欧拉积分的性质及其应用

欧拉积分的性质及其应用欧拉积分及其应用2目录12333455678005667901摘要在理论与实践上，它的地位仅次于初等函数，应用领域十分广泛．然而，对于欧拉积分性质的研究远远比对初等函数性质的研究要复杂得多．为了对欧拉积分有一个更加全面、更加系统的认识，为了探索欧拉积分的应用领域，充分挖掘欧拉积分的应用价值，在深刻理解伽马函数、贝塔函数定义的基础上，对两类函数的定义域、函数的连续性、函数的可微性、函数的递推公式、函数的某些性态以及伽马函数和贝塔函数的内在联系等性质进行全面归纳总结，并加以严格的理论证明．通过典型例题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效地解决某些具有特殊类型的定积分计算问题，有效地解决概函数、贝塔函数的性质应用于物理学中，为物理学中相关问题的顺利解决提供有力工具．bstractingee引言，像鹰在风中盘旋一样．”这句话对欧的人们称他为“分析的后人留下了极其丰富的科学遗常可以看到以他的名字命名法的创始人为微分方程理论尔问题的深入研究，最的表示简洁明了，后续流体力学里的欧拉方程，为物成为数学学习中的重点，同时也是数学学习中同的数学工具，如例，可变上限的拉积分就是由欧拉整理得出的两类含参变量关于欧拉积分性质的研究方法也十充分、全面的认识，那么对于解决重要的意义和价值，对欧拉积分的深入研究也是必要且有实际意义的．德国数学大师Hilbert曾在巴黎的国际数学家大会上说过：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢”随着时间的推移，一百年过去了，关于数学欧拉积分的百年面纱层层被揭开．随着对欧拉积分全面深入的研究以及科学技术的不断发展和研究水平的显着提高，欧拉积分的应用领域不断扩大，不断地解决更多的实际生活中的问题，发展前景十分广1预备知识为了能够深入研究欧拉积分的性质及其应用，必须要先了解与欧拉积分密切相关的知识内容．如无穷积分与瑕积分敛散性的判别方法、一致收敛的性质及其应用．x)+waa设Vx=[a,+w)，有aaaa无穷积分j+wf(x)dx收敛一Vb>a，无穷积分j+wQ(x)dx也收敛．aax)a+aab1)若瑕积分jbQ(x)dx收敛(a是瑕点)，则瑕积分jbf(x)dx收敛；aa2)若瑕积分jbf(x)dx发散(a是瑕点)，则瑕积分jbQ(x)dx发散．aaaaaaaa1a即duaa?uduaa?u2欧拉积分的性质欧拉积分由两类含参量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔0000001010x)0+x)0+0x)+wxxx)+wx110000011有有0100[a,a]上一致收敛．212012202000?议00ax)0+aaa2001xx)+wex)+wex)+w1x)+wex)+wx)+wxe2x)+w31b11100?a00?a0类似地可证T,(a)在闭区间[a,b](a>0)上连续且可在T,(a)基础上求可在积分号下求导数，得000x)+wex就能计算出任意正数a的函数值T(a)．+00x)+w0000通过对上述T函数求导，有000000000一一个极小值点x落而在在区间(1,2)内．0aa函数的性质还有余元公式以及勒让德公式,其中20、可微性、对称性以000212102(i)首先考察积分I(x)，有110x)0+x)0+10敛．(ii)再考察积分I(x)，有212x)1+x)1+2100210200000续．0p?qp?q00?p00?p00?p0?p000q000存在二阶、三阶等任意阶偏导数．010B(p,q)=q1B(p,q1)=q0022202T(n+1)202T(1)2202T(1)22或2即2n仁N，逐次应用递推公式，有+Bp1)=j1xp_1dx=1，即0p+或00过对T函数和B函数性质的全面研究发现，它们内在之间有着紧密的联T函数和B函数是两个含参量的反常积分所定义的非初等函数，它们有中的应用以及证明一在微分方程中都有重．欧拉积分在数学分析中的应用通过上述对T函数和B函数的性质的全面深入的学习和研究，可以帮助图形围成区域面积计算过程，节省了计算的时间．00式，通过换元法，化为T函数形式，利用T函数来计算此积分．=2.2.2….2=2.2.2….21所以，这个图形围成的区域的面积S应该是第一象限那部分图形的面积的四100m将积分转化为欧拉积分：mT(2)myaa化技巧使用不恰当会导致计1nt21=.=.=．欧拉积分在概率和统计中的应用nn及随机变量有关的证明例4分别求出下列分布密度中的常数k使其成为概率密度函数．分析上式中kxp_1(1_x)q_1符合函数B(p,q)=j1xp_1(1_x)q_1dx的被积函数的形0q00即11n.T(t)nT(t)nn2n2_w0T(m)T(n)_w0T(m)T(n)ii122T(t+t,n)．12ii12即1212二阶微分方程x2=d2y+xdy+(x2+k2)y=0(k0，k不一定是整数)的解d2xdxn=0n=0nknkn=0nknkn=0其中(k+n+1)与(k+n+1)是两个函数．H(x)称为n阶贝塞尔函数，H(x)kk称为n阶贝塞尔函数．对于贝塞尔方程求特解的方法是非常困难和繁琐的．此时，利用它与函数的密切的关联来求解贝塞尔方程的特解，使得二续工作的顺利完成提供极大地方便．欧拉积分在物理中的应用的超统一理论、量子场理论的作用．在研究李超代数的相干态定完备性关系的时候，经常会遇到类似于j+x2p+1[9]的积分形式，为了方便它的计算，我们将此积分的计算结果作一推导.02u)qu)qttt2则有2可以确定李超代数相干态的完备性与欧拉积分有密切的关联．因此，利用欧积分可以为确定李超代数相干态的完备性关系提供有力工具．体物理时常常会遇到jx,xe一xdx[10]的积分形式，如果积分当中的x,为一个确定000022022222