信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析

2023/4/111离散系统的z域分析第6章2023/4/112本章内容引言z变换z变换的性质逆z变换z域分析2023/4/113引言在连续时间系统的分析中，曾以较多的篇幅讨论了采用变换域的分析方法。在这些分析方法中，不仅大大简化了运算，而且还具有其物理涵义，如傅氏变换就是把连续时间信号变换成频域的函数，从而比较清晰地表征了连续时间信号的频率特性；拉氏变换就是把连续时间信号变换成复频域（s

域）的函数，因而扩大了信号的变换范围。2023/4/114在连续时间系统中，这两种变换都可以把微分方程的运算变换成代数方程的运算，从而使运算简化。同样，在离散时间系统中的时域分析是用差分方程来描述，可归结为差分方程的建立和求解；对应于连续信号的傅里叶变换（频域），离散信号的频域变换也称傅里叶变换；而对应于连续信号的

s

域变换，离散信号也采用一种变换域来处理，这就是

z

域，也就是

z

变换。本章着重分析最常用的

z

变换及其分析方法。返回2023/4/115z变换从拉普拉斯变换到z变换z变换的收敛域常用序列的z变换返回2023/4/116当，上式为——傅里叶变换从拉普拉斯变换到z变换一个取样信号可以表示为:

虽然仅在取样瞬间才有函数值，但仍可以把它作为一个连续信号来处理，故取其拉氏变换为令

（∵

s

为复函数，∴

z也为复函数）

,其中：

ℒℒℒ2023/4/117于是前式可以写为：（一一对应）

z变换定义：一个离散时间序列f(k)的z变换为z-1的一个幂级数，这个级数中的每一项的系数即为离散时间序列f(k)相应的函数值。z一般为复函数。

单边时：返回令

2023/4/118收敛域——

z变换的存在条件一个序列f(k)的z变换F(z)，由定义知是一个无穷级数，要使其有意义并以闭合形式出现，则该级数必须绝对收敛，即F(z)在z复平面的某一区域内都有；如果不能绝对收敛，就认为该序列f(k)的z变换不存在。2023/4/119收敛域设f(k)是一个因果信号［k<0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一个圆以外的区域；反之，设在k>0时f(k)≡0，即级数F(z)的幂都是正的，则F(z)的绝对收敛区域是在中心为原点的圆内；若f(k)是双边信号，则级数F(z)中既有正幂，也有负幂，那么F(z)的绝对收敛区域将是一个圆环（见下各图）。2023/4/1110收敛域要注意的是：如果一个z变换式不是以无限级数的形式而是以封闭形式出现（若未给绝对收敛域），那么它还不能唯一地规定一个离散信号；只有同时给出绝对收敛域，才能唯一确定了一个信号（见后面例子）。

返回2023/4/1111常用序列的z变换单位序列指数序列单位阶跃序列斜变序列正弦信号

返回2023/4/1112单位序列指数序列若，则若，则（单位阶跃序列）返回2023/4/1113单位阶跃序列或在前式中令，有：按定义：即：返回2023/4/1114斜升序列对前面的

式二边对

z求导，有两边乘以（-z）即得所求为：返回2023/4/1115令

，则

正弦信号而∴返回2023/4/1116与拉氏变换相似，也可由z变换的定义推导出一些基本性质。这些性质表明了序列与z变换之间的关系；利用这些性质，不仅可以简化由f(k)求z变换的过程，而且可以简化由F(z)求原序列的反变换的运算。（单边）z变换的性质序列乘k（z域微分）特性序列除(k+m)（z域积分）特性k域反转特性差分与求和特性初值定理和终值定理线性叠加特性移位（移序）特性z

域尺度变换特性（序列）卷积定理返回2023/4/1117线性叠加特性若

则

返回2023/4/1118（单边则为）移位（移序）特性⑴

左移（与拉氏变换的微分特性相似）

（单边，则为）

⑵

右移

例：求的z变换

∵∴

返回，k>

02023/4/1119序列乘ak（z域尺度变换）特性若则返回，（a≠

0）2023/4/1120（序列）卷积定理若则可见，上式

z

变换卷积特性与拉氏变换卷积特性具有相似的形式。例：∴

求：返回2023/4/1121序列乘k（z域微分）特性例：求单边序列

k、k2、k3的

z变换。

∵∴若则返回2023/4/1122若，则序列除（k+m）（z域积分）特性例：求的z变换。∵∴返回2023/4/1123若，则k域反转特性例：求的z变换。∵∴返回2023/4/1124差分与求和特性若，则初值定理和终值定理若则返回2023/4/1125例题例：求∵∴∴由求和及终值定理可求出无限序列的闭合形式，即返回2023/4/1126逆z变换幂级数展开法（长除法）部分分式法围线积分法（留数法）双边z变换返回2023/4/1127幂级数展开法（长除法）由定义:可见其系数即为f(k)，所以将F(z)的闭合形式用长除法连除就可得到f(k)。2023/4/1128若|z|>1

，则只有z的负幂级数（）才收敛，属降幂排列，即例题例：

，求反变换。

∴若|z|<1

，则只有z

的正幂级数（）才收敛，属升幂排列，即∴返回2023/4/1129部分分式法单边

z

变换（对因果序列必有n≥m）若F(z)的极点为（一阶），则展开式为该法与拉氏变换所用方法一样，目的是使每个展开式很容易找到原序列，然后逐项相加，即得到原序列的全部表达式。一般是将F(z)展开成，为得到该式，可对进行展开，计算系数，再对其两边乘一个

z

。系数计算方法与拉氏变换完全一样，即：2023/4/1130部分分式展开法当然，也可展开成的形式，但此时的反变换式为对应反变换式中所有的k均换为而成。若F(z)中有一个

r阶极点

a，则展开式中包含有如下部分：其中：2023/4/1131例题例：∴2023/4/1132例题例：|z|>

3，故展开式为负幂才收敛∴其中：∴∵返回2023/4/1133又称反演积分法，它与拉氏反变换的留数法有相似的公式：若

zi为的一个

r阶极点，则有以下公式：例：（二阶），（一阶），∴返回2023/4/1134双边z变换双边z变换定义收敛域逆变换

返回2023/4/1135双边z变换定义收敛域与单边相比，下限不同，单边为双边的特例。同样，如果有收敛域，则其存在且有意义，否则不存在，由前面介绍过的收敛域情况可知有下面三种：①②③返回，|z|>a，a>0]，|z|<b，b>0]（b>|z|>

a，b>a>0

）2023/4/1136例题

由前面介绍的例子可知，要满足其级数收敛，必须保证每一项均小于

1，那么：2023/4/1137；⑵

；逆变换与单边的一样，只要注意不同的收敛域会有不同的结果（升幂或降幂），且应加上或这样的尾巴。例：求

分别在

⑴|z|>

2

⑶

|z|<条件下的反变换。

⑴

∴<|z|<2|z|>2，<

1，<

1，2023/4/1138逆变换⑵

∴⑶∴

返回<|z|<2，>

1，<

1，>

1，|z|<>

1，2023/4/1139离散时间系统的z变换分析法与拉氏变换相对照：

①

②

③

s域可以一次求出全响应，用

z

变换分析差分方程也不必分别求出零状态响应和零输入响应，所有的初始条件都可以根据右移定理和激励一起全部代入方程，直