万有引力与航天(解读)

11798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许被人们称为能称出地

球质量的人.若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径R,地球上一个

昼夜的时间T］（地球自转周期），一年的时间亮（地球公转周期）,地球中心到月球中心的距离心，

地球中心到太阳中心的距离右.你能计算出（）

A.地球的质量，〃地=*

B.太阳的质量〃，太=崂

4772f3

C.月球的质量机”=赞

D.可求月球、地球及太阳的密度

解析对地球表面的一个物体〃％来说，应有=所以地球质量机电二券"，选项A

正确.对地球绕太阳运动来说，有色詈上="?电其/2，则机太=器为，B项正确.对月球绕地

球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出

它的质量和密度，C、D项错误.

答案AB

2.［天体质量的估算］（2013•大纲全国-18）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月

球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.67X10

N-m2/kg2-月球的半径为L74X103km.利用以上数据估算月球的质量约为（）

A.8.1X10'°kgB.7.4X10"kg

C.54X1（）19kg口.7.4X1022kg

答案D

解析由G（RY；）2=由出+田（竿）2,解得月球的质量阳=4兀2（R+/?）3/Gr,代入数据得：M=

7.4X1022kg,选项D正确.

3.［天体密度的计算］“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2II1时30分，在西昌卫星发射

中心成功发射.“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，

并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测.已知月球半径为Ro,月球表面处重力加速度为

go,地球和月球的半径之比为2=4,表面重力加速度之比为菅=6,则地球和月球的密度之比

“0go

/（）

2n3

A-3B2

C.4D.6

答案B

解析设星球的密度为p,由爷一=加'g得GA/=g7?2,p=牛=言-，联立解得：0

'品3…

则：2=，*，将5=4,区=6代入上式，解得：2=',选项B正确.

pogo.火火。goPo2

4（2013・广东-14）如图1,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2/的行星做

匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

图1

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的线速度比乙的大

答案A

22

解析由万有引力提供向心力得G^r=zny=ma>2r=ma=m-^rr,变形得:

尚瓦，只有周期T和“成减函数关系，而a、0、3和M成增函数关

系，故选A.

5.［卫星运行参量的比较］（2013•海南6）“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星（同步

卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成.地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，

它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍.下列说法正确的是（）

A.静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍

B.静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍

C.静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的,

7

D.静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的』

7

答案A

6.［同步卫星问题的有关分析］已知地球质量为半径为R自转周期为7,地球同步卫星质

量为加，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是（）

A.卫星距地面的高度为升筹-

B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度

C.卫星运行时受到的向心力大小为装

D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

答案BD

解析天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运

27

7）~尸CTA/fm

动，即F万=F向=〃?：=-p—.当卫星在地表运行时，尸万=一=wg（R为地球半径），设同步

卫星离地面高度为h,则F万=哙噜/=F向=ma向＜mg,所以C错误，D正确.由（^?；；），=黄工

rIGM［GMc….GMm4/m（R+〃）,曰八，3iGMf时,

得，『记不B正确.由E=-得R+h=0k即h=

弋司1-火，A错7天.

7在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于2013年6月26日回归地球.如图2所示，飞船

在返回地面时，要在0点从圆形轨道I进入椭圆轨道n,。为轨道n上的一点，M为轨道I

上的另一点，关于“神舟十号”的运动，下列说法中正确的有（）

图2

A.飞船在轨道n上经过。的速度小于经过。的速度

B.飞船在轨道II上经过P的速度小于在轨道I上经过M的速度

c.飞船在轨道n上运动的周期大于在轨道I上运动的周期

D.飞船在轨道II上经过P的加速度小于在轨道I上经过M的加速度

解析由开普勒行星运动定律可知选项A正确；飞船在轨道I上做匀速圆周运动，故飞船经

过巴M两点时的速率相等，由于飞船在p点进入轨道n时相对于轨道I做向心运动，可知

飞船在轨道II上P点速度小于轨道I上尸点速度，故选项B正确；根据开普勒第三定律可知，

飞船在轨道II上运动的周期小于在轨道I上运动的周期，选项C错误；根据牛顿第二定律可

知，飞船在轨道H上经过产的加速度与在轨道I上经过M的加速度大小相等，选项D错误.

答案AB

8.［变轨中运行参量的比较］2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射

中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图3所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨

道I进入椭圆轨道H,。为轨道H上的近月点.下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是

)

图3

A.发射速度一定大于7.9km/s

B.在轨道II上从P到。的过程中速率不断增大

C.在轨道II上经过尸的速度小于在轨道I上经过P的速度

D.在轨道II上经过P的加速度小于在轨道I上经过P的加速度

答案ABC

解析“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s,A正确.在轨道H上从尸到。的

过程中速率不断增大，选项B正确.“嫦娥三号”从轨道I上运动到轨道II上要减速，故在

轨道n上经过P的速度小于在轨道I上经过P的速度，选项c正确.在轨道n上经过P的加

速度等于在轨道I上经过P的加速度，D错.

9.［变轨中运行参量的比较］如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在

西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入

距离月球表面100km、周期为118min的工作轨道，开始对月球进行探测，贝立)

图4

A.卫星在轨道ni上的运动速度比月球的第一宇宙速度小

B.卫星在轨道川上经过p点的速度比在轨道I上经过尸点时的大

c.卫星在轨道山上运行周期比在轨道1上短

D.卫星在轨道III上的运行周期比在轨道I上长

答案AC

10“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于

到达木星周围.此后在f秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大

气层烧毁.设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为。，探测器上的照相机正

对木星拍摄整个木星时的视角为6(如图5所示)，设木星为一球体.求:

木星探测器

图5

(1)木星探测器在卜.述圆形轨道匕运行时的轨道半径；

(2)木星的第一宇宙速度.

答案⑴黑盘吓《

7sm3

解析⑴设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为小由好爷

b尸VT

可付：r=五

由题意可知，7=(

联立解得『=念

⑵探测器有圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力,

jnMV2

=加一.

Gr-r

设木星的第一宇宙速度为如，有，G"力2M=贽

联立解得:

e0

由题意可知R=rsinr,解得：v=—,

2'0

\sm2

11.［第一宇宙速度的理解与计算］某人在一星球表面上以速度比竖直上抛•物体，经过时间/

后物体落回手中.已知星球半径为R,那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表

面，抛射速度至少为()

答案B

解析要使物体不再落回星球表面，抛射速度必须达到星球的第一宇宙速度，满足。

=y［gR^而由竖直上抛规律知oo=；gf,所以v=半B对.

12.［宇宙速度的理解与计算］2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火'

号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯一土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火

箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的小火星的半径约为地球半径的3.下列关于

火星探测器的说法中正确的是（）

A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可

B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以

C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度

D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的坐

答案CD

解析根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知河火=牛，Rx=

M噌=警岑

13宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星

系统.在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统.设某双星系统Z、B绕其连线上的。点做

匀速圆周运动，如图7所示.若4O>OB,则（）

O----------Q—Q

图7

A.星球”的质量一定大于星球8的质量

B.星球/的线速度一定大于星球B的线速度

C.双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大

D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

解析设双星质量分别为附八机8，轨道半径分别为尺八RB，两者间距为2,周期为「角速

度为0,由万有引力定律可知：

%=此①

券j*）

RA+RB=£③

由①②式可得管=黑

而AO>OB,故A错误.

vA=coR4,5=CDRB>B正确.

23

联立①②③得G(mA+〃s)=coZ,

27r

又因为T=~,

CO

故7=2冗A1,----可知C错误，D正确.

VG（mA+mB）

答案BD

14.［双星模型］（2013・山东20）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围

绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的

总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段

时间演化后，两星总质量变为原来的左倍，两星之间的距离变为原来的〃倍，则此时圆周运动

的周期为（）

A#?B.患T

c.聆口电

答案B

解析双星靠彼此的引力提供向心力，则有

,2］加24兀2

G-=加］门万不

即24兀2

G-yr■-=加2方污

并且〃+=£

解得E的依

当两星总质量变为原来的左倍，两星之间距离变为原来的〃倍时

rGk(m、+

故选项B正确.

15.［多星模型］宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可

忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为，小半径均为R,四颗星

稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上.已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正

确的是（）

A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B.四颗星的轨道半径均为?

C.四颗星表面的重力加速度均为窄

D.四颗星的周期均为2兀“［（4+釜）Gzn

答案ACD

解析其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕

正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为坐a,故A正确，B错误；

在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G"2=m'g,解得g=笔~,故C正确；由万

有引力定律和向心力公式得,曾、，+巾=〃有"4^,T=2mryL去，二,故D正确.

（V2a）aV2（4+y/2）Gm

16.（2014•新课标II-18）假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两

极的大小为go,在赤道的大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G.地球的密度为（）

A3兀（go「g）已3兀勖「3兀,3兀耳0

a2U

G『goG7（g0-gtGT-GTg

答案B

解析物体在地球的两极时，mgo=物体在赤道上时，机g+m（争2R=又"=%??）,

联立以上三式解得地球的密度°=加蕾、.故选项B正确，选项A、C.D错误.

17.（2014•福建・14）若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该

行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的（）

倍倍

倍D.病倍

答案C

解析卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的万有引力提供.设地球质量为加，

半径为凡根据巨翳=贤得地球卫星的环绕速度为。='偿，同理该“宜居”行星卫星的

环绕速度。'=故。'为地球卫星环绕速度的喘倍.选项c正确.

18.（2014•天津-3）研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假

设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相

比（）

A.距地面的高度变大

B.向心加速度变大

C.线速度变大

D.角速度变大

答案A

解析地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大.由（；?&=〃菅半+用,得6

3[GMT

=勺器--R,T变大，〃变大，A正确.

由=ma,得0=竿4r增大，a减小，B错误.

由G夕得。=厂增大，o减小，C错■误.

由0>=半可知，角速度减小，D错误.

19.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：1,同时绕它们连线上

某点。做匀速圆周运动.由此可知，冥王星绕。点运动的（）

A.轨道半径约为卡戎的专

B.角速度大小约为卡戎的;

C.线速度大小约为卡戎的7倍

D.向心力大小约为卡戎的7倍

答案A

解析本题是双星问题，设冥王星的质量、枕道半径、线速度分别为如、小、s，卡戎的质量、

轨道半径、线速度分别为加2、〃2、。2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星

2

提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由=m\（i^r\=m2Mr2（L

为两星间的距离），因此“=以=1，-=^±=-=1,故A对，C错.

‘/2/«17023r2加17

20.（2013・江苏单科4）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可

知（）

A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

答案C

解析火星和木星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，速度的大小不可能始终相等，因此B错；

太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此A错；在相同时间内，火星与太阳连线在相同时间内扫

过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，因此D

错.本题答案为C.

21.2013年6月13日，神舟十号与天宫一号成功实现自动交会对接.假设神舟十号与天宫--

号都在各自的轨道做匀速圆周运动.已知引力常量为G,下列说法正确的是（）

A.由神舟十号运行的周期和轨道半径可以求出地球的质量

B.由神舟十号运行的周期可以求出它离地面的高度

C.若神舟十号的轨道半径比天宫一号大，则神舟十号的周期比天宫一号小

D.漂浮在天宫一号内的宇航员处于平衡状态

答案A

解析神舟十号和天宫一号都绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有悬先=

一（R卜）

m（R+得T=447t嵋乂））,已知周期和轨道半径，又知道引力常量G,可以求出地

球质量M,A对.只知道周期而不知道地球质量和轨道半径无法求出高度，B错.由T=

'尸WLrM可知轨道半径越大,则周期越大，若神舟十号的轨道半径比天宫一号大，则神舟

十号的周期比天宫一号大,C错.漂浮在天宫一号内的宇航员和天宫一号一起做匀速圆周运动，

不是处于平衡状态，D错.

22.一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减

小为原来的;，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的（）

A.向心加速度大小之比为4：1

B.角速度大小之比为2：1

C.周期之比为1：8

D.轨道半径之比为1：2

答案C,

解析根据以=得0=所以卫星变轨前、后的速度之比为兴=；.根据=

得卫星变轨前、后的轨道半径之比为祟=；,选项D错误；根据G^r=ma,得卫星变轨

前、后的向心加速度大小之比为2=育=牛，选项A错误；根据普=加£・，得卫星变轨前、

后的角速度大小之比为"=、泠=*选项B错误；根据T=区，得卫星变轨前、后的周期

之比为金=%=!，选项C正确.

12助o

23.随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想.假如我国宇航员登上月球

并在月球表面附近以初速度比竖直向上抛出一个小球，经时间，后小球回到出发点.已知月

球的半径为R,引力常量为G,则F列说法正确的是（）

A.月球表面的重力加速度为午

B.月球的质量为鬻

C.宇航员在月球表面获得、用的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动

D.宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为

答案B

GMmV2

解析根据竖直上抛运动规律可得才=型，8=半，A项错误；由产-=mg=暝=m帝外

可得：h=誓，v

故B项正确，C、D项错误.

24.小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍.某

时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图1所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一

段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回.当第一次回到分离点时恰与航天

站对接.登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行.已知

月球表面的重力加速度为go,月球半径为凡不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上

停留的最短时间约为（）

解析由题可知，月球半径为R,则航天站的轨道半径为3R,设航天站转一周的时间为T,

则有="土（3火），对月球表面的物体有切陪0=,联立两式得7=6小登月

器的登月轨道是椭圆，从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运行一周的时

间7'和在月球停留时间/之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时，最小，则有：/min

3A3

+T'=T,由开普勒第三定律有:写^=/2,得T'=4吸irJV，则fmin=7-7'弋

所以只有A对.

25.2012年，天文学家首次在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P,这个行

星围绕某恒星Q做匀速圆周运动.测得P的公转周期为T,公转轨道半径为八已知引力常量

为G,则（）,：

A.恒星。的质量约为需

B.行星尸的质量约为寿

07

C.以7.9km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面

D.以lL2km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面

答案A

解析根据万有引力提供向心力，以行星P为研究对象有单一“爷得出=森，选项

A正确；根据万有引力提供向心力只能求得中心天体的质量，因此根据题目所给信息不能求出

行星P的质量，选项B错误；如果发射探测器到达该系外行星，需要克服太阳对探测器的万

有引力，脱离太阳系的束缚，所以需要发射速度大于第三宇宙速度，选项C、D错误.

26.2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它

们绕两者连线上的某点。做匀速圆周运动，如图2所示.此双星系统中体积较小成员能“吸

食”另一颗体枳较大星体表面物质，达到质量转移的目的.假设在演变的过程中两者球心之

间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（）

图2

A.它们做圆周运动的万有引力保持不变

B.它们做圆周运动的角速度不断变大

C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大

D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小

答案C

解析对双星M2,设距离为心圆周运动半径分别为小、小它们做圆周运动的万有引

力为尸=当丝，距离心不变，M与监的和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生

变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点。做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由

万有引力定律及牛顿第二定律有：G^r2,=M\CiTr\,6^^芈=%。％，r、+n=L、可解得：

M\+M2=Mg=M2r2,由此可知co不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较

大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度将增大，B、D错，C对.

27.为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一■颗火星探测器.假设探测器在

离火星表面高度分别为小和比的圆轨道上运动时，周期分别为八和4.火星可视为质量分布

均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出（）

A.火星的质量

B.探测器的质量

C.火星对探测器的引力

D.火星表面的重力加速度

答案AD

28.一行星绕恒星做匀速圆周运动.由天文观测可得，其运行周期为7,速度为。，引力常量

为G,则（）

V3T

A.恒星的质量为,

B.行星的质量为赞

C.行星运动的轨道半径为v会T

27r

D.行星运动的加速度为尊

答案ACD

2223

解析由“罟二始二加爷■厂得加=箸=六不，A对；无法计算行星的质量，B错；f=~=

vT4227r.

=丁，C正确；a=cor=CDV=~^V,D正确.

ZTI1

29.我国于2013年6月11日17时38分发射“神舟十号”载人飞船，并与“天宫一号”目标

飞行器对接.如图3所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨

道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为必和后（设地球半径为B，“天宫一

号”的运行周期约为90分钟.则以下说法正确的是（）