP

2，

从而得到对直线网T有SPTsPT，

[充分性]对任给的0，存在直线网T，使得（2）式成立．但

sPTPIPSPT，

所以IPPSPTsPT，

由的任意性，因此P=IP，因而平面图形P可求面积．

推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积IP0，即对任给的0，存在直线网T，使得，

SPT，

或对任给的0，平面图形P能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖．定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．

证明由定理21．1，P可求面积的充要条件是：对任给的0，存在直线网T，使得SPTsPT．由于

SKTSPTsPT，

所以也有SKT．由上述推论，P的边界K的面积为零．

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定理21.3若曲线K为由定义在a,b上的连续函数fx的图象，则曲线K的面积为零

证明由于fx在闭区间a,b上连续函数，从而一致连续．因而对任给的

0，总存在0，当把区间a,b分成n个小区间xi1,xii1,,n并且满足maxxixixi1i1,,n时，可使在每个小区间xi1,xi上的振幅都成立i

ba．现把曲线K按自变量xx0,x1,,xn分成n个小段，这时每一个小段

都能被以xi为宽，i为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为

x

ii1

n

i

ba

x

i1

n

i

，

所以由定理21．1的推论即得曲线K的面积为零．

还可证明得到：由参量方程xt,Ytt所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．二、二重积分的定义及其存在性

背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限〞的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀〞问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．

定义设fx,y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域：

1,2,,n,以i表示i的面积，这些小区域构成D的一个分割T，

以di表示i的直径，称

n

maxdi1in为分

f(i,i)i

,iTii割的细度，在每一个上任取一点（），作和式：i1

称之为函数在上属于分割的一个积分和．

，

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定义2设fx,y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于D的任何分割T，当它的细度时，属于T的所有积分和都有

f(,)

i

i

i1

N

i

J

，

则称fx,y在D上可积，数J称为函数fx,y在D上的二重积分，记作

J=

fx,yd

D

，

其中fx,y称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域．

fx,y0几何意义：当时，二重积分D

为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.

直角坐标系下可表示为：

fx,yd

在几何上表示以zfx,y

fx,ydfx,ydxdy

D

=

D

.

可积的必要条件：fx,y在可求面积的区域D上有界

函数fx,y在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域1,,n，令

Misupfx,y

x,yi

，

miinffx,y

x,yi

，i1,,n

fx,y关于分割T的上和与下和：

STMiisTmii

II,.

N

N

定理21.4fx,y在D上可积的充要条件是：

STsT0

=0.

定理21.5fx,y在D上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在D的某个分割T，使得STsT．

定理21.6有界闭区域D上的连续函数必可积．

定理21.7设fx,y是定义在有界闭区域D上的有界函数．若fx,y的不

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连续点都落在有限条光滑曲线上，则fx,y在D上可积.

证明不失一般性，可设fx,y的不连续点全部落在某一条光滑曲线L

ln1

段：上．记L的长度为l，于是对任给的0，把L等分成

L1,,Ln，

l

在每段Li上取—点Pi，使段与其一端点的弧长为2n，以Pi为中心作边长为的

正方形i，则Lii，从而有面积为W，那么

Li

i1

n

记

i

i1

n

，则为一多边形．设的

l2l2

Wn211l

，

现在把区域D分成两部分．第一部分D1D．其次部分D21DD1．由于

fx,y在D2上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在D2的分割T2，使得ST2sT2．又记

Msupfx,y

x,y

，

minffx,y

x,y

，以T表示由T2与

多边形的边界所组成的区域D的分割，则有

STsTST2sT2MWmWW．l1l，

其中是fx,y在D上的振幅．由于fx,y在D上有界，故是有限值．于是由定理21，5就证明白fx,y在上可积.三、二重积分的性质

二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：1.若fx,y在区域D上可积，k为常数，则kfx,y在D上也可积，且

kfx,yd

D

=

fx,ydk

D

．

2．若fx,y,gx,y在D上都可积，则fx,ygx,y在D上也可积，且

fx,ygx,ydfx,ydgx,yd

D

=

D

D

.

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3.若fx,y在D1和D2上都可积，且D1与D2无公共内点，则fx,y在

D1D2也可积，且D1D2

fx,ydfx,ydfx,yd

=D1

+D2

.

4．若fx,y与gx,y在D上可积，且fx,y≤gx,y，x,yD，则

fx,ydgx,yd

D

≤

D

．

5．若fx,y在D上可积，则函数fx,y在D上也可积，且

fx,yd

D

≤

fx,yd

D

.

6.若fx,y在D上可积．且m≤fx,y≤M，x,yD则

mSD

fx,yd

D

MSD.

这里SD是积分区域D的