第二轮复习专题数列的综合应用

数列的综合应用一、知识点梳理能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二、例题选讲1．(★）1．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则a------------------------------------------------------------------（D）A．4B．2C．－2D．－42．（★）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，则EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))为------------------（A）（A）EQ\f(3,10)（B）EQ\f(1,3)（C）EQ\f(1,8)（D）EQ\f(1,9)3．（★）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是---------------------------------------------（C） 或－15 C.±8 D.±154．（★)在各项均不为零的等差数列中，若，则------------------------------------------------------------------------------------------（A）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．（★★）在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为----------------------------------------------------------------------------------------（A）A.－ B.－ C.－ D.－6．（★★)(B)（A）8（B）9（C）10（D）117．（★★)正项等比数列｛an｝与等差数列｛bn｝满足且，则，的大小关系为---------------------------------------------------（B）（A）= （B）＜ （C）＞（D）不确定8．（★★）设函数（R，且，N*），的最小值为，最大值为，记，则数列------------------------------------（C）（A）是公差不为0的等差数列（B）是公比不为1的等比数列（C）是常数列（D）不是等差数列，也不是等比数列9．（★★★)三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是-----------------------------------------------------------------（D）A．正三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形，但不是直角三角形 D．直角三角形，但不是等腰三角形10．（★★★）设是定义在上恒不为0的函数，对任意，都有，若（为常数），则数列的前项和的取值范围是---------------------------------------------------------------------------------------(D)A．B．C．D．11．（★）等差数列{an}的前10项中，项数为奇数的各项之和为125，项数为偶数的各项之和为15，则首项a1＝_113_，公差d＝__-22__．12．（★）正项等比数列的首项，其前11项的几何平均数为，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是，则抽取一项的项数为_6．13．（★）设数列满足,且数列是等差数列，求数列的通项公式（n∈N*）.15．设，利用课本中推导等差数列前项和方法，求…的值为5.14．（★★）在等差数列与等比数列中，则的大小关系是．15．（★★）等差数列的前n项和为Sn，且如果存在正整数M，使得对一切正整数n，都成立，则M的最小值是2。16．（★★）已知，把数列的各项排成三角形状；记表示第行，第列的项，则.17．（★）已知一个数列的各项是1或3．首项为1，且在第个1和第个1之间有个3,即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前项的和为．⑴试问第2022个1为该数列的第几项？⑵求a2022；⑶S2022；⑷是否存在正整数，使得Sm=2022？如果存在,求出的值；如果不存在,说明理由．解：将第个1与第个1前的3记为第对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；为第对，共项；…．故前对共有项数为．⑴第2022个1所在的项为前2022对所在全部项的后1项，即为2022(2022+1)+1=4026042（项）．⑵因44×45=1980，45×46=2070，故第2022项在第45对内，从而．⑶由⑵可知，前2022项中共有45个1，其余1962个数均为3，于是S2022=45+3×1962=5931．⑷前对所在全部项的和为．易得，=3×252+25=1900，=3×262+26=2054，=1901，且自第652项到第702项均为3,而2022-1901=106不能被3整除，故不存在，使Sm=2022．18．（★★）已知Sn=1++…+,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.解：∵Sn=1++…+.(n∈N*),∴f(n+1)＞f(n)，∴f(n)是关于n的增函数，∴f(n)min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可由得m＞1且m≠2，此时设［logm(m－1)］2=t则t＞0于是解得0＜t＜1，由此得0＜［logm(m－1)］2＜1，解得m＞且m≠2.19．（★★）已知各项均为正数的数列，满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．解：（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以＝…………①因an0，由①式解出an＝…………②（2）由①式有Sn＋Tn＝＝＝为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当为整数.当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，当n3时，＝＝只需＝为整数，因为3n－1与3互质，所以为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.20．（★★）已知数列{xn}的各项为不等于1的正数，其前n项和为Sn，点Pn的坐标为（xn,Sn），若所有这样的点Pn(n=1,2，…)都在斜率为k的同一直线(常数k≠0,1)上。⑴求证：数列{xn}是等比数列；⑵设yn=log(2a2－3a+1)满足ys=,yt=（s,t∈N，且s≠t）其中a为常数，且1<a<,试判断，是否存在自然数M，使当n>M时，xn>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由。证明⑴∵点Pn、Pn+1都在斜率为k的直线上，∴=k，即=k故(k－1)xn+1=kxn，∵k≠0,xn+1≠1,xn≠1，∴==常数∴{xn}是公比为的等比数列。⑵答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，xn>1恒成立。事实上，由1<a<，得0<2a2－3a+1<1，∵yn=log(2a2－3a+1)，∴=logxn由⑴得{xn}是等比数列，设公比为q>0首项为x1，则xn=x1·qn－1(n∈N)∴=(n－1)logq+logx1令d=logq，故得{}是以d为公差的等差数列。又∵=2t+1,=2s+1，∴－=2(t－s)，即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)，∴d=－2故=+（n－s）·(－2)=2（t+s）－2n+1，（n∈N）又∵xn=(2a2－3a+1)（n∈N），∴要使xn>1恒成立，即须<0∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，当M=t+s,n>M时，我们有<0恒成立，∴当n>M=（t+s）时，xn=(2a2－3a+1)>1恒成立。（∵0<2a2－3a+1<1）21．（★★★）设数列的前项和为，已知，，，且，，其中、为常数．⑴求与的值；⑵证明数列为等差数列；⑶证明不等式对任何正整数、都成立．解：⑴由，，，得，，．

把分别代入，得

解得，，．⑵由⑴知，，即

， ①

又． ②

②-①得，，

即． ③

又． ④

④-③得，，

∴，∴，又，

因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．⑶由⑵知，．考虑．．∴．即，∴．因此，．三、课后作业1．(★）设等比数列中,每项均为正数,且，等于----------------------------------------------------------(C)A．5B．10C．20D．402．（★）．lgx，lgy，lgz成等差数列是x，y，z成等比数列的-------------------------（A）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（★）设等比数列的前项和为，若，则（C） A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:34．（★★)等差数列的前项和记为,若为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是-----------------------------------------------------（B）A． B． C． D．5．（★★）数列中，,,,,……，则等于----------------------------------------------------------------------(D)A．750B．610C．510D．6．（★★)数列的前项和与通项满足关系式，则的值为--------------------------------------(C)A．B．C．D．7．（★★)设f（n）＝（n∈N），那么f（n＋1）－f（n）＝----------------------------------------------------------------------------------------------（D）

A. B. C. D.8．（★★）是等差数列，S10>0，S11<0，则使<0的最小的n值是---------（B）A．5 B．6 C．7 D．89．（★★★)已知为的一次函数，为不等于1的常量，且,设，则数列为---( B） A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列10．（★★★）凸n边形的各内角度数成等差数列，最小角是，公差为，则边数n等于-----------------------------------------------------------------------------------------------（A）A．9 B．12 C．16 D．1811．（★）设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝54.12．（★）在此数列的每相邻两项中间插入三项，使它们仍构成一个新的等差数列，则原数列的第10项，是新数列的第__37__项，新数列的第29项，是原数列的第__8__项．13．（★）在等比数列｛an｝中，若an＞0，q=2，且a1·a2·a3…a30=230，则a3·a6·a9…a30=_220_．14．（★★）已知等比数列及等差数列，其中，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为___978___.15．（★★）在等差数列{an}中，它的前n项和记为Sn，已知，则n的值是15.16．（★★）下述两个等差数列（1）3，7，11，…..407（2）2，9，16，…….,709的公共项有__14__个17．（★）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求⑴a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；⑵的值.解⑴由a1=1，，n=1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an=(n≥2),∴数列{an}的通项公式为；⑵由⑴可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴=18．（★★）设数列的前项的和，n=1，2，3，…⑴求首项与通项；⑵设，n=1，2，3，…，证明：解⑴由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2.再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,⑵将an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)19．（★★）已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．⑴求证：点的纵坐标是定值；⑵若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；⑶若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：⑴由题可知：，所以， 点的纵坐标是定值，问题得证．⑵由⑴可知：对任意自然数，恒成立． 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：所以， 所以，⑵∵，∴ ∴等价于①依题意，①式应对任意恒成立．显然，因为（），所以，需且只需对任意恒成立．即：对恒成立．记（）．∵，∴（）的最大值为，∴．20．（★★★）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，(1)证明：＜lgSn+1；(2)是否存在常数C＞0，使得=lg(Sn+1－C)成立？证明你的结论。解：(1)∵{an}是由正数组成的等比数列。∴a1＞0,q＞0当q=1时，Sn=na1,Sn+2=(n+2)