现代控制理论稳定性

现代控制理论稳定性第1页，共54页，2023年，2月20日，星期日第三章控制系统的李亚普诺夫

稳定性§3.1

李亚普诺夫第二法概述§3.2

李亚普诺夫意义下的稳定性§3.3

李亚普诺夫稳定性定理§3.4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析第2页，共54页，2023年，2月20日，星期日§3.1李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。第3页，共54页，2023年，2月20日，星期日举例说明：

1.电压自动调节系统--保持电机电压恒定

2.电机自动调速系统--保持电机转速一定

3.火箭飞行系统--保持航向为一定具有稳定性的系统称为稳定系统。不具有稳定性的系统称为不稳定系统。第4页，共54页，2023年，2月20日，星期日稳定性概念

系统的稳定性--系统在受到外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，

用数学方法表示就是：第5页，共54页，2023年，2月20日，星期日现代控制理论的优点线性定常系统稳定性判断—1.劳斯-赫尔维茨判剧

2.奈奎斯特稳定判剧现代控制系统—结构复杂，非线性或时变,

上述稳定判剧难以胜任;

通用的方法是李亚普诺夫第二法.第6页，共54页，2023年，2月20日，星期日李亚普诺夫稳定性判据1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法

李亚普诺夫第一法:

解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的.李亚普诺夫第二法（也称直接法）:

不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。第7页，共54页，2023年，2月20日，星期日

李亚普诺夫第二法建立的物理事实：

如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:

那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。第8页，共54页，2023年，2月20日，星期日

对系统而言，并没有这样的直观性，因此，李亚普诺夫引入了“广义能量函数”，称之为李亚普诺夫函数，表示为,它是状态和时间t的函数。

如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数对任意（平衡点）时，成立，且对时，才有。第9页，共54页，2023年，2月20日，星期日

李亚普诺夫第二法可归结为:1.在不直接求解的前提下，

2.通过李亚普诺夫函数的符号

3.及其对时间的一次导数的符号

就可给出系统平衡状态稳定性的信息。

应用李亚普诺夫稳定理论的关键:

能否找到一个合适的李亚普诺夫函数!

--尚未有一个简便的、一般性的方法！第10页，共54页，2023年，2月20日，星期日*由于系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定理论的研究和应用受到人们的重视；*特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。*李亚普诺夫函数是对前述的不具有直观性的物理事实的表现，这个“广义能量”概念与能量概念又不完全相同。

李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型二次型及其定号性，是该理论的数学基础。第11页，共54页，2023年，2月20日，星期日二、数学基础

(二次型及其定号性)

1．二次型

n个变量的二次齐次多项式:

称为二次型。式中，是二次型的系数。设，既对称且均为实数。第12页，共54页，2023年，2月20日，星期日用矩阵表示二次型较为方便，即必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。第13页，共54页，2023年，2月20日，星期日定号性

(1)正定性当且仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X，恒有V(X)＞0，则V(X)为正定。

(2)负定性当且仅当X＝0时．才有V(X)＝0；对任意非零X，恒有V(X)＜0，则V(X)为负定。

(3)正半定性与负半定性如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。

(4)不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可为负值．则V(X)为不定。第14页，共54页，2023年，2月20日，星期日赛尔维斯特准则①二次型或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正，即如果则P为正定，即V(X)正定。②二次型或对称阵P为负定的充要条件是：

P的主子行列式满足(为奇数)；(为偶数)=1,2,…,

。

返回第15页，共54页，2023年，2月20日，星期日§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性

研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况。一般说来，系统可描述为

式中X为n维状态向量。当在任意时间都能满足

(3.1)

时，称为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系统

，A为非奇异时,X=0是其唯一的平衡状态，如果A是奇异的．则式(3.1)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。第16页，共54页，2023年，2月20日，星期日

由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为对同一问题用不同理论去研究．会得到不同含义的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫稳定性理论则认为是稳定的。第17页，共54页，2023年，2月20日，星期日

因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。

系统的状态方程为

设且系统的平衡状态为。有扰动使系统在时的状态为，产生初始偏差，则后系统的运动状态从开始随时间发生变化。

由数学中数的概念知道，表示初始偏差都在以为半径，以平衡状态为中心的闭球域S()里，其中称为范数，分别为与的分量。第18页，共54页，2023年，2月20日，星期日同样表示平衡状态偏差都在以为半径，以平衡状态为中心的闭球域:S()里。式中范数

为X的分量。第19页，共54页，2023年，2月20日，星期日

下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。

第20页，共54页，2023年，2月20日，星期日1．稳定与一致稳定设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域S()或任意正实数＞0，都可找到另一个正实数或球域S()，当初始状态满足时，对由此出发的X

的运动轨迹有，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。如果与初始时刻无关，则称平衡状态为一致稳定。

第21页，共54页，2023年，2月20日，星期日2．渐近稳定和一致渐近稳定设为动力学系统的一个孤立平衡状态，如果是稳定的，且从充分靠近的任一初始状态出发的运动轨迹

有或即收敛于平衡状态，则称平衡状态为渐近稳定。如果与初始时刻无关，则称平衡状态为一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。第22页，共54页，2023年，2月20日，星期日如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即对所有点都成立，称平衡状态为大范围渐近稳定。可见，这样的系统只能有一个平衡状态。由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。第23页，共54页，2023年，2月20日，星期日

在控制工程中．确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。古典控制理论的稳定性概念，只牵涉到小的扰动，没有涉及大范围扰动的问题，因此它是有局限性的。第24页，共54页，2023年，2月20日，星期日3．不稳定

如果平衡状态既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当并无限增大时，从出发的运动轨迹最终超越域，则称平衡状态为不稳定的。

返回第25页，共54页，2023年，2月20日，星期日§3.3李亚普诺夫稳定性定理

定理3.1

设系统的状态方程为式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：

是正定的；

是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着有，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。第26页，共54页，2023年，2月20日，星期日例3.1

设系统方程为

试确定其平衡状态的稳定性。第27页，共54页，2023年，2月20日，星期日解:

很明显，原点是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数为则将系统方程代人上式得

（V(X)为正定）又由于时，，因此系统在平衡点(0，0)是大范围渐近稳定的。第28页，共54页，2023年，2月20日，星期日定理3.2

设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数，它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的；对任意和任意在时不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有时，，则为大范围渐近稳定。式中表示时从出发的解轨迹。第29页，共54页，2023年，2月20日，星期日

由于不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面相切。然而,由于对于任意和任意在时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上），而必须运动到原点.第30页，共54页，2023年，2月20日，星期日例3.2

设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。

解:

显然，原点(0，0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数，即

（V(X)为正定）当时，因此是负半定的。第31页，共54页，2023年，2月20日，星期日

下面我们进一步分析的定号性，即当时，是否恒等于零。由于恒等于零，必需要求在时恒等于零，而恒等于零又必需要求恒等于零。但从状态方程来看，在时，要使和，必需满足等于零的条件。这表明只可能在原点处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于时,有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。第32页，共54页，2023年，2月20日，星期日

若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即则是负定的。而且当时，有所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由以上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对判别的必要性。第33页，共54页，2023年，2月20日，星期日定理3.3

设系统方程为式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的，但在某一X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。第34页，共54页，2023年，2月20日，星期日例3.3

系统方程为

试确定系统平衡状态的稳定性。

解显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即则由上式可见，在任意X值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的．但不是渐近稳定的。第35页，共54页，2023年，2月20日，星期日定理3.4

设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：在原点的某一领域内是正定的；在同样的领域内是正定的；则在原点处的平衡状态是不稳定的。第36页，共54页，2023年，2月20日，星期日例3.4

设时变系统的状态方程为显然坐标原点为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。第37页，共54页，2023年，2月20日，星期日解

可以找一个函数为显然，为一标量函数，在平面上的第一、三象限内，有是正定的。在此区域内取的全导数得所以当时，因此根据定理4可知，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。

返回第38页，共54页，2023年，2月20日，星期日§3.4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析

由李亚普诺夫稳定理论可知，在寻求函数时，要使

和具有定号性，两者的符号相反，表示稳定；两者的符号相同，表示不稳定；或者希望或中至少有一个是定号的，才能对稳定性进行判断。因此在构造函数时，或者先试构造出是正定的，然后考察的符号；或者先给出是负定的，然后确定是否为正定；或者使为正定，从系统稳定性要求出发，推导出对于系统的限制。由上一节例题可见，对于某些简单系统，特别是线性系统或近似线性系统，通常可取为X的二次型。第39页，共54页，2023年，2月20日，星期日一、线性定常系统的稳定性分析设线性定常系统为

(3.2)式中，为维状态向量，是X常系数矩阵，假设是非奇异矩阵。因为判定系统的稳定性，主要取决自由响应，所以令控制作用=0，由系统状态方程知，系统唯一的平衡状态是原点。对于式(3.2)确定的系统，选取如下形式的正定无限大

函数，即式中，P是一个正定的赫米特矩阵(即复空间内的二次型，如果X是一个实向量．则可取正定的实对称矩阵)。沿轨迹的导数为第40页，共54页，2023年，2月20日，星期日第41页，共54页，2023年，2月20日，星期日对于系统在大范围内渐近稳定性来说，要求是负定的，因此必须有为负定。式中

(3.3)

由上式可知，在已知P是正定的条件下，找到满足式(3.3)的一个赫米特矩阵(或实对称短阵)Q是正定的，则由式(3.2)描述的系统在原点处的平衡状态，必是大范围内渐近稳定的。这样得到如下定理。第42页，共54页，2023年，2月20日，星期日定理3.5

设系统状态方程为式中，是维状态向量，是×常系数矩阵，且是非奇异的。若给定一个正定的赫米特矩阵(包括实对称矩阵)Q

，存在一个正定的赫米特矩阵(或实对称矩阵)P，使得满足如下矩阵方程则系统在X＝0处的平衡状态是大范围内渐近稳定的，而标量函数就是系统的李亚普诺夫函数。对该定理需要说明如下几点。第43页，共54页，2023年，2月20日，星期日①如果沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q可取做半正定矩阵。②该定理阐述的条件，是充分且必要的。

③因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终的判断结果将和Q的不同形式选择无关，所以通常取Q＝I(单位阵)较为方便。这样线性系统平衡状态X＝0为渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对称矩阵P，满足矩阵方程④将上述定理同从的特征值分布来分析系统稳定性联系起来看，它实际上就是中矩阵的特征值均具有负实部的充要条件。第44页，共54页，2023年，2月20日，星期日可以证明，要求特征值均具有小于某一数值的负实部，即

的充要条件(即考虑衰减程度)是：对任意给定的正定对称矩阵Q

，存在正定对称阵P，它为矩阵方程的解。第45页，共54页，2023年，2月20日，星期日证明用上述定理考察系统，若特征值均具有负实部(充要条件是对任意正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足)，对系统作平移变换,将代替上式中的A，则有即:第46页，共54页，2023年，2月20日，星期日例3.5

设系统的状态方程为

显然，坐标原点是系统的一个平衡状态,试确定系统在该平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统的李亚普诺夫