幂函数经典例题

例1、下列结论中，正确的选项是( )A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象能够出现在第四象限1αC．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝x是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，应选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，应选项B不正确；而当α＝－时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案C例、已知幂函数fx＝t3t＋x1＋t－t2t∈是偶函数且在，＋2()(－1)5(732)(Z)(0∞)上为增函数，求实数t的值．剖析对于幂函数y＝xαα∈，α≠的奇偶性问题，设pp、q互(R0)q(||||p质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝pxq的奇偶性与p的值相对应．fx是幂函数，∴t3－t＋＝，解∵( )11∴t＝－1,1或0.7当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；2当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；828当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．82故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类议论，尤其对题中的条件∈Z赐予足够的重视．例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )A．-1<n<0<m<1n－m．－n，m．n－，mB．<1,0<<1C1<<0>1D<1>1解析在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，m，n－0<<1<1.答案B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越凑近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．1例、已知x2x，求x的取值范围．4>32121错解由于x≥，x∈，则由xx，可得x∈R.03R>3错因剖析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特点，尤其是y＝xα在>1和0<α<1两种情况下列图象的散布．正解1作出函数y=x2和y=x3的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例、函数fx22＋m－是幂函数，且当x∈，＋∞时，fx)＝(m－m－1)xm3(0)5()(是增函数，求f(x)的解析式．剖析解答此题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单一性确定m.解根据幂函数定义得2m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；mfx)＝x－3，＋∞)上是减函数，不切合要求．故f(x)＝当＝－1时，(在(0x3.点评幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特点是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也能够为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单一性验根，免得增根．21变式已知y＝(m＋2m－2)x2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．m－12m－＝m＋122解2，由题意得m－1≠02n－3＝0m＝－3解得3，n＝23所以m＝－3，n＝2.例6、比较下列各组中两个数的大小：33－2－2（1）1.55，1.75；（2），；（3）(－1.2)3，(－1.25)3．3解析：（1）考察幂函数y＝x5的单一性，在第一象限内函数单一递增，33∵＜，∴1.55＜1.75，3（2）考察幂函数y＝2的单一性，同理（）先将负指数幂化为正指数x3幂可知它是偶函数，－2－2－2－2－2－2－2∵－3＝1.23，－3＝1.253，又1.23＞1.253，∴－3(1.2)(1.2)(1.25)21.253．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单一性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单一性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个适合的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小55717(1)3－2与－2；(2)－8－8与－98.剖析比较大小问题一般是利用函数的单一性，当不便利用单一性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．5解(1)函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，5又3<，所以3－2>－2.717711171(2)－8－8＝－88，函数y＝x8在(0，＋∞)上为增函数，又8>9，则88>978，17进而－8－8<－98.点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单一性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式比较下列各组数的大小：2－3－3与－6－3；222，(－5与－3.2222π2π2解(1)－3－3＝3－3，－6－3＝6－3，22π，∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又∵3>632222π2π2∴－3－3＝3－3<6－3＝－6－3.22223(2)5>15＝1,0<－3<1－3＝1，(－5<0，22所以(－5<－3<5.例8、已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象对于y轴对称，且在(0，＋∞)mm上函数值随x的增大而减小，求知足(a＋1)－3<(3－2a)－3的a的范围．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象对于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，11∴有(a＋1)－3<(3－2a)－3.1又∵y＝x－3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，23解得3<a<2或a<－1.点评

(1)解决与幂函数相关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．

(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单一性和奇偶性也就不同．2－m－m∈的图象与x轴、y轴都无公共点，变式已知幂函数y＝xm3(Z)2且对于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．2解由已知，得m－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不对于y轴对称，不切合题意．当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．练习一、选择题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n时，是增函>0数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．其中正确的选项是()A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤答案D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝xD．y＝x2答案A111，则使f(x)＝xα为奇函数且在3．设α∈－2，－1，－，，，1，2，3232(0，＋∞)内单一递减的α值的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案

A4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线

y＝x

下方的偶函数是

(

)1A．y＝x2B

．y＝x－2

C．y＝x2

D．y＝x－1答案B225．如果幂函数y＝(m－3m＋3)·xm－m－2的图象可是原点，则m的取值是( )A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1答案B2m－3m＋3＝1解析由已知2m－m－2≤0∴m＝1或m＝2.122＋x，y＝x≠中幂函数的个数为．在函数y＝2，y＝x，y＝x1(0)( )6x2A．1B．0C．2D．3答案C解析依据幂函数的定义判断，应选C.．幂函数fx的图象过点，1，那么f(8)的值为()7( )42A．26B．64答案C解析设f(x)＝xα11α1(α为常数)，将4，点代入得＝4，∴α＝－，f(x)222112x－2，∴f(8)＝8－2＝4.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是()A．y＝x．y＝x2．y＝x－2D．y＝logaxa，且a≠1)2BC(>0答案B解析根据函数图象，选B.二、填空题11．若幂函数y＝f(x)的图象经过点9，3，则f(25)＝_____________.1答案5αα11解析设f(x)＝x，则9＝3，α＝－2.1f(25)＝25－2＝5.2．设幂函数y＝xα______________．答案[0，＋∞)

的图象经过点(8,4)

，则函数

y＝xα

的值域是解析

22由4＝8α，得α＝3，∴y＝x3≥0.如下图是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为.1答案2，2，－2，－2．若幂函数y＝f(x的图象经过点(2，2)，则f(25)的值是________．4)答案5解析设y＝xα，∵点(2，2)在y＝xα的图象上，α111∴2＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2.故f(25)＝252＝5.．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过第________象限．5答案四2512310326．把下列各数23，3－3，－3，5，23，按由小到大的排列次序为__________________．235110322答案－3<3－3<5<23<23.．已知幂函数fx1a＋f－a，则a的取值范围是((1)<(107)22)________．答案3<a<5解析11f(x)＝x－＝(x>0)，由图象知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a2x1)<f(10－2a)，a＋1>0，a>－1，∴10－2a>0，得a<5，∴a3<<5.a＋1>10－2a.a>3.三、解答题211．求函数y＝x5＋2x5＋4（x≥－32）值域．1解析：设t＝x5，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．21∴函数y＝x5＋2x5＋（x≥－）的值域为［，＋）．4323点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．222．已知f(x)＝(m＋2m)·xm＋m－1，m是何值时，f(x)是(1)正比率函数；反比率函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解(1)若f(x)为正比率函数，则2m＋m－1＝12，∴m＝1.m＋2m≠0若f(x)为反比率函数，则2m＋m－1＝－12，∴m＝－1.m＋2m≠0若f(x)为二次函数，则2m＋m－＝－1±1312，∴m＝22.m＋2m≠02(4)若f(x)为幂函数，则m＋2m＝1，∴m＝－1±2。13．已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，4在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．解设f(x)＝xα，由题意得：2＝(2)2?α＝2，f(x)＝x2.同理可求：g(x)=x-2，在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如下图．由图象可知：(1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x)．(2)当x=±1时，f(x)=g(x)．(3)当-1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．4．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)．a为何值时此函数为幂函数？a为何值时此函数为正比率函数？a为何值时此函数为反比率函数？解(1)由题意，得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0.解得a＝3±53±52，即a＝2时，此函数为幂函数；a2－5a＋5＝1，由题意，得a2－3a＋2≠0.解得a＝4，即a＝4时，此函数为正比率函数；a2－5a＋5＝－1，由题意，得a2－3a＋2≠0.解得a＝3，即a＝3时，此函数为反比率函数．5．已知函数y＝415－2x－x2．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单一区间．解析：这是复合函数问题，利用换元法律t＝－x－x2，则y＝4t，152（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5