期权定价的二项式方法

期权定价的二项式方法第1页，共40页，2023年，2月20日，星期五1).定价原理无套利定价原理:

具有相同收益不同头寸的价格应该相同。在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的现金流必定也完全相同(债券期货为例).期权在到期日的执行与否是不确定的，这种不确定性使得在到期日的收益变得不确定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行定价。第2页，共40页，2023年，2月20日，星期五

克服困难不确定性,以便采用无套利原理对期权进行定价:

二项式定价方法，布莱克—舒尔斯定价方法,

蒙特卡罗模拟法。二项式方法(二叉树方法)

把整个持有期分成若干个时间区间,并假定在每个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状态,且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从而克服了不确定性.第3页，共40页，2023年，2月20日，星期五期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确定的股票价格(期权的收益)来进行估计.表面看把股票价格的变动只有两种可能,现实中,股票价格可是千变万化.不过我们可以通过增加期数来扩大股票价格变动的范围.

时间区间分得越小,在到期日确定的股票价格状态越多,计算越复杂,所得期权价格估计越接近于真实的价格.第4页，共40页，2023年，2月20日，星期五2).二项式定价的基本过程

设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，股票现行的市场价格为30元，期权确定的执行价格为31元。设已知3个月后股票价格要么上升10%，要么下降10%，市场的无风险利率为10%(年利率)，试确定该期权的价格。第5页，共40页，2023年，2月20日，星期五股票价格树:

给出股票在不同阶段不同状态确定的价格.期权价值树:

根据股票在不同阶段不同状态确定的价格以及期权确定的执行价格,给出期权在相应状态的价值,其在初始状态的价值就是要确定的期权价格.无风险收益树:

无风险资产在不同阶段不同状态的价格,这是进行无套利定价的标准.303327(a)股票价格树11.0251.025(c)无风险收益树?20(b)期权价值树第6页，共40页，2023年，2月20日，星期五无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定.在本例中,每阶段无风险资产的收益率为10%/4=0.025确定期权的价格无套利定价:考虑组合买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期权组成。要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还是降都应同无风险投资的收益相等。

第7页，共40页，2023年，2月20日，星期五买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票组合可以消除这种风险.同时来考虑是否能从中找到期权的价值.如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票上涨的收益可能被期权的损失弥补第8页，共40页，2023年，2月20日，星期五首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收益在两种状态(价升或价降)下都相同。如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值为，其中2是期权被执行后投资者的付出；如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合的价值为。在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资的收益。第9页，共40页，2023年，2月20日，星期五

令，解之得，即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份该股票的买入期权组成。无论股票的价格是升还是降，组合在期末的价值第10页，共40页，2023年，2月20日，星期五

根据无套利原理，这就要求无风险投资在期末的收益同为9元，因而期初用于无风险投资的资金应为这也应该是期初用于投资组合的资金，由此得买入期权的价格应该定为1.22元第11页，共40页，2023年，2月20日，星期五3).期权定价的二项式公式符号:

股票在期初的价格,

期权确定的执行价格,

股票价格在单个时间阶段内的上升因子股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-)

期权在股票价格上升状态下的收益期权在股票价格下降状态下的收益年无风险收益率期权的期限第12页，共40页，2023年，2月20日，星期五期权在股票价格上升状态下的收益期权在股票价格下降状态下的收益构建一个组合，买入A股股票，卖出一份买入期权组成，要求在期权到期日无论何种情况出现，组合的价值相同第13页，共40页，2023年，2月20日，星期五根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方程将A代入得第14页，共40页，2023年，2月20日，星期五

市场的上升状态价格因子市场的下降状态价格因子上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确定的执行价格无关。第15页，共40页，2023年，2月20日，星期五对上述例子的应用

第16页，共40页，2023年，2月20日，星期五在期权价值树上进行计算C1.22200.36420.61111

计算期权价格的价格树(二叉树)

第17页，共40页，2023年，2月20日，星期五四个时段的情形考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T的买入期权，设股票的现行价格为元，期权确定的执行价格为。设把期权的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股票价格在每阶段要么上升10%，要么下降5%，每阶段内无风险收益率为5%,确定期权的价格.第18页，共40页，2023年，2月20日，星期五生成股票价格树606672.679.8687.8465754.1562.751.442568.9759.56548.870465.521575.86756.5868股票价格树

到第四阶段末，即期权的到期日，股票价格已经有5个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那么到期权的到期日(最后一个阶段末)，股票价格将有n+1个可能的状态。第19页，共40页，2023年，2月20日，星期五计算相关数据根据期权确定的执行价格以及股票在最后阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶段各状态的价值.第20页，共40页，2023年，2月20日，星期五7.5710.313.7918.0322.8463.080.224.690.07.140.3300.521510.8670计算期权在不同状态的价值期权价格树

第21页，共40页，2023年，2月20日，星期五

4).二项式定价公式推导对于第3阶段各状态的期权价值有对于第2阶段各状态期权价值有第22页，共40页，2023年，2月20日，星期五对于第1阶段各状态的期权价值有第23页，共40页，2023年，2月20日，星期五期初的价值(期权的价格)

第24页，共40页，2023年，2月20日，星期五把持有期分成n个相同时段的情形假定每阶段内股票价格上升或下降的因子相同,无风险收益率相同.第25页，共40页，2023年，2月20日，星期五欧式卖出期权的二项式定价公式例7：计算在下列股票上执行期限为一年的欧式买入和卖出期权的价格，已知该股票的现行价格为60元，无风险年收益率为5%，买入期权的执行价格为62元，卖出期权确定的执行价格为61元。设把执行期限等分为两个阶段，经估计得每阶段股票价格要么上升8%，要么下降4%。第26页，共40页，2023年，2月20日，星期五首先计算相关参数对于买入期权

第27页，共40页，2023年，2月20日，星期五对于卖出期权第28页，共40页，2023年，2月20日，星期五参数计算的简化设每个阶段的无风险收益率则有第29页，共40页，2023年，2月20日，星期五在一般情况下，假定无风险收益率是几何收益率，则无风险资产在每个时段的收益率为为每个时段的时间长度又可设股票价格的上升与下降幅度完全由其价格的波动率确定，则价格在每个时段的上升因子和下降因子为第30页，共40页，2023年，2月20日，星期五分别将它们代入得第31页，共40页，2023年，2月20日，星期五例:右表给出了某股票过去15周(包括本周)的收盘价.现在有一以该股票为标的资产,期限为3个月(13周),执行价格为7.5元的欧式买入期权,已知无风险资产的年收益率为6%,试把期限分成13个时段,用二项式方法计算该期权的价格.第32页，共40页，2023年，2月20日，星期五计算过程:(1)先估计股票价格的波动性,(2)计算二项式公式中的上升状态因子和下降状态因子,(3)计算股票在期权到期日各状态的价格,以及期权在到期日各状态的价值,(4)利用二项式公式计算期权的价格.第33页，共40页，2023年，2月20日，星期五计算结果第34页，共40页，2023年，2月20日，星期五5).美式期权的定价买入期权:

用欧式买入期权的定价公式或方法.卖出期权:

由于在某些状态下，提前执行会优于继续持有期权，因此在美式卖出期权定价的价格树上需要确定期权在每一个结点状态的价值时都要对持有期权的价值和执行期权的价值加以比较，并选取其中的大者作为期权在该结点的价值.

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表示期权在时间t的某状态结点处的价值期权在该状态结点的市场价值，即持有期权的价值期权在该结点的右端上方相邻结点的价值期权在该结点的右端下方相邻结点的价值第36页，共40页，2023年，2月20日，星期五