一次函数知识框架

第19章—一次函数知识点一：常量与变量1.一辆火车从甲地开往乙地，火车每小时走60km．常量：速度、甲乙两地的路程变量：火车所走的路程，行驶的时间2.在圆周长公式中，变量是，自变量是．知识点二：函数的意义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，我们称y是x的函数，其中：x是自变量，y是因变量．(1)在理解函数的意义时要抓住三点：①有一个反映变化的过程．②有两个变量x和y．③变量x一旦变化，变量y都有唯一值与它对应．在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表示y．例题：1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=80时，路程和时间的函数关系式为．2.下列图象中，表示是的函数的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于变量.y的关系：①；②；③其中表示y是的函数关系的是()A.①②③B.①②C.①③D.②③一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（）A.B.C.D.2.周末上午8时，小明先去小华家，两人再一起去超市购物，到下午2时返回小明家．结合图象回答：（1）两人在超市购物花了多长时间？（2）超市离家是多远？（3）两人返回时的平均速度是多少？（4）小明何时离自己家10千米远？知识五：正比例函数定义形如的函数叫正比例函数。注意：（1）（2）自变量x的指数为1例题：1.下列函数中，是正比例函数的是（）A.B.C.D.2.（易错）当m=时，是正比例函数．3.下列各选项中，成正比例关系的是（）A.人的升高与体重B.正方形的面积与它的边长C.买同一种练习本所需钱数和所买的本数D.从甲地到乙地，所用时间和行驶的速度知识点六：正比例函数的图像和性质（重点）（1）图象：正比例函数的图象是经过原点的直线。由于正比例函数图象是过原点的直线，而两点确定一条直线，因此，画的图象时，除原点外，只要再确定一个点即可。（2）性质：当时，直线经过第一.三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当时，直线经过第二.四象限，从左向右下降，即随x的增大y而减小；例题：正比例函数必经过点．某函数具有下列两条性质：（1）它的图象经过点（0，0）的一条直线；（2）y的值随的增大而减小，请你举出一个满足上述两个条件的函数（用关系式表示）．已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求y与之间的函数关系式．东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是．5.若关于x的函数是一次函数，则m=，n.6.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-（B）m>5（C）m=-（D）m=57.一个正比例函数的图象经过点（2，-3），它的表达式为（）A．B.C.D.8.已知函数，下列说法中错误的是（）A．函数经过第二.四象限B.y的值随x的增大而增大C．原点在函数的图象上D.y的值随x的增大而增小9.已知正比例函数，若y随的增大而增大，则k的取值范围是（）A．B．C．D．10.（难点）已知正比例函数图象上的两点A，B，当时，有，那么m的取值范围是（）A．B.C.D.11.已知y-3与成正比例，且时，y=7，（1）写出y与之间的函数关系式（2）计算时，y的值（3）计算y=2时，的值（4）若点（a，0）在这个函数图象上，求a的值知识点七：一次函数的定义（1）定义：一般的，形如的函数，叫一次函数。（2）一次函数中自变量的取值范围是全体实数（3）正比例函数和反比例函数的区别与联系当时，变为，所以说，正比例函数是一种特殊的一次函数。正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。（4）待定系数法求一次函数解析式要确定一次函数中的常数k和b，一般的求解方法是待定系数法。即先设出函数的表达式，在由已知条件列出关于k，b的二元一次方程组，通过方程组确定k和b，从而确定解析式。例题：函数，，，中，一次函数有（）A．1个B.2个C.3个D.4个2.下列说法正确的是（）A．正比例函数是一次函数B．一次函数是正比例函数C．正比例函数不是一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数下列给出的四个点中，不在直线上的是（）A.(1，-1)B.(0，-3)C.(2，1)D.(-1，5)（难点）对于函数，当k=时，它是正比例函数；当k=时，它是一次函数。5.根据右图所示的程序计算函数值，若输入的x值为1.5，则输出的结果为（）A.3.5B.1.5C.0.5D.-0.5知识点八：待定系数法（考点）例题：1.已知点A（，）在函数的图像上，则=；2.设点P（3，m），Q（n，2）在函数的图像上，则m+n=______．3.已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求此一次函数的解析式．知识点九：一次函数图像和性质（重点）一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。一次函数必过点（0，b）和点，所以在画一次函数图象时可选取这两个特殊点进行画图。（3）一般地，一次函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大当时，y随x的增大而减小。例题：1.一次函数的图象经过点（0，）与点（，0），y随x的增大而．2.（易错）已知函数，当k取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，这些直线必定（）A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直3.（易错）已知函数，当取不同的数值时，可以得到不同的直线，这些直线必定（）A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直4.已知一次函数，若y随的增大而减小，则该函数的图象经过（）A.第一.二.三象限B.第一.二.四象C.第二.三.四象限D.第一.三.四象限5.若一次函数的函数值y随的增大而增大，且一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是（）A.B.C.D.6.（难题）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是．7.已知实数a，b，c满足()那么的图像一定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第二象限8.一次函数的图像经过二、三、四象限，则化简所得的结果是（）A.mB.-mC.2m-nD.m-29.已知点，和点，都在直线上，若＞，则，的关系是（）A.＞B.=C.＜D..不能比较10.（难题）.两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.11.已知直线与直线关于原点对称，求k、b的值．12.若直线（k＜0）过点（-2，5），则不等式的解集是．13.如图，直线与直线相交于点A（-1，2），与x轴相交于点B（-3，0），则关于的不等式组的解集为．14.已知直线（k0）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则k的值是．15.（难题）已知一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（）A.B.C.D.16.(易错)一次函数的图象与两坐标轴交于点A，B，则的面积等于（）A．12B.9C.18D.2417.已知点A、B在一次函数（k、b为常数，且）的图象上，点A在第一象限，点B在第二象限，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.18.一次函数的图像与，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当PC+PD取最小值时，P点坐标为，此时，PC+PD=．第14题第15题第18题19.(难题）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）A.10B.16C.18D.20知识点十：一次函数的图像平移（考点）例题：在同一直角坐标系内，直线可由直线向下平移得到，．一次函数的图象向上平移4个单位得到的函数解析为，向下平移2个单位得到的函数解析式为，再向平移个单位得到函数．将一次函数向左平移的图象向左平移2个单位后，得到的图像解析式是，然后再向右平移4个单位后，得到的图像解析式是．4.直线m:是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而，在直线n上，则=__________．5.要得到的图像，可把直线（）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向上平移4个单位D.向下平移4个单位知识点十一：一次函数与一元一次方程（重点难点）(1)任何一元一次方程都可以转化为的形式(2)解一元二次方程可以转化为：的值为0时，求相应的自变量的值；从图形上看，这相当于一只直线，确定它与x轴交点的横坐标的值。(3)利用函数图象解一元一次方程的步骤：①画出一次函数图象找出直线与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解例题：1.直线与轴的交点坐标是（）A.(6，0)B.(0，6)C.(-8，0)D.(0，-8)2.直线与x轴交于点（6,0），则m的值为（）A.2B.3C.1D.03.当=时，函数的值等于2．4.下列说法正确的是（）A.方程可以看作直线与y轴的交点B.方程可以看作直线与轴的交点C.方程可以看作直线与y轴的交点D.方程可以看作直线与轴的交点5.一次函数过点（1，5），则一元一次方程的解是．6.在同一直角坐标系内作出函数和的图象，并回答：当x取何值时，当x取何值时，当x取何值时，知识点十二：一次函数与一元一次不等式（重难点）(1)一元一次不等式或(a≠0)是一次函数(a≠0)的函数值不等于0的情形。(2)直线上使函数值(x轴上方的图像)的x的取值范围是的解集；使函数值(轴下方的图像)的的取值范围是的解集。例题：1.已知点（2，）和（4，）都在直线上，则（）A.B.C.D.无法确定2.已知直线上的点（，y）在轴的上方，则（）A.B.C.D.3.当时，直线上的点（，y）的位置是（）A.在x轴上方B.在x轴下方C.在y轴左侧D.在y轴右侧4关于的一次函数的图象与y轴的交点在轴的下方，且y随的增大而增大，则的取值范围是．如图，在平面直角坐标系中，点P（−，）在直线与直线之间，则的取值范围是（）A.2＜＜4.B.1＜＜3C.1＜＜2D.0＜＜26.已知一次函数，当时，，则满足．7.已知是方程组的解，那么一次函数和y=+1的交点是________．8.一次函数的图象经过（-2，0）和（0，2），则不等式的解集是（）A.B.C.D.9.如图，函数和的图象相交于点A（m，3），则不等式的解集为．10.如图直线经过过A（2，1），B（—1，—2）两点，则不等式的解集为．第5题第9题第10题如图，直线与直线相交于点A（-1，2），与轴相交于点B（-3，0）则关于的不等式组的解集为（）A.B.C.D.12.如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.知识点十三：一次函数与二元一次方程组（考点）(1)二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式。(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标。例题：1.若直线与直线相交于点（1，-2），则（）A.，B.，C.，D.，2.已知一次函数与的图象交于点P，则P点的坐标是．3.已知是方程组的解，那么一次函数和的交点是________．4.已知直线与的交点为（-5，8），则方程组的解是．5.已知直线和的解析式分别为，，根据根据图中的图象填空：（1）方程组的解为；（2）当时，的范围是___________；（3）当时，自变量的取值范围是____________．知识点十四：一次函数应用题（难点）1.分段函数，求各段函数的直线解析式2.方案选择，通过计算各个方案，来决定哪种更加优惠。3.运输费用最省分段函数问题：解题策略：（1）分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应．（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值．1.为鼓励居民节约用气，我市今年开始对天然气收费实行阶梯气价，阶梯气价划分为两个档级：（1）第一档气量为每户每月50立方米（含50立方米）以内，执行基准价格；（2）第二档气量为每户每月超出50立方米以上部分，执行市场调节价格．小明家1月份用气55立方米，交气费115元；2月份用气58立方米，交气费122.5元．

（1）求每立方米天然气的基准价格和市场调节价格分别是多少元？

（2）设每月用气量为x立方米，应交气费y元，写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家3月份用气60立方米，他家应交气费多少元？几何图形中的动点问题解题策略：（1）解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。（2）在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。例题：1.（2014.三牧中学单元卷）如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△COM的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．方案选择：解答选择方案应用题，可以分四个步骤进行：第一步:确定自变量和因变量；第二步：建立数学模型（主要是函数关系式）；第三步：确定自变量的取值范围；第四步：根据自变量的取值范围，一次函数的性质，确定最佳的实施方案。1.某水产品养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50kg，或将当日捕捞的水产品40kg进行精加工，已知每千克水产品直接出售可或利润6元，精加工后再出售，可获利润18元，设每天安排名工人进行水产品精加工，并且每天精加工的水产品和未来得及精加工的水产品全部出售，

（1）求每天做水产品精加工所得利润y（元）与的函数关系式；

（2）求每天总利润W（元）与的函数关系式；（3）那么如何安排生产可使这一天所获利润最大？最大利润是多少？2.某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用（元）关于（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．3.某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售．现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度（千米／时）运输费用（元／千米）包装与装卸时间（小时）包装与装卸费用（元）甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700（1）若乙.丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）；（2）如果A，B两市的距离为千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用.运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？知识点十五：一次函数综合题（难题）考点5:函数综合题，在直角坐标系中，函数解析式1.点坐标：与x、y轴的交点；与直线的交点2.线段长：与x、y轴平行的线段长（右边－左边，上边－下边）与x、y轴不平行的线段长（用勾股定理来计算）求三角形的面积：底乘高除以2；割补法【典型例题】1.若直线与相交于轴上，则b的值是2.如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则的值为3.在平面直角坐标系中，下列直线中与直线平行的是（）A.B.C.D.4.如图已知一次函数的图象经过A（-2，-1），B（1