数理统计的基本概念考研资料

第六章数理统计的基本概念

第一节基本概念

1、概念网络图

,总体、

个体

数理统计的基本概念样本一正态总体下的四大分布

样本函数

统计量

2、重要公式和结论

（1）数理在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全

统计的基总体体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随

本概念机变量（或随机向量）。

个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

我们把从总体中抽取的部分样品X,,X2，…，乙称为样本。样本

中所含的样品数称为样本容量，•般用n表示。在一般情况下，

总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机

样本变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结

果时，X|，w，…,x”表示n个随机变量（样本）；在具体的一次

抽取之后，再，X2,…,X”表示n个具体的数值（样本值）。我们

称之为样本的两重性。

设匹，血,…,X,为总体的一个样本，称

样本函数和夕=夕（xi,x2,---,xn）

统计量为样本函数，其中9为一个连续函数。如果夕中不包含任何未

知参数，则称夕（的，》2「”,演）为一个统计量。

-1〃

样本均值x=

〃/=1

]n

样本方差S—Z(%，X)2.

〃-1(=1

样本标准差S1」一£区-x)2.

样本k阶原点矩

1〃

常见统计量Mk=-gx：,攵=1,2,….

及其性质«,=l

样本k阶中心矩

1〃—

M'k二一£(/一个，攵=2,3,….

〃片

2

E(了)=〃，D(X)=—,

n

ES)=T,E(S*2)=H^2,

n

1•1_—

其中S*2=—£(Xj-X)2,为二阶中心矩。

47=1

设X1,%2,…,x”为来自正态总体N(〃,cr2)的一-个样本，则样

(2)正态本函数

总体下的正态分布

泮N〜N(OD

四大分布

a/y/n

设X1,%2,…,X"为来自正态总体NO。？)的'个样本，则样

本函数

产fX—〃,..

t分布L------〜/(«-1),

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

设七,》2,…,X"为来自正态总体N(〃,cr2)的一个样本，则样

本函数

/分布

何(〃-1斤2

2〜％51)，

(J

其中力2(〃一1)表示自由度为n-1的力2分布。

设Xi，%,…,x”为来自正态总体N（〃,cr：）的一个样本，而

必，为，…,尤为来自正态总体N（〃,<7；）的一个样本，则样本

函数

defS：/CT.2

产一^7^〜尸（”「1’〃2—1），

F分布

其中

S|=5（Ex）,S2=X（y,y）;

-1/=l〃2-1,=1

厂（勺一1,〃2—1）表示第.自由度为勺一1，第二自由度为

〃2-1的F分布。

（3）正态又与S2独立。

总体下分

布的性质

例6.1：从正态总体N（3.4,6?）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（L4,

5.4）内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？

第二节重点考核点

统计量的分布

第三节常见题型

1、统计量的性质

例6.2：设（乂，占,…,丫7）取自总体X〜N（0,0.52）,则________

3=i）

_____O

例6.3：设总体X服从正态分布N（%«2），总体y服从正态分布

N（〃2,X2,…X“,和匕石，…七分别是来自总体X和丫的简单随机样本，则

22

之(Xj—灭)+£(ry-n

/=1j=\

%+〃2-2

2、统计量的分布

例6.4：设…，X,）是来自正态总体N（〃Q2）的简单随机样本，X是样本均值,

记

1”一1〃_

1”

£=一^（乂-〃）2,S4之党（一）2,

则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是

(A)/=X',X—R

(B)t=

S]/J"-1

s2/V»^T'

X-uX-u

(C)t—-------尸.(D)t—-------1=.[]

S31aS)品

例6.5：设总体X〜N（0,俨），从总体中取一个容量为6的样本（X1,X2,…，乂6）,设

22

Y=（Xt+X2+X3）+（X4+X5+Xb）,试确定常数C,使随机变量CY服从72分布。

第四节历年真题

数学一:

1（98,4分）从正态总体N（3.4,6?）中抽取容量为〃的样本，如果要求其样本均

值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95,问样本容量力至少应取多大？

［附表］:①(Z)=

2(01,7分)设总体X〜N(〃,b2)(b>0),从该总体中抽取简单随机样本

___12n

,其样本的均值x=—Yxi,求统计量

2n,=1

y=£(Xj+Xn+i-2T)2的数学期望E(Do

z=l

3(03,4分)设随机变量X〜«〃)(〃>l),y=°v，则

X-

(A)Y~x2(Z>)(B)Y~x2(«-1)

(C)Y~F(w,l)(D)K~F(l,w)

4.(05,4分)设X-X2,…,X”(〃N2)为来自总体N(0,l)的简单随机样本，灭为样

本均值，S?为样本方差，则

(A)点〜N(0,l)(B)nS2~x\n)

(C)小区〜伞―1)(D)("OX：—

s

i=2

5.(05,9分)设X-X2,…,X”(〃>2)为来自总体N(0,l)的简单随机样本，亍为样

本均值，记匕=乂—刀,z=l,2,-,«o

求：(I)匕的方差。匕，/=1,2,•••,/?；

(II)X与匕的协方差。。丫化,匕)。

数学二:

1（94,3分）设天/2,…,X,是来自正态总体N（〃Q2）的简单随机样本，X

是样本均值，记

S”迄…

则服从自由度为7^1的£分布的随机变量是

(A)t=X/(B)t=X-4

S]/-1

X-u

(C)t=^=(D)t=/[]

S314rlSj4n

2（97,3分）设随机变量才和N相互独立且都服从正态分布N（0,32）,,而

X/2,…王和乂,丫2,…多分别是来自总体乃和F的简单随机样本。则统计量

u=：；：…服从

分布，参数为

3（98,3分）设乂,工2，丫3，丫4是来自正态总体〃（0,22）的简单随机样本。

X=a（X1-2妈）2+b（,3X3-4尤）2.则当a=，IB寸，统计量期员

从？分布，其自由度为。

4（99,7分）设X”X2,…X9是来自正态总体开的简单随机样本，

yl...X）,

i=（X1++6Y2=^X1+XS+X9）

o3

心生因-犷,z=^2目力

2/=13

证明统计量z服从自由度为2的t分布。

5（01,3分）设总体¥力（0,2b,而X「X2,…,X|5是来自总体X的简单随机样

本，则随机变量

y=X；+…+X.

-2（X1+…+腌

服从分布，参数为O

6（02,3分）设随机变量X和y都服从标准正态分布，则

（A）K4服从正态分布。（B）1+产服从V分布。

（C）片和户都服从V分布。（D）》/「服从多｝布。[]

7（03,4分）设总体才服从参数为2的指数分布，X1,Xz，…X“为来自总体才

Ig

的简单随机样本，则当〃->8时，工=—依概率收敛于。

〃/=1

8（04,4分）设总体X服从正态分布N（出,。2）,总体y服从正态分布

N（〃2,小），

乂,占广。叫和乂名,…4分别是来自总体x和y的简单随机样本，则

_2肛_2

X（xj-X）+Z（%-丫）

E-----------------------------=___.

〃1+〃2-2

9.（06,4分）设总体X的概率密度为/（刀）=；/“（一8Vx<+8）,毛，％2,…,x”为

总体的简单随机样本，其样本方差S2,则成2=

第七章参数估计

第一节基本概念

1、概念网络图

'无偏性]

‘矩估计'

点估计＜一估计量的评选标准有效性，

.极大似然估计.

从样本推断总体一致性

区间估计｛单正态总体的区间估计｝

2、重要公式和结论

设总体X的分布中包含有未知数仇,，2,…，则其分布函数可以表成

F（x;4,名，…,/）•它的k阶原点矩v,=E[Xk）（k=1,2,…，⑼中也

包含了未知参数片,,即匕=匕.（仇，％,…。又设

七，x”为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

1n

-\x.（Z:=1,2,­••,«?）.

n；.

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”

的原则建立方程，即有

AAA1J、

vi（价,%，…，。〃）=一E'i，

⑴点

矩估计AAA1

估计%（用&…4）=—Zx\

〃Z=1

«

AAA]〃

匕⑸电，…，%=一£x：.

[ni=\

由.上面的m个方程中，解出的m个未知参数（后,即为参数

（优，/，,,,,/）的矩估计量。

若3为。的矩估计,g（x）为连续函数，则g。）为g（e）的矩估计。

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

/(x；q，&，…,/),其中4，仇，…仇为未知参数。又设

X1…,X”为总体的一个样本，称

〃仇，2,…,£)=自/区;仇，仇

/=!

为样本的似然函数，简记为。.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为

p{x=x}=p(x；q…4)，则称

L(X],X2,…,x”；q,2,…4)=[[,区;仇…4)

极大似/=1

然估计为样本的似然函数。

若似然函数£(再,二,…,小;名，仇在标处取

到最大值，则称江,,3”分别为仇，仇，…,仇，的最大似然估计值，

相应的统计量称为最大似然估计量。

SlnA„

=0,z=1,2,…，加

强一

若2为。的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(历为g(6)的极大

似然估计。

AAA

设。=火为，声,…,x“)为求知参数。的估计量。若E(。)=6,则称

无偏性方亚的无偏估计量。

E(X)=E(X),E(S2)=D(X)

设11="(X],X，2，…,X“)和=)2(X],X，2，…,X“)是未知参数6

有效性

的两个无偏估计量。若。(4)<。@2),则称就比有效。

⑵估

计量的设4”是。的一串估计量，如果对于任意的正数£,都有

评选标

准limP欣-例〉£)=0,

8

则称人为。的一致估计量(或相合估计量)。

•致性

若3为e的无偏估计，且->o(〃-8),则)为夕的一致估计。

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相

应总体的一致估计量。

乙出

，…，

,X”

本占

从样

我们

如果

数eo

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设总

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