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文档简介

由一堂数学期望课展现的课程思政《概率论与数理统计》是所有工科、经济管理专业的主干基础课,每年有大量学生参加该门课程的学习。以往的教学方法、教学内容和手段通常比较传统,非常注重理论知识的学习,忽视学生应用概率与统计的知识解决实际问题的能力,以及课程本身所带来的课程思政方面的思考。课程思政更加强调要充分发挥课堂教学在育人中主渠道作用,着力将政治教育贯穿于学校教育教学的全过程,深入发掘各类课程的理论教育资源,发挥所有课程育人功能,落实所有教师育人职责。接下来介绍由一堂数学期望课展现的课程思政。.数学期望的来源梅累是一个贵族,嗜赌如命!一次他和赌友掷骰子,两人赌技相同,因为这样才公平,谁都会选择与自己水平相当的人游戏,没有人会明知道不行还参与。他们用32枚金币做赌注,约定:如果梅累先掷出三次“6点”,或赌友先掷出三次“4点”,就算赢了对方。两个人赌了一阵儿,梅累已经掷出了两次“6点”,赌友也掷出了一次“4点”。赌局被迫中断了,据说是国王要召见梅累,那么他们俩该如何分配这64枚币金呢?分析:这个赌博游戏是需要一点时间的,教师通过实地演示掷骰子说明有的时候能掷出4点或6点,有的时候掷出其他点数,确实需要些时间,不能马上定出结论。这样的处理方式一方面具有代入感,让同学设身处地去感受,一方面给同学思考时间。然后再次询问学生:你觉得该如何分配赌资?已经有同学给出答案了。通常最容易想出以下两种分法:(1)梅累得32枚金币,赌友得32枚金币,也就是按1:1分配全部赌资64枚金币。这种分法考虑到两人赌技相同,就平均分配,没有照顾到梅累已经比赌友多赢1局这一现实,显然对梅累是不公平的。(2)梅累与赌友按2:1分配赌资。这种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前提,还尊重了已经进行的三局比赛结果,当然更公平一些。但是,第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的话会出现什么情形,即没有照顾到两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。还是有失公平的。期间同学可能还有其他提法,比如将赌资都给梅累,但是这种分法对于赌友来说也不公平,因为时间允许的话,继续赌下去,若是运气好连赢两局,赌友还有机会能得到全部的赌资。所以不管其他何种分发,注意提醒学生是在平等的基础上兼顾公平公正的原则,得到的满意结论吗?由此契入课程思政,平等、公正原则也是党的十八大提出的社会主义核心价值观的基本内容,同学们不管做什么事情,做什么决定都要记得公平,公正的原则,这种价值观有史以来一直是人类社会应该遵循的基本原则。历史上,梅累就以“应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望。分赌本问题的解决就需要用数学期望的概念,稍后我们将分赌本问题简化后给出结论。为了更好的理解数学期望的概念,先请同学们来看一个引例。.离散型数学期望概念的获得引例:有人赌吗?假设我们来玩一个游戏:如果有13张牌,其中有一张是A;现在我来坐庄,一块钱赌一把,如果谁抽中了A,我赔他10块钱,如果没有抽中,那么他那一块钱就输给我了。同样可以用扑克牌做道具,同时叙述,一块的赌资,十倍的返还,诱惑力不小,询问同学:有人赌吗?会有人参加,有人不参加,有人还没想好。分析:积极参与的人一定是关注到了十倍返还,高回报。不参加的人一定是发现了在抽之前,谁也不知道能抽到什么,但是可以判断抽到A的可能性要小得多,13张牌中才有一张,换句话说概率是十三分之一,而抽不中A的概率是十三分之十二,十倍返还是高回报,同时也是高风险。当然如果你只玩一把,只有两种可能:抽中了赢10块钱,没抽中输一块钱。输掉的可能性是赢的12倍,还是不要参加了。但是,如果你玩上几百几千甚至更多把呢?有的抽中,有的抽不中,几千几百把的总结果是什么样的呢?再或者我按11倍、12倍返还,你还要不要参加?概率是一个对未发生的事情会不会发生的可能性的一种预测,而上面的引例可以理解成某件事情大量发生之后的平均结果。这就是概率上的一个概念,叫作数学期望。数学期望用字母E表示,它是Expectation的首字母,揭示期望的本质含义,是未发生的随机事件的以概率为权的加权平均。现在我们来看上面的那个例子,抽中的概率是1/13,结果是赢10块钱(+10),抽不中的概率是12/13结果是输1块钱(-1)。把概率与各自的结果乘起来,然后相加,得到的“数学期望”值是(-2/13)。这就是说,如果你玩了很多很多把,平均下来,你每把会输掉(2/13)块钱。如果抽中A赔12块钱,那么数学期望值是0,你玩了很多把之后会发现结果最接近不输不赢。如果抽中A赔13块钱,那么数学期望值是1/13,对你有利,大量玩的结果是你会赢钱,我当然不会这么设赌局。数学期望是理性决策的基础。我们做任何一个决定,都不能只考虑最理想的结果,不能只想到十倍返还,还要考虑到理想结果出现的概率和其他结果及其出现的概率,也就是还要想到输掉1元的概率12/13。否则,如果只考虑最理想的结果,大家都应该从大学里退学——从大学退学的最理想结果是成为世界首富,那个叫比尔盖茨的家伙。由此契入课程思政,劝诫同学们凡事要脚踏实地,经得起诱惑,不能轻信盲从,无论看起来多么诱人。无论是赌场还是彩票,幸运儿的产生必定伴随着大量献爱心的人,赌场和彩票生意兴隆的基础,是每个人都认为自己曾是那个幸运儿。.离散型数学期望的应用例1.(简化的分赌本问题)甲、乙两人赌技相同。各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元。由于出现意外情况,在甲胜2局、乙胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?解答:现在我们可以很简单的回答分赌本问题了,在赌技相同的情况下,应用概率的知识可知甲,乙最终获胜的可能性大小之比为3:1。因此,甲能期望”得到的数目应为200的3/4等于150元,而乙能“期望”得到的数目,则为200的1/4等于50元,这种分法自然更为合理,使双方都乐于接受。从本例中可看出期望值也许与每一个结果都不相等。例2.假设有一投资项目,若投资10万元现金,为期一年,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元。若存入银行,同期间的利率为5%,问是否作此项投资?解答:如果你只有10万元,不要投资,因为失败机会是成功机会的两倍多。如果你有很多个10万元可以用于投资,大数次重复的情况下,平均一次投资的利润为8*0.3+(-2)*0.7=1万元,存入银行的利息:10*0.05=0.5万元,相比较而言,以投资的效益较大化为目标建议选择投资。其实,到底如何决策还与决策者的性格取向有关,有的人是风险型乐观决策者,有的人是保守型悲观决策者。由此契入课程思政,同学们要学会理性投资。新时代背景下,投资、、校园贷等等五花八门,要理性,不要想着一夜暴富。彩票之所以叫福利彩票,因为你买彩票能中奖是小概率事件,所以你的投入更多的是用来做慈善,而不是回报你。数学期望起源于并不光彩的赌博行业,但是它的应用很广泛。数学从来都是练会的,不是听会的,因此下面做一个练习题:练习.选拔运动员。设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现需要选拔其中的一名参加运动会,根据过去的记录显示,二人的技术水平如下:甲射手击中8、9、10环的概率分别为0.3,0.1,0.6。乙射手击中8、9、10环的概率分别为0.2,0,5,0.3。试问哪个射手技术较好?解答:运员的水平是通过其平均水平来衡量的,因而甲、乙两射手的平均水平分别为:甲8*0,3+9*0,1+10*0,6=9,3环。乙8*0,2+9*0,5+10*0,3=9,1环。故甲射手的技术比较好。此例说明,分布函数虽然能全面地刻划随机变量的统计规律,是随机变量概率性质最完整的刻划,

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