材料力学第六章弯曲变形

第1页，共73页，2023年，2月20日，星期五§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6提高梁刚度的措施第2页，共73页，2023年，2月20日，星期五§6-1工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。第3页，共73页，2023年，2月20日，星期五车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：第4页，共73页，2023年，2月20日，星期五如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：第5页，共73页，2023年，2月20日，星期五车间桁吊大梁的变形第6页，共73页，2023年，2月20日，星期五车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；案例3：第7页，共73页，2023年，2月20日，星期五２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：第8页，共73页，2023年，2月20日，星期五二、弯曲变形的物理量扭转：

FF拉伸弯曲变形的物理量如何？第9页，共73页，2023年，2月20日，星期五1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+第10页，共73页，2023年，2月20日，星期五§6-2挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：第11页，共73页，2023年，2月20日，星期五3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。第12页，共73页，2023年，2月20日，星期五4、挠曲线微分方程中性层处曲率:

对于曲线y=f(x)在任一点处曲率

（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条普通的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。第13页，共73页，2023年，2月20日，星期五瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，第14页，共73页，2023年，2月20日，星期五5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角故得挠曲线近似微分方程：第15页，共73页，2023年，2月20日，星期五符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xωxωMM小变形。第16页，共73页，2023年，2月20日，星期五挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。§6-3积分法求弯曲变形第17页，共73页，2023年，2月20日，星期五悬臂梁：xω梁的边界条件L第18页，共73页，2023年，2月20日，星期五简支梁：xωL梁的边界条件第19页，共73页，2023年，2月20日，星期五连续性条件：CPABaLxω边界条件连续性条件第20页，共73页，2023年，2月20日，星期五连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。第21页，共73页，2023年，2月20日，星期五例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条件连续性条件第22页，共73页，2023年，2月20日，星期五例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件连续性条件第23页，共73页，2023年，2月20日，星期五讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM第24页，共73页，2023年，2月20日，星期五（4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件第25页，共73页，2023年，2月20日，星期五例1悬臂梁受力如图所示。求和。xωx取参考坐标系1、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL第26页，共73页，2023年，2月20日，星期五3、确定常数C、D.边界条件：AqBL第27页，共73页，2023年，2月20日，星期五AqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处第28页，共73页，2023年，2月20日，星期五CFABaLxω例2一简支梁受力如图所示。试求和。1、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程bBC段AC段xx第29页，共73页，2023年，2月20日，星期五3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分第30页，共73页，2023年，2月20日，星期五5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxω第31页，共73页，2023年，2月20日，星期五BC段AC段7、求转角6、挠曲线方程第32页，共73页，2023年，2月20日，星期五8、求。求得的位置值x。第33页，共73页，2023年，2月20日，星期五代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。第34页，共73页，2023年，2月20日，星期五§6-4用叠加法求弯曲变形

一、叠加原理在小变形，是线性的；

材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微分方程弯矩与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置第35页，共73页，2023年，2月20日，星期五设弯矩

挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：证明第36页，共73页，2023年，2月20日，星期五

二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；

(2)、曲率与弯矩成线性关系;(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;第37页，共73页，2023年，2月20日，星期五几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。第38页，共73页，2023年，2月20日，星期五例1

已知：q、l、EI，求：yC

,B

载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形第39页，共73页，2023年，2月20日，星期五ωC

,B1、载荷分解第40页，共73页，2023年，2月20日，星期五2查表：单独载荷作用下第41页，共73页，2023年，2月20日，星期五3、变形叠加第42页，共73页，2023年，2月20日，星期五例2用叠加法确定C和yC?w第43页，共73页，2023年，2月20日，星期五wwww第44页，共73页，2023年，2月20日，星期五ww第45页，共73页，2023年，2月20日，星期五w第46页，共73页，2023年，2月20日，星期五

第二类叠加法将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。第47页，共73页，2023年，2月20日，星期五例3

：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。第48页，共73页，2023年，2月20日，星期五ABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；第49页，共73页，2023年，2月20日，星期五2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度第50页，共73页，2023年，2月20日，星期五讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？第51页，共73页，2023年，2月20日，星期五弯曲变形的刚度条件：[ω]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[ω]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：第52页，共73页，2023年，2月20日，星期五1、求自由端的挠度与转角PqL第53页，共73页，2023年，2月20日，星期五P2P1qLL2、求自由端的挠度与转角第54页，共73页，2023年，2月20日，星期五3、求简支梁中点的挠度qL/2C第55页，共73页，2023年，2月20日，星期五4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。PI1L1I2L2ABC第56页，共73页，2023年，2月20日，星期五§6-6提高梁刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、

ω一般与跨度有关，５、增加约束：成正比，与故可减小跨度；第57页，共73页，2023年，2月20日，星期五尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。５、增加约束：采用超静定结构第58页，共73页，2023年，2月20日，星期五采用超静定结构第59页，共73页，2023年，2月20日，星期五改变支座形式FF第60页，共73页，2023年，2月20日，星期五改变载荷类型q=F/LF第61页，共73页，2023年，2月20日，星期五二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；第62页，共73页，2023年，2月20日，星期五四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。第63页，共73页，2023年，2月20日，星期五1、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大

处一定最大。A：挠度B：转角；C：弯矩；第64页，共73页，2023年，2月20日，星期五3、在简支梁中

，对于减少弯曲变形效果最明显。 A：减小集中力P；

B：增加梁的跨度；

C：采用优质钢；

D：提高截面的惯性矩L/2P第65页，共73页，2023年，2月20日，星期五4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ

哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误；C：①错误、②正确；D：①错误、②错误；第66页，共73页，2023年，2月20日，星期五5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？R第67页，共73页，2023年，2月20日，星期五6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够