苏北四市2013-2014第一学期期末数学试卷

....2012届高三调研测试一试卷(三)数学(满分160分，考试时间120分钟)2012．1一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．1.已知会合A＝{1,2,3}，B＝{0,2,3}，则A∩B＝____________.若(x＋i)2是实数(其中i为虚数单位)，则实数x的值为____________．3.一个社会检查机构就某地居民的月收入情况检查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频次散布直方图(如下列图)，则月收入在[2000,3500)围人数为____________．(第3题)4.根据如下列图的伪代码，可知输出S的值为______________．←1Whilei＜8←i＋2S←2i＋3EndWhilePrintS(第4题)5.已知a，b∈{1,2,3,4,5,6}，直线l：x－2y－1＝0，l：ax＋by－1＝0，则直线l⊥l1212的概率为______________．x≥16.若变量x，y知足拘束条件y≥x，则3w＝log(2x＋y)的最大值为3x＋2y≤15______________．7.已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则p的值为____________．18.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝2，a3＋a4＝1，则a7＋a8＋a9＋a10的值为____________．9.在△ABC中，已知BC＝1，B＝π，△ABC的面积为3，则AC的长为________．3已知p：x2－4x－5＞0，q：x2－2x＋1－m2＞0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为____________．2＋y211.已知椭圆的方程为x22＝1(a＞b＞0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆ab交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于1/14....____________．函数f(x)＝acos(ax＋θ)(a＞0)图象上两相邻的最低点与最高点之间距离的最小值是______________．13.定义在R上的函数f(x)，知足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2012)的值为______________．1114.已知函数f(x)x＋2，x∈0，2)＝.若存在x，x，当0≤x＜x＜2时，f(x12121x－11，22，x∈2f(x2)，则x1f(x2)的取值围是____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈0，π，若a⊥b，求：2(1)|a＋b|；(2)cosα＋π的值．4(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D、E分别是AA1和B1C的中点．求证：DE∥平面ABC；求三棱锥EBCD的体积．2/14....(本小题满分14分)现有一长80cm、宽60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面．设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)．求：x与y的关系式；该铁皮盒体积V的最大值．3/14....(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.求圆O的方程；若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；设M、P是圆O上随意两点，点M对于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？假如，恳求出该定值；若不是，请说明原因．4/14....(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.当a＜0时，解不等式f(x)＞0；(2)若f(x)在[－1,1]上是单一函数，求a的取值围；(3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．5/14....(本小题满分16分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝pSn＋q(p，q为常数，n∈N*)，且a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p.求p、q的值；求数列{an}的通项公式；(3)是否存在正整数Sn－m2m建立？若存在，求出所有切合条件的有序m、n，使n＋1＜mS－m2＋1数对(m，n)；若不存在，说明原因.6/14....2012届高三调研测试一试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题给分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．选修41：几何证明选讲如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C.求证：BT平分∠OBA.选修42：矩阵与变换若点A(2,2)cosα－sinαB(－2,2)，求矩在矩阵M＝对应变换的作用下获得的点为sinαcosα阵M的逆矩阵．C.选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB的最小值．7/14....D.选修45：不等式选讲n已知a1，a2，，an都是正数，且a1·a2·an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)(2＋an)≥3.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，已知面积为1的正三角形ABC三边中点分别为D、E、F，从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个不同的点，所组成的三角形的面积为X(三点共线时，规定X＝0)．求：1PX≥2；E(X)．如图，过抛物线C：y2＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．求y1＋y2的值；若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．8/14....2012届高三调研测试一试卷(三)( )数学参照答案与评分标准1.{2,3}2.03.6504.215.16.27.28.129.1310.211.123312.2π13.100614.2－214，215.解：(1)因为a⊥b，所以4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，(2分)解得sinα＝3，又因为α∈0，π，(4分)524sinα3所以cosα＝，tanα＝cosα＝，(6分)54所以＋＝(7,1)，因此|a＋b|＝72＋12＝52.(8分)abπππ(2)cosα＋4＝cosαcos4－sinαsin4(12分)423225×2－5×2＝10.(14分)(1)证明：取BC中点G，连接AG、EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，1且EG＝2BB1.由直棱柱知，AA1BB1，而D是AA1的中点，所以EGAD，(4分)所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又DE平面ABC，AG平面ABC所以DE∥平面ABC.(7分)解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC，(10分)由(1)知，DE∥平面ABC，111所以VEABC＝VDABC＝3AD·2BC·AG＝6×3×6×4＝12.(14分)17.解：(1)由题意得x2＋4xy＝4800，9/14....2即y＝4800－x，0＜x＜60.(6分)4x224800－x213(2)铁皮盒体积V(x)＝xy＝x＝－x＋1200x，(10分)4x432V′(x)＝－4x＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，(12分)因为x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函数；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是减函数，133所以V(x)＝－4x＋1200x，在x＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm.答：该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3.(14分)18.解：(1)1，(2分)因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为21262所以圆O的半径为2＋2＝2，故圆O的方程为x2＋y2＝2.(4分)设直线l的方程为x＋y＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，ab|ab|111由直线l与圆O相切，得a2＋b2＝2，即a2＋b2＝2，(6分)2222211DE＝a＋b＝2(a＋b)a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(10分)(3)2222设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，－y1)，x1＋y1＝2，x2＋y2＝2，x1y2－x2y11221直线MP与x轴交点，0，m＝xy－xy，2121y－yy－yxy＋xy1x1y2＋x2y1直线NP与x轴交点122，n＝，(14分)y2＋y1，021y＋yx1y2－x2y1x1y2＋x2y1x222222－22mn＝1y2－x2y1＝2－y1y22－y2y1y2－y1·＝2222＝2，y2＋y1y2－y1y2－y1故mn为定值2.(16分)19.解：(1)因为ex＞0，所以不等式f(x)＞0即为ax2＋x＞0，1又因为a＜0，所以不等式可化为xx＋a＜0，1所以不等式f(x)＞0的解集为0，－a.(4分)(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x)ex＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]ex，①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1,1]上恒建立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0切合要求；(6分)②当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，因为＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1＞0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，因此f(x)有极大值又有极小值．若a＞0，因为g(－1)·g(0)＝－a＜0，所以f(x)在(－1,1)有极值点，10/14....故f(x)在[－1,1]上不单一．(8分)若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1,1]上单一，因为g(0)＝1＞0，必须知足g1≥0，即3a＋2≥0，所以－2≤a＜0.g－1≥0－a≥03综上可知，a的取值围是2－，0.(10分)3(3)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex＞0，所以x＝0不是方程的解，x2x2所以原方程等价于e－x－1＝0，令h(x)＝e－x－1，x2因为h′(x)＝e＋x2＞0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒建立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)是单一增函数，(13分)又h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2＞0，h(－3)＝e－3－13＜0，h(－2)＝e－2＞0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，所以整数k的所有值为{－3,1}．(16分)20.解：(1)213＝2p＋q1.(4由题意，知S＝pa＋q，即，解之得p＝2S＝pS＋q3＋q－3p＝3p＋q32q＝2分)1由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋2，①1当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋2，②1①－②得，an＋1＝2an(n≥2)，(6分)211n＋11n*n1又a＝2a，所以a＝2a(n∈N)，所以{a}是首项为2，公比为2的等比数列，1所以an＝2n－2.(8分)121－n1m2n2(3)由(2)＝41－nn＝n＋1＜m，得得，S2，由2＋1S－m11－2141－2n－m2m2n4－m－42m41－1＜2m＋1，即2n4－m－2＜2m＋1，(10分)n＋1－m2即2n21mn4－m－2＞2m＋1，因为2＋1＞0，所以2(4－m)＞2，所以m＜4，且2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)11/14....因为m∈N*，所以m＝1或2或3.(12分)当m＝1时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以n＝1；当m＝2时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以n＝1或2；当m＝3时，由(*)得，2＜2n＜20，所以n＝2或3或4，综上可知，存在切合条件的所有有序实数对(m，n)为(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16分)12/14....高三数学附加题试卷(三)参照答案第页(共2页)2012届高三调研测试一试卷(三)( )数学附加题参照答案与评分标准A.证明：连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.(5分)又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.(10分)2－22cosα－2sinα－2B.解：由题意知，M＝，即＝2，222sinα＋2cosαcosα－sinα＝－1cosα＝00－1所以，解得sinα＝1.所以M＝.(5分)sinα＋cosα＝110－110－101由MM＝，解得M＝－1.(10分)010另解：矩阵M的队列式|M|＝01－101.－10＝1≠0，所以M＝－10C.解：圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，直线方程为x＋y－7＝0，(5分)圆心到直线的距离d＝|－1－7|＝42，所以(AB)min＝42－2.(10分)23证明：因为a1是正数，所以2＋a1＝1＋1＋a1≥3a1，(5分)同理2＋a＝1＋1＋a3≥3a(j＝2,3，n)，jjj将上述不等式两边相乘，得n3·a··a，(2＋a1)(2＋a2)(2＋an)≥3·a12n因为a1·a2··an＝1，所以n分)(2＋a1)(2＋a2)(2＋an)≥3.(1022.解：(1)从六点中任取三个不同的点共有3个基本事件，6事