概率论与数理统计第四章自测题

《概率论与数理统计》第四单元自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数XY=，则D(3X-2Y)=。2．已知随机变量X~N(0,2)(>0)，Y在区间[0,3]上遵从均匀分布，若是D(X-Y)=2，则X与Y的相关系数XY。=3．二维随机变量(X,Y)遵从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数XY=-1/2，则当a=时，随机变量aX+Y与Y相互独立。1e1xx2，，4．设随机变量X~N(0,4)，Y遵从指数分布，其概率密度函数为f(x)20，x，00若是

Cov(X,Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X,Z)=Cov(Y,Z)，则

a=

，此时

X与

Z的相关系数为XZ=

。-1，X0，5．设随机变量X在区间(-1,2)上遵从均匀分布，随机变量Y0，X0，1，X0，则方差D(Y)=。6．设随机变量X遵从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计二、单项选择题：（每题2分，共12分）1．随机变量X,Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是

P{X-24}X与Y(

得分)。

。(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。2．若随机变量

X与

Y的方差

D(X),D(Y)都大于零，且

E(XY)=E(X)E(Y)，则有

(

)。(A)X与Y必然相互独立；(B)X与Y必然不相关；(C)D(XY)=D(X)D(Y)；(D)D(X-Y)=D(X)-D(Y)。3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差V必然( )。

Cov存在，则

U和(A)不相关；

(B)相互独立；

(C)不独立；

(D)

无法判断。4．若随机变量

X与

Y不相关，则与之等价的条件是

(

)。(A)D(XY)=D(X)D(Y)；(B)D(X+Y)=D(X-Y)；(C)D(XY)D(X)D(Y)；(D)D(X+Y)D(X-Y)。5．现有

10张奖券，其中

8张为

2元，2张为

5元，某人从中随机地无放回地抽取

3张，则此人所得奖金的数学希望为()。(A)6元；(B)12元；(C)元；(D)9元。6.将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()。(A)1；(B)1；(C)1；(D)1。22三、判断题：（每题2分，共12分）得分1.()设随机变量X和Y相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。2.()设随机变量X，Y，且E(X)=5,E(Y)=3,D(X)=2,D(Y)=3,E(XY)=0，则方差D(2X-3Y)=35。3.()设随机变量X和Y的联合分布律为X-112Y-11/41/4011/401/4可知X与Y不相互独立，所以X与Y不相关。1ex,x0,4.()设随机变量X的概率密度为f(x)2则X的数学希望为1ex,x0,21xexdx1,x0,E(X)20201,1xexdxx0,225.()设二维随机变量X与Y的联合概率密度为f(x,y)sinxsiny,0x,y,20,其他，/2xsinxsinydxsiny。则数学希望E(X)06.()若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为，x1,0y，f(x,y)其他，0,则随机变量X与Y不是不相关，所以X与Y不相互独立。四、计算题（共34分）1．(8分)设随机变量,是相互独立且遵从同一分布，已知的分布律为P{=i}=1/3，i=1,2,3，又设X=max(,)，Y=min(,)，求(1)随机变量X的数学希望E(X)，(2)X与Y的相关系数XY。得分2．(10分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2x，0x1,0y，f(x,y)，其他，0(1)鉴识X与Y可否相互独立可否相关(2)求D(X+Y)。得分3．(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，x,0<x<1，f(x,y)1y，其他，0求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，XY。得分4.(8分)设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且都遵从数学希望为1的指数分布，求随机变量Z=min{X1,X2,,Xn}的数学希望与方差。得分五、应用题（共16分）1.(8分)某系某班共有n名再生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学希望与方差。得分(8分)设某种商品每周需求量X是遵从区间(10,30)上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可盈利500元，若供大于求则削价办理，每办理一单位商品损失100元，若供不应求，则可从外面调剂供应，此时每单位商品仅盈利300元，求最优进货量。得分六、综合题（14分）设随机变量X12nN(0,1)，记,X,,X(n>2)为独立同分布，均遵从X=1n，YiiXi=X-X，i=1,2,,n，ni1(1)求Y的方差D(Y)，i=1,2,,n；ii(2)求Y与Y的协方差Cov(Y,Y)；1n1n(3)求P{Y+Y0}；1n(4)证明Y1与Yn的相关系数为YY1n

1。得分n1《概率论与数理统计》第四单元自测题参照答案一、填空题：1．；2.1/4；3.2；4.-1,6/4；5.8/9；6.1/8。二、选择题：1．C；2.B；3.A；4.B；5.C；6.D。三、判断题：1．错；2.错；3.错；4.错；5.错；6.对。四、计算题1．【答】E(X)=22/9，XY。=8/19【解】X与Y的联合分布律为：Y23P{X=i}X111/9001/922/91/903/932/92/91/95/9P{Y=j}5/93/91/91E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，XY123469P1/92/92/91/92/91/9E(XY)=4。2．【答】(1)不独立，相关。(2)D(X+Y)=5/36。【解】13x,0x1,，fX(x)f(x,y)dy(2xy)dy200,其他,3y,0y1,同理fY(y)f(x,y)dx20,其他,在0<x<1,0<y<1内，f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X与Y不相互独立。135，由x与y的对称性知E(Y)=5E(X)xf(x,y)dxdyx(x)dx，0212121112x)dx1，E(XY)xyf(x,y)dxdyxdxy(2xy)dyx(0003361x2(31E(X2)x2fX(x)dxx)dxE(Y2)，02422，D(X)=E(X)-(E(X))=11/144=D(Y)，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=/144-ρXYCov(X,Y)1D(X)D(X)0，故X与Y相关。11D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=5/36。3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，XY=0。方法同上例，略。4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。【解】随机变量X12n的分布函数为1ez,z0,,X,,XFX(z)z0,0,则FZ(z)1(1FX(z))n1enz,z0,0,z0,即Z遵从参数为1/n的指数分布，故E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。五、应用题1.【答】E(X)=1，D(X)=1。【解】设随机变量Xi

1,0,

若第i名学生拿到自己的学生证,i1,2,L,n，若第i名学生没拿到自己的学生证,1111,2,L,n，E(Xi)，D(Xi)n2，inn又X=X1+L+Xn，注意X1,X2,,Xn不相互独立，E(X)=E(X1+L+Xn)=E(X1)+L+E(Xn)=1，又PXiXj1PXi1PXj1Xi111n1，nXiXj01P111n(n1)n(n1)于是1，Cov(Xi,Xj)E(XiXj)E(Xi)E(Xj)1，(ij)E(XiXj)n2(nn(n1)1)D(X)=D(X1+L+Xn)=D(X1)+L+D(Xn)2Cov(Xi,Xj)1ijnn(112)2Cn2211)1。nnn(n2.【答】约23单位商品。【解】(1)由题设，X的概率密度为f(x)1,10x30,200,其他，设进货量为a，则利润为Mag(X)500X(aX)100,10Xa,500a(Xa)300,aX30,600X100a,10Xa,300X200a,aX30,30g(x)1dx1a30E(Ma)((600x100a)dx(300x200a)dx)10202010a=-7.5a2+350a+5250，求最优进货量，即求使E(Ma)达到最大值的a，E(Ma)=(a-(350/15))2+，从而a=350/15=，即进23单位该种商品为最正确。六、综合题【答】(1)n1；(2)1；(3)1/2。nn【解】(1)由题设，X1,X2,,nX相互独立，所以Yi=XiX1X1L1Xi1(11Xi)1Xi1L1Xn，i=1,2,,n,nnnnn11n121nD(Yi)=D(Xi-X)=D((1-n)Xi-nj=1Xj)=(1-n)D(Xi)n2j=1D(Xj)jiji=(1-1)212(n1)n1，i=1,2,,n。nnn(2)利用协方差的性质Cov(Y1,Yn)n11111n1Cov(nX1-nX2-L-nXn,-nX1-nX2-L-nXn)因为X1,X2,,nX相互独立，1-nD(X1)1(D(X2)LD