线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线线垂直面面垂直1、若直线a与平面:-,1所成的角相等，则平面:-与］的地点关系是（B）A、：II：B、不一定平行于1C、〉不平行于］D、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABC-ABCBAC=90',又BC1丄AC，过C1作CH丄底面ABC垂足111为H，则H—定在（B）、直线BC上D、△ABC的内部A、直线AC上B、直线AB上C3、如图示，平面「丄平面,A，B」AB与两平面J所成的角分别为-和-过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A,B，贝yAB:AB(A)A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3BB:Ci4、如图示，直三棱柱ABB^DCC1中ABB=90',AB=4BC=2,CG=1DC上有一动点卩，则厶APG周长的最小值是

ADC5.已知长方体ABCD-A^G。！中，AA=AB=2ADi

BCi若棱AB上存在点P,使得DjP_PC,则棱AD长B1/"的取值范围是ZD—C—--------------------1题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014,江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已

B知PA_AC,PA二6,BC=8,DF=5求证：⑴PAL平面DEF错误！未找到引用源平面BDE_平面ABC⑵错误！未找到引用源。.证明：⑴因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE//PA.又因为PA?平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA//平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA=6,BC=8,所以DE//PA,DE=11-PA=3,EF=_BC=4.22又因DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以/DEF=90°即DE丄EF.又PA丄AC,DE//PA,所以DE丄AC.因为ASEF=E,AC二平面ABC,EF二平面ABC,所以DE丄平面ABC.又DE二平面BDE,所以平面BDE丄平面ABC.(2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱ABC-ABG中，侧棱垂直于底面，AB_BC,AA=AC=2,E、F分别为ACi、BC的中点.求证：平面ABE_平面B1BCC1；(2)求证：C1F//平面ABE.证明：(1)在三棱柱ABC—ABG中，BB_底面ABC,.BB_AB,.AB_BC,AB_平面B1BCC1,TAB平面ABE,.平面ABE_平面BBCG.⑵取AB的中点G,连结EG,FG1■-E、F分别为AG、BC的中点，?FGLAC,FG二AC,2\*AC」AC,AC=AC,FG_EG,FG=EGFGE1,则四边形。为平行四边形,.GFLEG,TEG平面ABE,GF二平面ABE,GF」平面ABE.3.如图，P是.ABC所在平面外的一点，且PA_平面ABC，平面PAC_平面PBC?求证BC_AC.剖析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条归入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直获得线线垂直.证明：在平面PAC内作AD_PC，交PC于D.因为平面PAC—平面PBC于PC,AD平面PAC，且AD_PC，所以AD_平面PBC?又因为BC平面PBC，于是有AD_BC①?此外PA_平面ABC,BC平面ABC，所以PA_BC?由①②及ADPA二A，可知BC_平面PAC?因为AC平面PAC，所以BC_AC?说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，经过此题能够看到，面面垂直=线面垂直=?线线垂直.4.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，.BSC=90,._ASC=-ASB=60，若截取SA=SB=SC=a⑴求证：平面ABC_平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离.A剖析：要证明平面

ABC

_平面

BSC

,根据面面垂直的判断定理，

须在平面

ABC

或平面BSC

内找到一条与另一个平面垂直的直线

.(1)证明：TSA=SB=SC=a又.ASC=/ASB=60,

,/?ASB和AASC都是等边三角形，AB=AC=a,取BC的中点H，连结AH,???AH

_BC

?在RtBSC中，BS二CS二a,?SH_BC,BC=?2a,=AC-CH=a2-(a)在二SHA中，?AH,SH,SA2?-SA2-SH2HA2,?AH—SH,?AH—平面SBC??/AH二平面ABC，?平面ABC_平面BSC.或：???二AB，?极点A在平面BSC内的射影H为厶BSC的外心,又BSC为Rt,?H在斜边SA=ACBC上，又BSC为等腰直角三角形，H为?BC的中点，AH_平面BSC.???AH平面ABC，?平面ABC_平面BSC.(2)解：由前所证：SH_AH,SH_BC,?.SH_平面ABC,I—?SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH二匹二上a,22巧???点到平面ABC的距离为a?S25、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G,求证：AE丄SB,AG丄SDC在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为2-3的菱形，?ADC=60,M是PB中点。⑴求证：PA_CD⑵求证：平面PAB_平面CDM7.在多面体ABCDE中,AB=BC=AC=AE=1CD=2AE丄面ABCAE//CD。⑴求证:AE//平面BCD(2)求证：平面BED_平面BCDB1C1题型二、空间角的问题1.女口图示，在正四棱柱ABC-U1AB中：，DCBFED1A1B1C1AB=1,BB^,31,E为BB上使BE=1的点，平面AEC交DD于F,交AU的延,,,,长线于G,求：(1)异面直线AD与GG所成的角的大小(2)二面角A-GG-A的正弦值2.如图，点A在锐二面角〉—MN一■-的棱MN上，在面〉内引射线AP，使AP与MN所成的角?PAM为45，与面1所成的角大小为30，求二面角〉-MN-的大小.N剖析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中(最好是直角三角形)，经过解三角形使问题得解.Fp、解：在射线AP上取一点B，作BH_1于H,4/2H连结AH，则.BAH为射线AP与平面1所成的角，BAH-30.再作BQ_MN，交MN于Q,连结HQ，则HQ为BQ在平面一：内的射影?由三垂线定理的逆定理，HQ_MN,BQH为二面角〉-MN--的平面角.设BQ=a,在Rt=BAQ中，一BQA=90，-BAM二45,AB=.2a,在Rt△BHQ中,2.2BHBHQ-90,BQ=a,BHa,sinBQHBQ2.BQH是锐角，..BQH=45,即二面角：-?MN-■-等于45.说明：此题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转变为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义增添适合的协助线.3.正方体ABCD—AB.GD,的棱长为1,P是AD的中点?求二面角,—P的大小.A—BD剖析：求二面角重点是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简易，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用?在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如虑图到考AB垂直于平面AD,,BD,在平面AD,上的射影就是AD,?再过P作AD,的垂线PF,则PF

_面

ABD

,，过

F作

D,B

的垂线

FE,

.PEF即为所求二面角的平面角了

.a解：过P作BDi及AD,的垂线，垂足分别是E、F,连结EF.AB_面AD,,PF面AD,,AB_PF，又PF_AD,,???PF_面ABD,.又???PE_BD,,?EF_BD,,PEF为所求二面角的平面角.PFAP?/RtAD,Ds：PFA,DD,AD,而APDD,=,,AD,=2,?PF-.24.52在PBD,中，PD,二PB二.???PE_BD,,?BE」BD2在RtPEB中，PE二PB2-BE22，在RtPEF中，snPEFPF?PEF=30.2PE4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点,求证：MN//平面PAD若二面角P—DC—A为—，求证：平面MND丄平面PDC45?已知正方体中ABC^A1B1C1D1,E为棱CC1上的动点，求证：AE丄BD(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面ABD丄平面EBD在棱CC1上是否存在一个点E，能够使二面角A-BD-E的大小为45?如果存在，试确定E在棱CC1上的地点；如果不存在，请说明原因。题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形

ABCD