数学竞赛教案讲义（18套）

第一章集合与简易逻辑

一、基础知识

定义1i般地，•组确定的、互异的、无序的对■象的全体构成集合，简称集，用大写字母

来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素X在集合A中，称X属于A,

记为否则称X不属于4,记作x定例如，通常用N,Z,Q,B,。+分别表示自

然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用0来

表示。集合分有限集和无限集两种°

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集

合的方法，如｛1，2,3｝；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如｛有理数｝,｛x\x>0｝分别表示有理数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合A与8,如果集合4中的任何一个元素都是集合B中的元素，

则A叫做B的子集，记为A18,例如NqZ。规定空集是任何集合的子集，如果A是8

的子集，8也是力的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属

于A,则A叫8的真子集。

定义3交集，AnB=｛x|xwA且xeB｝.

定义4并集，AUB=｛x|xeA或xe8｝.

定义5补集，若4=/,则GA=｛x|xw/,且xcA｝称为A在/中的补集。

定义6差集,A\3=｛Rxe4,且x任8｝。

定义7集合｛x[a<x<b,xwR,a<6｝记作开区间（。,匕），集合

｛x\a<x<b,xeR,a<b｝记作闭区间[a,b],R记作（-oo,+oo）.

定理1集合的性质：对任意集合A,B,C,有：

⑴An（8uc）=（An8）u（Anc）；⑵AU（8nc）=（AUB）n（Auc）；

（3）GAUG8=G（An6）;（4）GAnG8=G（AUB）.

【证明】这里仅证（1）、（3）,其余由读者自己完成。

（1）若工€4口（51]。），则》€4,且苫€3或％€。，所以%€（4口8）或工€（4口。），

即xw(4nB)U(AnC);反之，xe(AnB)UMnC),则X€(4n8)或xe(AnC)，

即X€A且xeB或xeC,即x€A且xw(8UC)，QPxeAA(BljC).

(3)若x^GAUG8,则xwGA或xeC]B，所以xeA或xe8,所以x宏(ACl8)，

又xe/,所以xeG(AnB),即GAUGB=G(An8)，反之也有

G(AnB)=GAUGB.

定理2加法原理：做•件事有〃类办法，第一类办法中有吗种不同的方法，第二类办法

中有〃4种不同的方法，…，第〃类办法中有相,，种不同的方法，那么完成这件事一共有

N=/«,+机2+…+机”种不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分〃个步骤，第一步

有叫种不同的方法，第二步有用2种不同的方法，…，第〃步有〃乙种不同的方法，那么完

成这件事一共有'=机]•机2一…加”种不同的方法。

二、方法与例题

1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1设知={4a=，一/，了,〉eZ},求证：

(1)2A:-1eMeZ)；

(2)4Z—2e例,伙eZ)：

(3)若p€M,q€M,则pqe〃.

2.利用子集的定义证明集合相等，先证4=8,再证8=则4=8。

例2设A,8是两个集合，又设集合M满足

AC\M=BC\M=AC\B,A\JBUM=A\JB,求集合M（用A,8表示）。

3.分类讨论思想的应用。

例3A-{x|x2-3x+2=0),5=—ax+a-l-0},C-{x|x2—mx+2=0},若

AU8=A,AnC=C，求a,"?.

4.计数原理的应用。

例4集合4,B,C是/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集，（1）若AUB=/,

求有序集合对（4,B）的个数；（2）求/的非空真子集的个数。

5.配对方法。

例5给定集合/={1,2,3,…的k个子集：儿,42,…,A«,满足任何两个子集的交集非

空，并且再添加/的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求女的值。

6.竞赛常用方法与例问题。

定理4容斥原理；用同表示集合A的元素个数，则|AU,=|4|+|卸-|40卸,

|41151）。|=|4|+忸|+|（-|40川一|40（一怛0<+|4030。，流蓼町此结论可以

推广到〃个集合的情况，即z

n/______n

UA=2』|-nA/+Z14nA川人/—+（-!）"1nA-

r=lf=liHj\<i<j<k<ni=]

定义8集合的划分：若Au&u…UA”=/，且A,nAj=0(14i,j4〃,ih/),则

这些子集的全集叫/的一个〃-划分。

定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6抽屉原理：将机〃+1个元素放入〃(〃〉1)个抽屉，必有一-个抽屉放有不少于根+1

个元素，也必有一个抽屉放有不多于机个元素；将无穷多个元素放入〃个抽屉必有一个抽

屉放有无穷多个元素。

例6求1,2,3,…，100中不能被2,3,5整除的数的个数。

例7S是集合{1,2,2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最

多含有多少个元素？

例8求所有自然数〃(〃22),使得存在实数外,%，…,凡满足:

{|a(.-a)|}|1<i<j<n}={1,2,•••.

例9设4={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,....n},在月中取三个数，B中取两个

数组成五个元素的集合4,i=1,2,…,20,1A,nAy|<2,l<z</420.求〃的最小值。

例10集合{1,2,3”}可以划分成〃个互不相交的三元集合{x,y,z},其中x+y=3z,

求满足条件的最小正整数〃.

三、基础训练题

1.给定三元集合X},则实数X的取值范围是。

2.若集合A=+2》+1=0,。eR,xeR}中只有一个元素，则“=。

3.集合8={1,2,3)的非空真子集有个。

4.已知集合用={刀,2-3》+2=0},%={%,工+1=0},若NqM,则由满足条件的实

数a组成的集合P=o

5.已知A={xk<2},8={x|xWa},且AqB,则常数a的取值范围是。

6.若非空集合S满足S[{1,2,3,4,5},且若aeS,则6—aeS,那么符合要求的集合S

有个。

7.集合X={2〃+加€2}与丫={4女士取€2}之间的关系是。

8.若集合A={x,xy,xy-l},其中xwZ,ywZ且ywO,若OGA,则A中元素之和

是。

9.集合P={x,2+x—6=0},M={x|nu—1=0},且则满足条件的加值构成

的集合为.

10.集合A={x[y=2x+l,xe/?+},6={y|y=-/+9,xeR},贝!J

An§=o

11.已知S是由实数构成的集合，且满足1)1任S;2)若aeS,则」一eS。如果S/0,

1-a

S中至少含有多少个元素？说明理由。

12.已知A={(x,y)|y=。忖},8={(x,y)|y=x+a},C=AD8,又C为单元素集合，求

实数。的取值范围。

四、高考水平训练题

1.已知集合4={x,xy,x+y},8={O,|x|,y},且4=8,则％=,

y=»

2.I={123,4,5,6,7,8,9},A=I,B^I,AC\B={2},(C,A)Cl(GB)={1,9},

(GA)A8={4,6,8},则Afl(G8)=。

3.已知集合A={x10+3x-x?20},6=+1WxK2〃z—1},当An6=0时，实

数机的取值范围是。

4.若实数a为常数，且=」=4,则.=___________。

V办2—X+1

5.集合M={加2,根+1,一3},"={瓶一3,2机一1,m2+1},若Mp|N={-3},贝ij

tn=a

6.集合4={4a=5x+3,x£N+},6={bM=7y+2,yEN+},则4nB中的最小元素

是O

7.集合A={x-y,x+y,xy},B={x2+y2,x2-y2fi},且A=6,则x+y=，

8.已知集合4="士」<0},8=*a+4<0},且则p的取值范围是

2-x

9.设集合

A-{(x,y)|y2-x-1=0},/?={(x,y)|4.x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b],

问：是否存在k,bcN,使得(AU6)nC=0，并证明你的结论。

10.集合A和8各含有12个元素，AD3含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C

的个数：1)AUB且C中含有3个元素；2)CnAw0。

11.判断以下命题是否正确：设A,B是平面上两个点集，C,={(x,y)|x2+y2<r2},若

对任何r>0,都有C,.UA=C,U8，则必有AQS,证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.已知集合A={x|x<0},B={zz=2'~-,x>2},B0,H.BcA,则实数〃，的取值

/nx+1

范围是0

2.集合4={1,2,3「-,2〃,2〃+1}的子集8满足：对任意的x,ye8,x+ye8,则集合B

中元素个数的最大值是o

3.已知集合P={a,aq,aq2},。={a,a+d,a+2d},其中a#0,且aeR,若P=Q,则

实数q=«

4.已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>Q},B={(x,y,xy|+1=凶+|y|},若AD8是平面

上正八边形的顶点所构成的集合，则。=。

5.集合M={〃，，=12〃?+8〃+4/,〃?,/,〃eZ},集合

N={M|W=20p+16q+\2r,p,q,r6Z},则集合M与N的关系是。

6.设集合M={1,2,3,…,1995},集合A满足：A^M,且当xeA时，15x纪A,则4

中元素最多有个。

7.非空集合4=何2。+14X43。-5},8={邓/422},W则使4=4口8成立的所

有。的集合是。

8.已知集合A,B,“C(不必相异)的并集4U6UC={1,2,则满足条件的有序三

元组(4,B,C)个数是。

9.已知集合4={(x,y^ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x2+y2=1},问:

当。取何值时，(AU8)nc为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结

论如何？

10.求集合B和C,使得BUC={1,2,…,10},并且C的元素乘积等于B的元素和。

11.S是。的子集且满足：若rwQ,则rwS,—rwS/=O恰有一个成立，并且若

aeS,beS,则abwS,a+6wS,试确定集合S。

12.集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元

素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？

六、联赛二试水平训练题

1.S1,S2，S3是三个非空整数集，已知对于1,2,3的任意一个排列如果xeS,,

yes,,则x—ywS,.。求证：S］，S2，$3中必有两个相等。

2.求证：集合{1,2,…，1989}可以划分为117个互不相交的子集A,(i=1,2,…,117),使

得(1)每个片恰有17个元素；(2)每个A,中各元素之和相同。

3.某人写了〃封信，同时写了〃个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情

况有多少种？

4.设卬，的,…,勺0是20个两两不同的整数，且整合{%+a7|l<z<JW20}中有201个不

同的元素，求集合{,一盯114/<20}中不同元素个数的最小可能值。

5.设S是由2〃个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶

数。

6.对于整数〃24,求出最小的整数了(〃)，使得对于任何正整数机，集合

{m,+m+??-1}的任一个/'(〃)元子集中，均有至少3个两两互质的元素。

7.设集合5={1,2..50},求最小自然数%,使S的任意一个s元子集中都存在两个不

同的数a和方满足(a+飒。

8.集合X={1,2,…,6A},AwN+，试作出X的三元子集族&,满足：

(1)X的任意一个二元子集至少被族&中的•个三元子集包含；

(2)|&|=6公(|&|表示&的元素个数九

9.设集合A={1,2,…，m},求最小的正整数机，使得对A的任意一个14-分划

4，42,…,4”一定存在某个集合4(1WiK14),在4中有两个元素。和匕满足

4

b<a<—bo

3

第二章二次函数与命题

一、基础知识

1.二次函数：当4H0时，y=af+bx+c或八犬尸af+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴

2

为直线x=--,另外配方可得fix）=a（x-xo）+fix^）,其中x0=-—>下同。

2a2a

2..二次函数的性质：当”>0时，加）的图象开口向上，在区间（-8,沏］上随自变量x增大

函数值减小（简称递减），在［沏,-8）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当。<0时，

情况相反。

3.当a>0时,方程段）=0即ax2+/?x+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0••af+bx+K）…③与

函数段）的关系如下（记△=层一4女）。

1）当△>（）时，方程①有两个不等实根，设处内2（制<必），不等式②和不等式③的解集分别是

｛x|x〈Xi或X>X2｝和｛x|%i<x42｝，二次函数段）图象与X轴有两个不同的交点，./（X）还可写成

fix）=a（x-xi）（x-xi）.

2）当△=（）时，方程①有两个相等的实根X|=X2=X0=-2,不等式②和不等式③的解集分别是

2a

“打工｝和空集0,大X）的图象与X轴有唯一公共点。

2a

3）当△<（）时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和0./）图象与x轴无公

共点。

当。<0时，请读者自己分析。

4ac—b~b

4.二次函数的最值:若a>0,当x=x0时，加）取最小值/（xo尸------，若a<0,则当x=x（）=-'—

4a2a

4/7（--卜2

时，/（x）取最大值/Uo户——.....对于给定区间［m,”］上的二次函数/）=4，+纵+或°>0）,当

4a

xoG［m,“］时，危）在［m,〃］上的最小值为於0）;当x（）<m时。段）在［m,”］上的最小值为人m）；

当时，段）在［m,”］上的最小值为人〃）（以上结论山二次函数图象即可得出）。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联

结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合

命题。

注1"p或qn复合命题只有当p,q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命

题只有当p,q同时为真命题时为真，否则为假命题：p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2原命题：若p则4（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；

逆否命题：若非g则非p。

注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题“若p则q”为真，则记为p=q否则记作pHg.在命题“若p则中，

如果已知则p是q的充分条件；如果q=>p,则称°是q的必要条件；如果但

q不=>p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不=>g但p=>q,则p称为q的必要非充

分条件；若p=q且q=p,则p是q的充要条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

例1设方程f-x+l=O的两根是a,6,求满足八£1)=8!/(8)=€|川)=1的二次函数段).

2.方程的思想。

例2已知/(x尸af_c满足_4W7U)W-1,-1t/(2)W5,求人3)的取值范围。

3.利用二次函数的性质。

例3已知二次函数危尸加+法+北,b,cCR,aHO),若方程,*x)=x无实根，求证:方程fif(x))=x

也无实根。

4.利用二次函数表达式解题。

例4设二次函数fix)=ax2+bx-^c(a>0),方程外)=x的两根修,应满足02V—,

a

(I)当x£(0,%[)时,求证:x<f(x)<x\；

x

(ID设函数危)的图象关于x=x()对称，求证：

2

5.构造二次函数解题。

例5已知关于x的方程3+l)2=J(a-x2),a>l,求证：方程的正根比1小，负根比-1大。

6,定义在区间上的二次函数的最值。

V44.X2+5

例6当x取何值时，函数y=-z——丁取最小值？求出这个最小值。

(丁+1)2

例7设变量x满足f+bxW-x(X-l),并且？+加的最小值是一；,求b的值。

7.一元二次不等式问题的解法。

"22人

例8已知不等式组~x+a~a<0①②的整数解恰好有两个，求〃的取值范围。

x+2a>i

8.充分性与必要性。

例9设定数A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+8(j-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)》0①

对一切实数x,y,z都成立，问4,B,C应满足怎样的条件？(要求写出充分必耍条件，而且

限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)

9.常用结论。

定理1若a,J6R,同一网W|a+M〈|a|+|加.

【证明】因为-同，<|仇响WbW|b|,所以业|+网）这a+bW|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+例（注:若m>0,则-mWxWm等价于|x|Wm）.

5i.\a\=\a+b-b\=5\a+b|+|-t|,

即|叶网耳综上定理1得证。

定理2若。力GR,则a2+b222a6；若x,yWR'厕x+y22-Jxy.

（证略）

注定理2可以推广到”个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

三、基础训练题

1.下列四个命题中属于真命题的是,①“若x+y=O,则x、y互为相反数”的逆命

题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题：③“若qWl,贝Ijx2+"g=o有实根”的逆

否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。

2.由上列各组命题构成“p或q”，“。且“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且

<7为假，非p为真的是.①p；3是偶数，</：4是奇数；②p:3+2=6,q:③

p:a&（a,b）,q:{a}<Z{a,b};④p:2<ZR,q'.N=Z.

3.当笈2|<。时，不等式上_4]<1成立，则正数。的取值范围是.

4.不等式a^+（ab+\]x+b>0的解是1«2,则«,b的值是.

5.xW1且xW2是x-1丰Jx-1的条件，ffi-2<m<0且0</?<1是关于x的方程

f+nu+〃=O有两个小于1的正根的条件.

6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是.

7.若S=3nu2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是.

8.R为全集，A={x\3-x^4],>lk贝1」仁状）08=________.

x+2

9.设a,b是整数，集合A={（x,y）|（x-ay+3bW6y},点（2,1）6A,但点（1,0）eA,（3,

2）史A则a,%的值是.

10.设集合A={M|X|V4},8={X|X2-4X+3>0},则集合且入任408}=.

11.求使不等式ax2+4x-l2・2，-〃对任意实数x恒成立的a的取值范围。

尤2—2kx+k_4Vo

12.对任意xG[0,l],有〈，①②成立，求后的取值范围。

xkx—k+3〉0

四、高考水平训练题

1.若不等式|x-a|<x的解集不空，则实数”的取值范围是.

2.使不等式X2+(X-6)X+9>0当间W1时恒成立的x的取值范围是.

3.若不等式-f+履YV)的解集为R,则实数上的取值范围是.

4.若集合A={x|lx+7|>10},8={x||x-5|4},且ACI8=8,则％的取值范围是.

5.设0、a2,bi、h2,ci>C2均为非零实数,不等式./+仇田6>0和敢，+如此2>0解集分别

为M和N,那么"幺=九=1”是“M=N”的_________条件。

a2b2c2

6.若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-l)x+a2=0,f+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,

则实数a的取值范围是.

7.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是g的

条件。

8.p:|1-11^2,q:x2-2x+l-m2<0(m>0),若非p是非q的必要不充分条件，则实数

m的取值范围是.

9.已知a>0,fix)=ax2+bx+c,对任意x^R有兀什2)=/(2-x),若川-2/)勺U+2x-f),求x的

取值范围。

10.已知a,b,cCR,/(x)=ar2+bx+c,g(x)=ax+A当[x]Wl时，

(1)求证:|c|Wl;

(2)求证:当k|Wl时,|g(x)|W2;

(3)当a>0且用W1时,g(x)最大值为2,求危).

11.设实数a,b,c,m满足条件：--—+—-——1--=0,且a20,m>0,求证：方程af+bx+cR

m+2m+\m

有一根X。满足0<x0<1.

五、联赛一试水平训练题

1.不等式恸3-2，_4网+3<0的解集是.

x+2y>0

2.如果实数x,y满足：<x—2y>0,那么凶-用的最小值是.

x2-4y2=4

3.已知二次函数/(x尸af+bx+c的图象经过点(1,】)，(3,5),10)>0,当函数的最小值取

最大值时，a+h2+c3=.

4.已知於)=|l-2x|,xG[0,l],方程AA/)a)))=；x有个实根。

5.若关于x的方程4x2-4x+m=0在[・1,1]上至少有一个实根，则m取值范围是.

6.若J[x)=x4-^pxi+qx2+x对一切x£R都有段)同/(I尸1,则p+q?=.

7.对一切x£R,危尸af+bx+c3V匕)的值恒为非负实数，则------的最小值为__________.

b-a

8.函数於)=〃/+Z?R+C的图象如图，且〃2-4ac=b-2ac.那么/4zc4.(填>、

=、<)

9.若a<b<c<d,求证：对任意实数t手-1,关于x的方程(元・〃)。・。)+心・。)(工・(1尸0都有两个不

等的实根。

10.某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下

一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数

都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。

11.已知/在[0,1]上满足1,试求|a|+|加+|c|的最大值。

六、联赛二试水平训练题

1.设火x尸。x2+bx+c,。也c£R,〃>100,试问满足|/(x)|W50的整数x最多有儿个？

2.设函数式工尸〃/+8]+3(右0),对于给定的负数内有一个最大的正数侬)，使得在整个区

间[0,/(〃)]上，不等式")|W5都成立。求/(〃)的最大值及相应〃的值。

]〃1="

3.设…,。+1],且设厂^~XXJ求户y-f的最大值。

n,­=,ny=l

4.F(x)=a^+bx+c,M,cWR,且尸(0)向1,|尸(1)式1,|尸(-1)悭1,则对于恸4,求|F(x)|的最大值。

5.已知/WfZzx+b,若存在实数m,使得贝m)|WL[/(m+l)|《L求△=/-4b的最大值和

44

最小值。

6.设二次函数凡¥)=〃¥+加叶。(〃力,c£R,〃W0)满足下列条件：

1)当x£R时，f(x-4)=f(<2-x),且人均力不；

x+1

2)当xe(0,2)时，於)W~r

3)於)在R上最小值为0。

求最大的m(m>l),使得存在fGR,只要就有加+f)Wx.

7.求证：方程3at2+2〃x-(a+b尸03W0)在(0,1)内至少有一个实根。

8.^a,bA,B^,a<A,b<B,若”个正数句,敢,…,“位于。与A之间，”个正数济，匕2,…力"

位于b与B之间，求证：

'[~ABFab"

(a；■!----+1；■!------------卜b；)<』abVA6

(q仇+&%+…+。也>2

.」2

9.设a,h,c为实数，g(x)=ax2+bx+c,|x|^1,求使下列条件同时满足的a,b,c的值:

(i)=381;

<ii)g(x)mG=444;

(iii)g(x)mi“=364.

第三章函数

一、基础知识

定义1映射，对于任意两个集合A,B,依对应法则力若对4中的任意一个元素X,在B

中都有唯一一个元素与之对应，则称/：A—8为一个映射。

定义2单射，若是一个映射且对任意x,yWA,x*y,都有大x)/y0，)则称之为单射。

定义3满射、若f4fB是映射且对任意yGB,都有一个使得Ax尸y,则称£4-8

是A到B上的满射。

定义4-一映射，若fA-B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆

映射，即从B到A由相反的时应法则r构成的映射，记作尸:4-瓦

定义5函数，映射/:A-B中，若A,8都是非空数集，则这个映射为函数。4称为它的定

义域，若且危）=y（即x对应8中的y）,则y叫做x的象，x叫y的原象。集

合（/（x）|xGA｝叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义

的未知数的取值范围，如函数产36-1的定义域为｛x|x》OjeR｝.

定义6反函数，若函数（通常记作yq（x））是映射，则它的逆映射尸:4―8

叫原函数的反函数，通常写作月*匕）.这里求反函数的过程是：在解析式y/x）中反解x得

x=f'（y）,然后将X,），互换得）寸U）,最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数

y=-1一的反函数是y=I--（xH0）.

xx

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线尸对称。

定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7函数的性质。

（1）单调性：设函数式X）在区间/上满足对任意的并且为＜》2，总有/I）勺（应）（/3

）次M）），则称/（X）在区间/上是增（减）函数，区间/称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数），/X）的定义域为D,且D是关于原点对称的数集，若对于任意的XGD,

都有汽-工尸次》）,则称兀v）是奇函数；若对任意的xCD,都有A-x）=/（x）,则称|的是偶函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：对于函数式x）,如果存在一个不为零的常数7,使得当x取定义域内每一个数

时，Ax+T）=/（x）总成立，则称大x）为周期函数，7称为这个函数的周期，如果周期中存在最小

的正数To,则这个正数叫做函数大劝的最小正周期。

定义8如果实数则数集｛加＜x＜4xGR｝叫做开区间，记作"力），集合

记作闭区间集合｛x|a〈xWb｝记作半开半闭区间（a,b],集合｛x|aWx＜b｝记作半闭半开区

间口,彷，集合｛即0研记作开区间（a,+8）,集合｛x|xWa｝记作半开半闭区间（-°o,a].

定义9函数的图象，点集｛6y）卜=/。）,乂6。｝称为函数词＞）的图象，其中D为凡r）的定义

域。通过画图不难得出函数y/x）的图象与其他函数图象之间的关系（a力＞0）；（1）向右平移

a个单位得到产《x-a）的图象；（2）向左平移a个单位得到y=/（x+q）的图象；（3）向下平移匕

个单位得到内力功的图象；（4）与函数y=/（-x）的图象关于y轴对称；（5）与函数yq/（-x）

的图象关于原点成中心对称；（6）与函数的图象关于直线产x对称；（7）与函数y=g）

的图象关于龙轴对称。

定理3复合函数v=/[g（x）]的单调性，记住四个字：“同增异减例如产」一，u=2-x在（-

2-x

00,2）上是减函数，y=—在（0,+8）上是减函数，所以尸一--在（-8,2）上是增函数。

u2—x

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。

二、方法与例题

1.数形结合法。

例1求方程|底1|=』的正根的个数.

X

例2求函数Ax)=7X4-3X2-6X+13-J——炉+1的最大值。

2.函数性质的应用。

(x-1)2+1997(%-1)=-1

例3设x,yCR,且满足公\,求x+y.

(y-l)3+1997(y-l)=l

例4奇函数_/（x）在定义域（-1,1）内是减函数，又/U-a）t/U-J）vo,求。的取值范围。

例5设兀0是定义在（-8,+8）上以2为周期的函数，对kwz,用/*表示区间（2hl,2k+l],

已知当xd/o时，/）=/，求人x）在4上的解析式。

例6解方程：(3x-l)(A/9X"—6x+5+1)+(2x-3)(V4x~-12x+13+1)=0.

3.配方法。

例7求函数y=x+J2x+1的值域。

4.换元法。

例8求函数y=(J]+x+J]—x+2)(,1-彳2+1)/丁[0,1]的值域。

5.判别式法。

2

例9求函数尸」r_3x+4的值域。

x+3x+4

6.关于反函数。

例10若函数)，1》)定义域、值域均为R,且存在反函数。若人劝在(-8,+8)上递增，求证:

月'W)在(-8,+8)上也是增函数。

4x+l

例II设函数兀解方程：fix)=f\x).

3x+2

三、基础训练题

1.已知x={-i,o,i},y={-2,-i,o,1,2},映射力Xfy满足：对任意的xex,它在y中的象

/(X)使得田负X)为偶数，这样的映射有个。

2.给定4={1,2,3},B={-\,0,1}和映射力X-y,若，为单射，则，有个；若/

为满射，则/有个；满足.用(x)］=/(x)的映射有个。

3.若直线产土(x-2)与函数y=，+2x图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有个

交点。

34t-------------------

4.函数y=/(x)的值域为［2,一］,则函数g(x)=/(x)+Jl-2/(x)的值域为_______。

89

5.已知危尸一-—，则函数g(x)=mx)］的值域为______o

x+1

6.已知/)=卜+〃|,当x23时/(/)为增函数，则a的取值范围是o

7.设y=/(x)在定义域(；，2)内是增函数，则丁=/(/_］)的单调递减区间为。

8.若函数y=*(x)存在反函数产0”(x),则尸的图象与y=3(㈤的图象关于直线

对称。

9.函数,/(X)满足--|=1--I——f则|一)=________.

xJxxx

10.函数)=Jx+l—Jx-l,元£(1,+8)的反函数是

11.求下列函数的值域：⑴y7x-2-Q)y=G

(3)1+2Jx+1;(4)广—~~-

X24-2

12.已知y=/(x)定义在R上，对任意xGR，Ax)=/(x+2),且/(x)是偶函数，又当xd[2,3]

时，於尸x,则当xd[-2,0]时，求段)的解析式。

四、高考水平训练题

1.已知“G,0定义域是(0,1],贝IJg(x)=/(x+a)t/34嗔x)的定义域为。

2.设0Wa<l时，加尸(a-l*-6ar+a+l恒为正值。则於)定义域为。

3.映射了:{a,b,c,d}f{1,2,3}满足10依a)•型)•/)•旭)<20,这样的映射/有

个。

4.设函数y=/(x)(xGR)的值域为R,且为增函数，若方程Kx)=x解集为P,J[/(x)]=x解集为Q,

贝UP,。的关系为：PQ(填=、u、=))。

*工

/1+九

5.下列函数是否为奇函数：(1)危尸(%・1)J----；(2)g(x)=|2x+1|-|2x-11;(3)

V1-X

(p(x)=~_1+V1_；(4)y=y/x+1-ylx—1.

6.设函数月(x)aeR且xWO),对任意非零实数孙及满足於1%2月5)±/3),又於)在(0,

+8)是增函数，则不等式/)+/a」)wo的解集为。

2

Xx£P

7.函数式尤)=「，其中P,M为R的两个非空子集,又规定/(P)={yb=/a),xeP},

-xx&M

<M)=3y=/a),xeM},给出如下判断：①若尸C1M=0,则/(P)Q/(M)=0；②若尸CMH0,

贝以P)n/(M)W0；③若PUM=R,则大P)U/(M尸R；④若PUMHR,贝IJ犬P)U/(M)*R.其

中正确的判断是o

8.函数y=/(x+l)的反函数是y=/(x+l),并且11)=3997,则川998尸。

9.已知)>=/(x)是定义域为[-6,6]的奇函数，且当xG[0,3]时是一次函数，当x€[3,6]时是

二次函数，又J(6尸2,当xG[3,6]时，/(x)Wy(5)=3。求共幻的解析式。

10.设a>0,函数式划定义域为R,且/+a)=；+J/(x)—"(x)F,求证：大口为周期函数。

4Y-t

11.设关于x的方程2小-a-2=0的两根为a,B已知函数—,。)求犬a)、

x+1

/(B);(2)求证：危)在[a,B]上是增函数；(3)对任意正数为,如求证：

xa+x/3X10+x2a>

i2<2|a-0|.

X1+x2IX|+4)

五、联赛一试水平训练题

1.奇函数段)存在函数r(x),若把y=«x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位

后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是.

2.若a>0,aWl,F(x)是奇函数，贝IIG(x)=F(x)(--是(奇偶性).

I—31O

3.若尸[土三]=x,则下列等式中正确的有.®F(-2-x)=-2-F(x)；②尸(-x)=F\上三]；

③尸(『尸F(x)；④F(F(x))=-x.

4.设函数#R-R满足携0尸1,且对任意x,yGR,都有八町+1)=”加>)九，)文+2,则

Ax)=•

5.已知外)是定义在R上的函数,{1)=1,且对任意xdR都有兀什5)》_/仁)+5,4"1)(/(x)+l。

若g(x)Jx)+\-x,则g(2002)=.

6.函数尸一r一1的单调递增区间是_________.

Vx~—2x—3

7.函数兀r尸x一一-X二的奇偶性是：奇函数，偶函数(填是，非)。

1-2X2

8.函数y=x+7x2-3x+2的值域为.

、，flxe[l,2]

9.设於尸1,-1,

[x-\XG(2,3]

对任意的aGR,记V(a)=max[f[x)-ax\xG[1,3]}-min[j[x)-ax\xe[1,3]},试求V(a)的最小值。

1-x~=y

10.解方程组：《i-yz.(在实数范围内)

i-z:

11.设kCN+J:N+fN+满足：(1)/)严格递增；(2)对任意"6N+,有/[仙)]=珈，求证:

2kk+1

对任意“GN+,都有-----------------n.

六、联赛二试水平训练题

1.求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数力满足：（1）对■任意xWO,./（x）=x•/（▲）：

（2）对所有的xW-y且孙W0,有_/（x）与U，）=lt/（"y）.

2.设Ax）对一切x＞0有定义，且满足：（i）/）在（0,+8）是增函数；（ii）任意x＞0,

於“/（犬）+口=1,试求人1）.

3J:[0,l]fR满足:(1)任意xG[0,1],/)20；(2),A1)=1；(3)当x,y,KyG[0,1]时，於泗(y)

W/(x+y),试求最小常数c,对满足(1),(2),(3)的函数Ax)都有於)Wcx.

4.试求X-«,>,)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+Ay+y2)-3(x+y)+5(x>0,y>0)的最小值。

5.对给定的正数p,gG(0,1),Wp+q>\^p2+q2,试求应¥)=(1-乂),//一了？+XyJq2-(1-X)2

在上的最大值。

xx^Q

6.已知了:（0,1）-R且外尸＜p+1

x--,(p,q)=l,0<p<q

.qq

当xwR昌时，试求©的最大值。

189J

〃一3(rt>1000),,心

7.函数人外定义在整数集上，且满足加7尸＜,求人100)的值。

/[/(«+5)](«<1000)

8.函数月（尤）定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角7T］后不变。（1）求证:

方程式x）=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。

9.设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数/:。*