数学必修5教案

1.1.1正弦定理

设计人：董玉梅

•教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正

弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生

通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索

数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现

事物之间的普遍联系与辩证统一。

•教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

•教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

•教学过程

课题导入

如图1.1-1,固定使边AC绕着顶点C转动。人

思考：NC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角NC的大小的增大而增大。\

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？cN_________A

讲授新课B

［探索研究］

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如

图，在RtAABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有色=sin力，—=sinff,XsinC=1=—,

则=

sinJsir\Bsin。

b=c

从而在直角三角形ABC中'品

sinBsinC

思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（山学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.1-3,（1）当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,

有CD=asin5=Z?sinJ,则：，二•..

sin/sinz>

同理可得品b

six\B

ab_c

从而

sinlsinBsin。

（2）当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

思考2：还有其方法吗？

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

（证法二）：过点A作单位向量］_1_万，由向量的加法可得~AB=JC+CB

则j.AB=j\AC+CB)

C

：.J-AB=J-AC+J-CB/\

同网cos(90。一止0+M词cosM-C)A4-----------'

csinA=asinC,UPj

smAsine

同理，过点c作7,而，可得，=今从而二~；=~^=「^

sinBsinCsmAsinBsmC

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin/sin/?smc

［理解定理］

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，

口［I存在正数k使己=Asin］，b=ksiwB,c=ksinC；

(2)3=上=上等价于1-=上，—二上,3

sinJsin夕sinCsinJsin方sin。sinBsin力sin。

思考：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

sinz)

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin/l=gsin6。

b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

［例题分析］

例1.在AA8C中，已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°；

asinB_42.9sin81.8"

根据正弦定理,7-sinA~sin32.0°^80.l(c〃?)；

根据正弦定理，C=丝(=名粤军:74.1(5).

sinAsin32.0°

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

练习：在AA8C中，已知下列条件解三角形。

(1)A=45°,C=30°,c=10c/n,(2)A=60,B=45°,c=20cm

例2.在AABC中，已知a=20cm,匕=28cm,4=40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm)。

解：根据正弦定理，

sin8=史巴4=空空黑=0.8999.因为0°V3<180°,所以8=64°,或8T16°

a20

(1)当3=64°时，C=180°-(4+B)=180°-(40°+64°)=76<),。=鬻苧=刈鬻£=30(，优).

(2)当3-116°时，C=180°-(A+8)=180°-(40°+116°)=24°,c=鬻苧=个票=13亿优).

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

课堂练习

第4页练习第2题。

思考题：在AABC中，「勺==「空=—三=瓜左＞。)，这个k与△ABC有什么关系？

sinJsin6sine

三.课时小结(由学生归纳总结)

a_b_ca+b+c

(1)定理的表示形式:=k(k>0)

sin4sin5sinCsin/+sin6+sinC

或a=4sin4,b=ksix\B,c-ksinC(A>0)

(2)正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

四.课后作业：P10面1、2题。

1.1.2余弦定理

设计人：董玉梅

(-)教学目标

1.掌B握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,

2.并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

(-)教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

(三)教学过程

提出问题：1、知道三角形的三边如何解三角形？

2、知道两边及其夹角如何解三角形？

3、余弦定理是什么？

课堂讨论：.

如图，在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求边c

得出结论：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余

弦的积的两倍。即a2-b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2-a2+bz-2abcosC

从余弦定理，又可得到以下推论：cos4=；；cosC=々H

〃2噌bc-"2ac2ba

定理理解：余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边：

②已知三角形的三条边就可以求.出其它角

例题讲解：

例1.在△ABC中，已知a=26,,c=次+/,8=45°,求b及A

例2.在△ABC中，8=3,，=3百,3=30°,求4,。和。.

拔高练习.：在△ABC中，若a2=〃+c2+6c,求角A。

［课堂小结］

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦淀理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

课后思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平

方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

1.2解三角形应用举例第一课时

设计人：董玉梅

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测

量相关术语

2、激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题

意和应用转化思想解决数学问题的能力

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

三、教学设想

1、复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及

的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，

是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择

的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，

但山于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三

角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的.重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求

转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸

边选定一点C,测出AC的距离是55m,ZBAC=51°,ZACB=75%求A、B两点的距离（精确到0.Im）

图1.2-1

提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边

AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦

定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得.至=-

sinZACBsinZABC

AB=ACsinZ4c8=55sinZAC8二55sin75°二55sin750比gg7（m）

sinZABCsinZABCsin（l8（F-510-75°）sin54°

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B

在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少?

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：V2akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所

以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分

别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

A------------------------------------------B

图1.2-2

解：测量者可以在河岸边选定两点c、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得NBCA=a,

ZACD=p,ZCDB=y,ZBDA=S,在AADC和ABDC中，应用正弦定理得

AC=«sin(7+(y)=“sin(7+b)

sin[i8(T—(夕+7+力]sin(£+y+力

Be=asin/二asin/

sin。80P—(a+/7+”］sin(a+/?+y)

计算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,ZBDA=60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复,

如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

4、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、课堂练习：课本第14页练习第1、2题

6,归纳总结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜

三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

四、课后作业

1.2解三角形应用举例第二课时

设计人：董玉梅

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题

2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。

3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

二、教学重点、难点

重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件

三、教学过程

I.课题导入

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量

飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题

II.讲授新课

［范例讲解］

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计•种测量建筑物高度AB的方

法。

图1.2-4

分析：求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点

观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角

分别是a、#,CD=a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据正弦定理可得

AC=。sin-AB=AE+h=ACsina+h—sinasin.+h

sin(a-/?)sin(a—6)

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=54°40',在塔底C处测得A处的俯角,=50°1'。

已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？

若在AABD中求CD,则关键需要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据/BAD=a求得。

解:在AABC中,NBCA=90°+夕，NABC=90--a,

ZBAC=a-,NBAD=a.根据正弦定理，

sinQ--

AB

sin(90°+p)

所以AB/Csin(9O°+0-8或。钞在RtAABD中，得BD=ABsinNBAD=&c°s.sma

sin(a-〃)sinQ一功sinQ一夕)

/

将测量数据代入上式，得BD=27.3co/sin5y=27.3cos501sin544(X^n7加)

疝044(/-501)sin43V

CD=BD-BC««177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米.

思考：有没有别的解法呢？若在AACD中求CD,可先求出AC。思考如何求出AC?

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南

15°的方向上，行驶5km后到达B处,测得此山

B

25*

顶在东偏南25°的方向匕仰角为8°,求此山的高度CD.

思考1：欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？（在ABCD中）

思考2：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件，易计算出哪条边的长？（BC边）

解:在AABC中，ZA=15°,NC=25°-15°=10°,根据正弦定理，

—=—,BC=-'sin”Q7.4524（km）CD=BCxtanZDBC«=BCxtan8°«=1047（m）

sinAsinCsinC

答：山的高度约为1047米

III.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题

IV.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中

进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

V.课后作业

1.2解三角形应用举例第三课时

设计人：董玉梅

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐

步让学生自主发现规律，举一反三。

3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。

二、教学重点、难点

重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

三、教学过程

I.课题导入

［创设情境］

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的

问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷

失方向，保持••定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

n.讲授新课

［范例讲解］

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,

沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎

样的方向航行,需要航行多少距离？（角度精确到0.1°,距离精确到0.Olnmile）

学生看图思考并讲述解题思路

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边

所对的角NABC,即可用余弦定理算出AC边，再根

据正弦定理算HlAC边和AB边的夹角NCAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°，根据余弦定理,

AC=y/AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC=A/67.52+54.02-2x67.5x54.0xcosl37°=113.15

根据正弦定理，—BC=忙sinZCAB=BCsinZABC=54-0sin137^o.3255,

sinNCABsinZABCAC113.15

所以ZCAB=19.0°,75°-ZCAB=56.0

答:此船应该沿北偏东56.1°的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为0,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰

角为26,再继续前进106m至D点，测得顶端A的仰角为46,求。的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中,

AC=BC=30,AD=DC=10百，ZADC=180°-46,

.10后=30因为sin49=2sin26cos26

sin26sin(180-40)

cos26»=—,W2”30°6=15°,.•.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

2

答：所求角6为15°,建筑物高度为15m

解法二：（设方程来求解）设DE=x,AE=h

在RlAACE中，（10石+x）2+h2=302在RtAADEft,x2+h2=(10V3)2

两式相减，得x=5石，h=15.,.在RtAACE中，tan26=---《---出

10V3+xT

.•.28=30",6=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8,由题意，得

ZBAC=6»,NCAD=28,AC=BC=30m,AD=CD=1073m

Y

在RtAACE中，sin26=—

30

②+①得cos20=——,2ff=30°,6=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10

海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该

沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

个北

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

/.（14x）2=92+（lOx）2-2x9x10xcosl20°

Qn

・•・化简得32x2-30x-27=0,即x=一，或x二-一（舍去）

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

又因为sin/BAC=^Ax叵辿

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'（钝角不合题意,舍去），

.•.38°13'+45。=83°13'

答：巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必

须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

III.课堂练习

课本第16页练习

IV.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

(1)己知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量与未知量涉及两个或儿个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步

在其余的三角形中求出问题的解。

V.课后作业

1.2解三角形应用举例第四课时

设计人：董玉梅

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式

的简单推导和应用

2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐

进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让

学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发

现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

二、教学重点、难点

重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目

难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

三、教学过程

I.课题导入

［创设情境］

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h.、般、hc,那么它们如何用已知边和角表示？

生：ha=bsinC=csinBhfc=csinA=asinChc.=asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式S=」ah,应用以上求出的高的公式如h〃=bsinC代入，可以推导

2

出下面的三角形面积公式，S=iabsinC,大家能推出其它的几个公式吗？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

IL讲授新课

［范例讲解］

例1、在AABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.IcY)

(1)已知a=14cm,c=24cm,B=150°;

(2)已知B=60°,045°,b=4cm;

(3)已知三边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应

用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：略

例2、如图,在某市进行城市环境建设中，要把•个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三

角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）?

思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

C+i.72+68-882-0.7532

2x127x68

2

sinB=Vl-0.7532=0.6578应用S=—acsinB

2

1°

SX68X127x0.6578^2840.38(m2)

2

答：这个区域的面积是2840.38m2。

变式练习1：已知在△ABC中，NB=30°,b=6,c=6石，求a及AABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9A/3;a=12,S=18石

例3、在AABC中，求证:

八、a2+b2sin2A+sin2B

⑴——；-=-----------；

c2sin2C

（2）a2+b2+C2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设

=±=，=k显然k*0,所以

sinAsinBsinC

a2+b2k2sin2A+k2sin2B_sin2A+sin2B

左边二二右边

c2fc2sin2Csin2C

（2）根据余弦定理的推论,

bI2+.c2-a2a2+b2-2

右边二2（be+ab

2bc2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边

变式练习2：判断满足sinC=SinA+Smg条件的三角形形状

cosA+cosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（解略）直角三角形

山.课堂练习课本第18页练习第1、2、3题

IV.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察

边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者

混用。

V.课后作业

2.1数列的概念与简单表示法（一）

设计人：董玉梅

一、教学要求：

理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出

数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.

二、教学重点、教学难点：

重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.

三、教学过程：

导入新课

“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。。。。。”，

（一）、复习准备:

i.在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之梗，

日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其•半剩“!”，再取一半还剩“!”.......

24

如此下去，即得到1,--.....................

248

2.生活中的三角形数、正方形数.阅读教材

提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？

（二）、讲授新课：

1.教学数列及其有关概念：

（1）三角形数：1,3,6,10,-

（2）正方形数：1,4,9,16,-[[]

（2）1,2,3,4......的倒数排列成的了....一列数：

（3）：的1次幕，2次幕，3次幕...排列成一列数：-1,1,-1,1,-1,。。。。。

（4）无穷多个1排列成的一列数：1,1,1,1,。。。。。。

有什么共同特点？1.都是一列数；2.都有一定的顺序

①数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一-个数叫做这个数列的项.

辩析数列的概念：（1）“1，2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗？

与“1,3,2,4,5"呢？------数列的有序性

（2）数列中的数可以重复吗？

（3）数列与集合有什么区别？

集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

②数列中每一个数叫数列的项，排在第-位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称

为这个数列的第2项.....排在第〃位的数称为这个数列的第〃项.

③数列的一般形式可以写成6,外,%,……，简记为{4}.

④数列的分类：（1）按项数分：有穷数列与无穷数列，

（2）按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.

⑤数列中的数与它的序号有怎样的关系？

序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。

即：数列可看作•个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的

一列函数值。反过来，对于函数)，=f(x),如果/(i)(i=l、2、3、4)有意义，可以得到

一个数列：/(1)\/(2)\/(3)\……

如果数列｛%｝的第n项与项数之间的关系可以用•个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数

列的通项公式。

函数数列(特殊的函数)

定义域R或R的子集N*或它的子集

解析式

y=an=/(«)

图象点的集合一些离散的点的集合

2.应用举例

例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,(2)2,0,2,0.

234

练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式:

2_6__8_22

⑴3,5,7,9,11,

3'15,35*63z99

(3)0,1,0,1,0,1,……；⑷1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；

(5)2,-6,18,-54,162,........

2345

例2.写出数列1,±,二二..…的一个通项公式，并判断它的增减性。

471013

思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？

例3.根据下面数列｛。“｝的通项公式，写出前五项：

n

n

⑴%=-----⑵an=(-l)•n

例4.求数列卜2/+9〃+3｝中的最大项。

例5.已知数列｛%｝的通项公式为%=log?(〃2+3)—2,求log23是这个数列的第几项？

三.小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.

四、巩固练习：

例5数列的概念与简单表示法(二)

设计人：董玉梅

--教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数

列的前几项；理解数列的前n项和与a“的关系.

教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.

三.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.

四.教学过程：

一、复习：

1).以下四个数中，是数列｛〃(〃+1)｝中的一项的是(A)

A.380B.39C.32D.18

2).设数列为V2,V5,2V2,Vn,...wij4V2是该数列的(c)

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

3).数列1,-2,3,-4,5的一个通项公式为%=(-1)向〃.

4)、图21—5中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形。在下图4个三角形中，着色三角形

的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的

图象。

CD137

二、探究新知

(一)、观察以下数列，并写出其通项公式:

(1)1,3,5,7,9,11,an-2n-l

(2)0,-2,-4,-6,%=-2(〃-1)

(3)3,9,27,81,--%=3"

思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？

(1)«)=l,«2=3=l+2=a(+2,a,=5=a2+2,•••,«„=a„_i+2

(2)at=0,«„=a„_,-2

(3)fl1=3,a„=3«n_,

(-)定义：已知数列｛a,J的第一项(或前几项)，且任一项明与它的前项a,』(或前几项)间的

关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.

练习：运用递推公式确定一个数列的通项：

(1)2,5,8,11<"%=2,%+3(n>2)

(2)1,1,2,3,5,8,13,21,。1-1，。2=1，%=%-1+%-2(〃N3)

例1:已知数歹•%｝的第一项是1,以后的各项由公式%=1+2一给出，写出这个数列的前五项.

%-1

解：1,2,|1,|

S“-(n>2)

若记数列｛a,,｝的前〃项之和为S“，则%=

』(〃=1)

2

练习：已知数列｛《,｝的前n项和为：（1）S“=2/_〃；（2）Sn=n+n+1,求数列｛%｝的通项公式.

例2已知％=2,a〃+i-4，求.

/、+可以写出：9=2,%=-2,。3=一6,%=-1°，…，观察可得:

观察法

an=2+(n-1)(-4)=2-4(〃-1)

解法二：

由题设：%+i-%=-4.

aa

n-n-\=-4

an-\~a„-2=-4

an-2-a,,-3=—4

累加法

%一％二-4

相加得:an-a{=-4(/?-1)

an=2—4(〃—1)

例3:已知6=2,%+i=勿“，求明.

解法一：解法二:邃乘法

2由您+i=2%,

ax=2,a2=2x2=2,

23

%=2x2=2,1••,4“=2%_”，即巴^=2

观察可得：%=2"J

・•.J也X幺=2"T

aa

n-\n-2a吁3%

三、课堂小结：

=a}.2〃T=2〃

1.递推公式的概念；

2.递推公式与数列的通项公式的区别是:

（1）通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项或n项）之间的关系.

Q）对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相应的项,而递推公式则要已知首

项（或前n项），才可依次求出其他项.

3用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.

四、作业

2.2等差数列（一）

设计人：董玉梅

一、教学目标

1.知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情

境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；

2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列

的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项

公式应用的实践操作并在操作过程中

二、教学重、难点

重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

三、教学设想

［创设情景］

上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得

比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。

［探索研究］

由学生观察分析并得出答案：

（放投影片）1、在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0,5,

2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7

个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48,53,58,63。

3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个

水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清

理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18,15.5,13,10.5,8,5.5

4,我国现行储蓄制度规定银行支付存款利