数字信号处理曹成茂无限长单位脉冲响应iir滤波器设计方法

数字信号处理曹成茂无限长单位脉冲响应iir滤波器设计方法第1页/共168页第四章无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计方法第2页/共168页4.1滤波器的基本原理系统函数为：bi≠0,i>0,该系统为IIR系统。当所有bi=0,i>0，该系统为FIR系统第3页/共168页4.1.1滤波器的分类模拟滤波器数字滤波器第4页/共168页4.1.2可实现滤波器的特性通带波动δ最小阻带衰减At式中，通带内阻带内第5页/共168页

设计方法：⑴先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。

第6页/共168页⑵最优化设计方法分两步：

a)

确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，

b)

在此最佳准则下，求滤波的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。第7页/共168页

滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此第8页/共168页s平面与z平面间的映射s平面的虚轴映射z平面的单位圆（r=1），s平面的左半平面映射z平面单位圆内（r<1），s平面右半平面映射z平面单位圆外（r>1）。第9页/共168页由确定的方法如下：（1）由得到象限对称的s平面函数；（2）将因式分解，得到各零极点，将左半平面极点归于。轴上的零点或者极点都为偶次，应取一半（应为共轭对）作为的零点或极点。（3）按照与的低频或高频特性的对比就可以确定出增益常数。（4）由求出的零点，极点及增益常数，则可完全确定系统函数第10页/共168页例根据以下幅度平方函数确定系统函数解：Step1:Step2:Step3:第11页/共168页第12页/共168页4.2模拟滤波器设计方法

为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。∴

不难看出

第13页/共168页定义振幅平方函数

式中Ha(s)—模拟滤波器系统函数

Ha(jΩ)—滤波器的频率响应

|Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ第14页/共168页问题：由A(-S2)→Ha(S)

对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用

A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。第15页/共168页N为滤波器阶数，如图1其幅度平方函数：特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特性单调↘。三种模拟低通滤波器的设计：4.2.1巴特沃兹滤波器

(Butterworth滤波器)(巴特沃兹逼近)第16页/共168页图1巴特沃兹滤波器振幅平方函数第17页/共168页

通带:使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围

Ωc：通带边界频率。

过渡带为零，阻带|H(jΩ)|=0

通带内幅度|H(jΩ)|=const.，

H(jΩ)的相位是线性的。

理想滤波器第18页/共168页图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。在过渡带内，阶次为Ｎ的巴特沃兹滤波器的幅度响应趋于斜率为-6NdB/倍频程的渐近线。通带内，分母Ω/Ωc<1,(Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。过渡带和阻带，Ω/Ωc>1，(Ω/Ωc)2N

》1,Ω增加，A(Ω2)快速减小。Ω=Ωc,，,幅度衰减，相当于3dB衰减点。

第19页/共168页振幅平方函数的极点：

令分母为零，得

可见，Butterworth滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。例：为N=3阶BF振幅平方函数的极点分布，如图2。第20页/共168页图2三阶A(-S2)的极点分布第21页/共168页

考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：

系统函数为：

令，得归一化的三阶BF：

反归一化，则有第22页/共168页MATLAB设计模拟Butterworthfilter[z,p,k]=buttap(N)确定N阶归一化的Butterworthfilter的零点、极点和增益(gain)[num,den]=butter(N,Wc,'s')确定阶数为N，3-db截频为Wc(radian/s)的Butterworthfilter分子和分母多项式。's'表示模拟域。[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s')确定模拟Butterworthfilter的阶数N和3-db截频Wc。Wc是由阻带参数确定的。第23页/共168页

例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器

fp=1kHz,fs=5kHz,Ap=1dB,As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');omega=[0:200:12000*pi];h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('FrequencyinHz');ylabel('GainindB');第24页/共168页0100020003000400050006000-50-40-30-20-100FrequencyinHzGain

in

dBN=4Ap=0.1098dBAs=40.0000dB第25页/共168页4.2.2切比雪夫（Chebyshev）滤波器

(切比雪夫多项式逼近)

特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。

第26页/共168页振幅平方函数为—有效通带截止频率—与通带波纹有关的参量，大，波纹大。

0<<1

VN（x）—N阶切比雪夫多项式，定义为第27页/共168页

如图,通带内变化范围1~

Ω＞Ωc

，随Ω/Ωc

↗，→0(迅速趋于零)当Ω

=0时，

N为偶数，，min，

N为奇数，，max，第28页/共168页

切比雪夫滤波器的振幅平方特性

第29页/共168页

给定通带波纹值分贝数后，可求。有关参数的确定:a、通带截止频率Ωc

，预先给定

b、通带波纹为第30页/共168页c、阶数N—由阻带的边界条件确定。（、A事先给定）第31页/共168页MATLAB设计模拟typeIChebyshevfilter[z,p,k]=cheb1ap(N,Ap);确定N阶归一化的Chebyshevfilter的零点、极点和增益(gain)[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'s')确定阶数为N，通带截频为Wc(radian/s)的Chebyshevfilter。's'表示模拟域[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s')确定模拟Chebyshevfilter的阶数N。Wc=Wp(rad/s)第32页/共168页例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器fp=1KHz,fs=5kHz,Ap=1dB,As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s');[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'s');omega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));omega=[0:200:12000*pi];h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('FrequencyinHz');ylabel('GainindB');第33页/共168页Ap=1.0000As=47.84670100020003000400050006000-60-50-40-30-20-100FrequencyinHzGainindB第34页/共168页4.2.3椭圆滤波器（考尔滤波器）

特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为

RN（Ω，L）—雅可比椭圆函数

L—表示波纹性质的参量第35页/共168页N=5，的特性曲线

可见，在归一化通带内（-1≤Ω≤1），在（0，1）间振荡，而超过ΩL后，在间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。第36页/共168页

下图为典型的椭圆滤波器振幅平方函数

椭圆滤波器的振幅平方函数

图中ε和A的定义同切比雪夫滤波器第37页/共168页当Ωc、Ωr、ε和A确定后，阶次N的确定方法为：式中为第一类完全椭圆积分第38页/共168页MATLAB设计椭圆低通滤波器

[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s')

确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s')

确定阶数为N，通带衰减为ApdB，阻带衰减为AsdB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。第39页/共168页

上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。

第40页/共168页4.2.4模拟高通、带通及带阻滤波器的设计

模拟高通带通带阻滤波器可以通过简单的频率变换来实现。设计过程为：⑴将模拟滤波器的参数指标通过频率变换转化为原型模拟低通滤波器的参数指标。⑵设计满足指标要求的原型模拟低通滤波器。⑶通过频率变换将原型模拟低通滤波器的系统函数变换为其他类型（高通、带通和带阻）的模拟滤波器第41页/共168页MATLAB实现模拟滤波器的频率变换①低通到高通变换[B，A]=lp2hp(num,den,w0)给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den，通过频率变换求得高通模拟滤波器，w0为高通滤波器的通带边界角频率。②低通到带通变换[B，A]=lp2bp(num,den,w0,Bw)给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den，通过频率变换求得带通模拟滤波器，w0为带通滤波器的中心角频率，Ｂw为带通滤波器的通带带宽（rad/s）。第42页/共168页③低通到带通变换[B，A]=lp2bs(num,den,w0,Bw)给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den，通过频率变换求得带阻模拟滤波器，w0为阻带的中心角频率，Ｂw为阻带带宽（rad/s）。

第43页/共168页§4.3根据模拟滤波器设计IIR滤波器

利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器系统函数Ha(s)设计数字滤波器系统函数H(z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：

1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。

2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面Re{S}＜0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。第44页/共168页下面讨论两种常用的映射变换方法：

4.3.1脉冲响应不变法

利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即

h(n)=ha(nT),T为采样周期。①如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)

的拉氏变换及h(n)

的Z变换，即

Ha(s)=L[ha(t)],

H(z)=Z[h(n)]

第45页/共168页h(n)=ha(nT),Ha(s)=L[ha(t)],

H(z)=Z[h(n)]

如何由Ha(s)求H(z)??第46页/共168页计算H(Z):脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式；

其拉氏反变换为：

单位阶跃

对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列

第47页/共168页再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，

必有所以有

第48页/共168页根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系①理想采样的拉氏变换与模拟信号的拉氏变换之间的关系。②理想采样的拉氏变换与采样序列的Z变换之间存在的S平面与Z平面的映射关系。第49页/共168页s平面与z平面的映射关系第50页/共168页以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S平面到Z平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么变换后H(Z)的极点也都在单位圆以内，即,因此数字滤波器保持稳定。第51页/共168页映射关系：

S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:

每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段都对应于绕单位圆一周。第52页/共168页S平面Z平面第53页/共168页

应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。混迭：还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：第54页/共168页脉冲响应不变法中的频响混淆第55页/共168页

正如采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2以内，即第56页/共168页

这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

第57页/共168页第58页/共168页第59页/共168页第60页/共168页第61页/共168页第62页/共168页第63页/共168页脉冲响应不变法的特点

频率坐标变换是线性的，即，如果不考虑频率混叠现象，用此方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。第64页/共168页例

将一个具有如下系统函数

的模拟滤波器数字化。解：

第65页/共168页模拟滤波器的频率响应为:

示于图a第66页/共168页数字滤波器的频率响应为:

显然与采样间隔T有关,如图b,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?

第67页/共168页第68页/共168页MATLAB计算脉冲响应不变法的H(z)[b，a]=impinvar(NUM,DEN,Fs)

产生一个分子分母系数分别为b和a的数字滤波器，其脉冲响应的采样频率为FsHertz，系数NUM和DEN为模拟滤波器的系统函数的分子分母系数。第69页/共168页小结1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。

例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。

2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。

第70页/共168页

3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。

4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。

第71页/共168页

4.3.2双线性变换法脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。第72页/共168页s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系第73页/共168页第74页/共168页第75页/共168页第76页/共168页第77页/共168页第78页/共168页第79页/共168页第80页/共168页第81页/共168页第82页/共168页第83页/共168页第84页/共168页第85页/共168页第86页/共168页第87页/共168页第88页/共168页第89页/共168页第90页/共168页第91页/共168页第92页/共168页第93页/共168页第94页/共168页第95页/共168页第96页/共168页第97页/共168页第98页/共168页第99页/共168页

为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T到π/T一段上，可通过以下的正切变换实现：这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点有对应关系。经过这样的频率变换，当Ω由时,Ω1由-π/T经过０变化到π/T，即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的2π/T一段。第100页/共168页通常取C=2/T,考虑z=ejω,

再将S1

平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到S平面到S1平面的映射关系：第101页/共168页最后得S平面与Z平面的单值映射关系：

双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，Ω=∞处对应于Z平面的ω=π处,即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。第102页/共168页

现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：①当时，得：对单位圆,即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。时②第103页/共168页

即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图1。

图双线性变换的频率非线性关系

第104页/共168页小结

1)与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：可见，ω和Ω为非线性关系，如图2。

第105页/共168页

图2双线性变换的频率非线性关系

由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢， (ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。第106页/共168页

2)双线性变换缺点：Ω与ω成非线性关系，导致：

a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。

c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。第107页/共168页

虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。第108页/共168页双线性变换时频率的预畸第109页/共168页预畸变：

即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。

利用关系式：

将所要设计的数字滤波器临界频率点，变换成对应的模拟域频率，利用此设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是。第110页/共168页

３)计算H(Z)

双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。置换过程:

频响：

第111页/共168页

这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。

第112页/共168页MATLAB计算双线性变换法的H(z)[b，a]=bilinear(NUM,DEN,Fs)

将由向量NUM和DEN表示的s域中的系统函数用双线性变换法转变到z域。数字滤波器的分子分母系数分别为b和a，其中Fs是数字滤波器的采样频率。第113页/共168页例:设计一切比雪夫数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。解:由于是设计高通滤波器，只能采用双线性变换法。具体的程序：

wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000)); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000)); [N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s'); [B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s'); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel('频率/Hz‘); ylabel('幅度/dB');第114页/共168页根据运算结果得到高通滤波器系统函数第115页/共168页例:

一数字滤波器采样频率fs=1kHz，要求滤除100Hz的干扰，其３dB的边界频率为95Hz和105Hz，采用一阶原型巴特沃思滤波器解这一题的MATLAB程序为：

w1=2*1000*tan(2*pi*95/(2*1000));w2=2*1000*tan(2*pi*105/(2*1000));[B,A]=butter(1,[w1,w2],'stop','s');[num,den]=bilinear(B,A,1000);[h,w]=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([50,150,-30,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');第116页/共168页带阻滤波器系统函数第117页/共168页§4．4从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）

对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,椭圆滤波器等,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：

原型变换映射变换

原型变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻第118页/共168页

4.4.1低通变换通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s)4）把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数）

下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。第119页/共168页例1

设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。

解：a.脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为： 以代替其归一化频率，得：第120页/共168页

得到巴特沃兹多项式的系数，之后以代替归一化频率，即得。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。第121页/共168页

为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式,有将上式部分系数代入数字滤波器的系统函数：极点第122页/共168页并将代入，得：

合并上式后两项，并将代入，计算得：

第123页/共168页

可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。

例如，与的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。最后得：第124页/共168页

b.双线性变换法（一）首先确定数字域临界频率（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数并将代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。第125页/共168页第126页/共168页

图1三阶Butterworth数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法第127页/共168页

图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。第128页/共168页4.4.2高通变换 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法： ①先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻 设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定转换为相应的

高通、带通、带阻模拟滤波器的设计

Ha(s)H(Z)②直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻第129页/共168页这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。

变换方法的选用：脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用于第一种方法中。双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计：在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器.

即第130页/共168页

由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。如图即第131页/共168页

映射到即映射到即

图1高通变换频率关系

这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。1.01.00第132页/共168页

图2高通原型变换

第133页/共168页应当明确：所谓高通DF，并不是ω高到，由于数字频域存在折叠频率，对于实数响应的数字滤波器，部分只是的镜象部分，因此有效的数字域仅是，高通也仅指这一段的高端，即到为止的部分。高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用,不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。第134页/共168页例设计一数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。

第135页/共168页频率/Hz

切比雪夫高通滤波器幅度/dB第136页/共168页4.4.3带通变换如图1,如果数字频域上带通的中心频率为，则带通变换的目的是将:模拟低通（频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性）。

即将S的原点映射到，而将点映射到，满足这一要求的双线性变换为：第137页/共168页

当时

因此（带通变换关系）第138页/共168页

图中点正好映射在上，而映射在，两端，因此满足带通变换的要求。带通变换的频率关系第139页/共168页稳定性证明：同时，这一变换也满足稳定性要求，设

由于上式完全是实数，所以是映射在S平面轴上。其中分子永远非负的，因此的正负决定于分母由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，如图1。第140页/共168页设计：设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率作为设计要求。为了应用以上变换，首先要将上下边带参数换算成中心频率及模拟低通截止频率。为此将代入变换关系式：由于在模拟低通中是一对镜象频率，代入上面两等式，求出第141页/共168页例又同时也就是模拟低通的截止频率，有了这两个参数就可完成全部计算。：采样fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。解：确定数字频域的上下边带的角频率求中心频率：

第142页/共168页求模拟低通的通带截止频率与阻带边界频率：

从频率增加了约1.05倍，衰减增加了（10-3）dB，故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标归一化的系统函数：

代入，

代入变换公式

第143页/共168页第144页/共168页巴特沃兹带通滤波器频率/kHz幅度/dB第145页/共168页4.4.4带阻变换

把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。

给定例７一数字滤波器采样频率fs=1kHz，要求滤除100Hz的干扰，其３dB的边界频率为95Hz和105Hz，原型归一化低通滤波器为第146页/共168页解:首先确定上、下边界频率

ω1=2πf1/fs=2π×105/1000=0.21π

ω2=2πf2/fs=0.55π=2π×95/1000=0.19π求中心频率第147页/共168页频率/Hz巴特沃兹带阻滤波器幅度/dB第148页/共168页§4.5从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法）

上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。

DF低通原型函数这种变换是由所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：

①各种DF的H（z）第149页/共168页于是，DF的原型变换可表为：

第150页/共168页2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求

u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。3）必须是全通函数。为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以分别表示u平面和Z平面的单位圆，则且必有，其中是的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。函数的特性：1)是的有理函数。第151页/共168页全通函数的基本特性：其中为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。