分式及分式的基本性质

分式及分式的基本性质【本讲教育信息】一、教学内容：分式综合提高1.分式及分式的基本性质．2.分式的四则运算．3.分式方程及应用．二.知识要点：1.分式的概念，考查分式有无意义的条件和分式值为0的条件．（1）分式的基本性质：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)＝eq\f(A÷M,B÷M)（M≠0）；（2）分式的通分：确定最简公分母；（3）分式的约分：确定分子、分母的公因式．2.分式的运算（1）分式的乘法：eq\f(b,a)·eq\f(d,c)＝eq\f(（）,（）)；（2）分式的除法：eq\f(b,a)÷eq\f(d,c)＝eq\f(（）,（）)×eq\f(（）,（）)＝eq\f(（）,（）)；（3）分式的乘方：（eq\f(b,a)）n＝eq\f(（）,（）)；（4）同分母分式的加减；eq\f(a,b)±eq\f(c,b)＝eq\f(（）,（）)；（5）异分母分式的加减：eq\f(b,a)±eq\f(d,c)＝eq\f(（）,（）)±eq\f(（）,（）)＝eq\f(（）,（）)；（6）分式混合运算顺序与分数混合运算类似，先算__________，再算__________，最后算__________，有括号的__________．3.负整数指数幂和科学记数法（1）负整数指数幂：一般地，am÷an＝am－n（m、n均为正整数，且m＞n），当m＜n时，m－n＜0．设am÷an＝a－p（p是正整数），则a－p＝__________．（2）科学记数法：如果一个数不小于10，那么这个数可以写成a×10n（1≤a<10且n为正整数）；如果一个数大于0而小于1，也可以用科学记数法表示为a×10n（1≤a<10且n为负整数）．如36000＝×__________，＝×__________．4.列分式方程解应用题列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的分析思路完全相同，一般包括：审题、设未知数、找数量关系列方程、解方程并检验、写答案．在分式方程检验解时，应注意从是否符合所列方程和是否符合题意两个方面进行检验，并必须写出检验步骤．三.重点难点：本讲重点是熟练掌握分式的基本性质；会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程和检验分式方程的根．难点是如何解决一些与分式、分式方程有关的实际问题．四.考点分析：分式的化简与计算是中考的热点问题，每年各地区中考都要考查．主要考查分式的化简与运算能力，列分式方程解应用题的能力，以填空题、选择题为主，解答题中常和其他知识结合在一起进行考查．题目的难度以简单题和中等难度题为主．【典型例题】例1.完成下列各题：（1）当代数式eq\f(x－5,（x－2）（x－3）)是分式时，x的取值情况是__________．（2）当x＝__________时，分式eq\f(x2－x－6,（1－x）（x－3）)的值为零．（3）若（y－3）0＋（y＋2）－1有意义，则y__________；（x2－1）－2＝eq\f(1,（x2－1）2)成立的条件是__________．（4）若a＝2－2，b＝（eq\r(,3)－1）0，c＝（－1）3，则a、b、c的大小关系是__________．（5）（－10）2＋（eq\f(1,20)）－3×（π－÷3）0－（－2）－2×（－eq\f(1,4)）－2＝__________．分析：（1）eq\f(x－5,（x－2）（x－3）)中分母是（x－2）与（x－3）的积，这两个因式都不能为0，所以x既不能是2又不能是3．（2）要使分式的值为0，必须使分子为0而分母不为0．（3）题考查零指数幂和负整数指数幂中对底数的限制条件，都要求底数不为零．（4）对于零指数幂的运算，先考虑底数是否为零，只要底数不为零，就可直接写成1．（5）关于负整数指数幂，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数即可变成正指数．如（eq\f(1,20)）－3＝203．解：（1）x≠2且x≠3（2）x＝－2（3）y≠3且y≠－2；x≠±1（4）b＞a＞c（5）8096．例2.已知a2＋2a－1＝0，求（eq\f(a－2,a2＋2a)－eq\f(a－1,a2＋4a＋4)）÷eq\f(a－4,a＋2)的值．分析：此题将分式的加减和乘除结合起来，先算括号里的减法，再将除法转化成乘法．化简后再代值求出结果．解：原式＝[eq\f(a－2,a（a＋2）)－eq\f(a－1,（a＋2）2)]÷eq\f(a－4,a＋2)＝[eq\f(（a－2）（a＋2）,a（a＋2）2)－eq\f(a（a－1）,a（a＋2）2)]·eq\f(a＋2,a－4)＝[eq\f(a2－4－a2＋a,a（a＋2）2)]·eq\f(a＋2,a－4)＝eq\f(a－4,a（a＋2）2)·eq\f(a＋2,a－4)＝eq\f(1,a（a＋2）)＝eq\f(1,a2＋2a)因为a2＋2a－1＝0，所以a2＋2a＝1，所以eq\f(1,a2＋2a)＝eq\f(1,1)＝1．评析：化简条件和所需求值的代数式或只化简其中一个，然后再代入求值，是化简求值中经常用到的一种方法．例3.解方程eq\f(1,x)＋eq\f(x－2,x2)＝eq\f(3,x)．分析：利用等式性质，两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程．解：方程两边都乘x2，得x＋x－2＝3x解得x＝－2检验：当x＝－2时，最简公分母x2＝（－2）2＝4≠0，所以x＝－2是原方程的根．评析：解分式方程的关键是化分式方程为整式方程，解分式方程一定要检验．例4.已知某轮船从甲码头到乙码头的路程为skm，航速为vkm/h，返回时的速度是去时的2倍，问轮船来回的总时间是多少．分析：此题考查运动中路程、时间、速度之间的关系，来回的总时间等于去时时间＋返回的时间．解：eq\f(s,v)＋eq\f(s,2v)＝eq\f(3s,2v)（h）．答：轮船往返一次的时间为eq\f(3s,2v)h．评析：求路程、速度、时间之间的关系时可以结合物理知识来解决．例5.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？分析：（1）相等关系是“第二批数量是第一批数量的3倍”，数量关系如下表：总价单价数量第一批2000xeq\f(2000,x)第二批6300（2）求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的（2000＋6300）元，所得结果就是全部售出后的盈利．解：（1）设第一批购进书包的单价是x元，根据题意得：eq\f(2000,x)·3＝eq\f(6300,x＋4)，解得x＝80（元）（2）eq\f(2000,80)×（1＋3）×120－（2000＋6300）＝3700（元）答：（1）第一批购进书包的单价是80元．（2）全部售出后，商店共盈利3700元．【方法总结】1.在解有关分式求值的问题时，要注意分式的取值必须是在分式有意义的前提下进行的，因此首先应确定使分母不为0的字母的取值范围．2.分式的计算要注意的几点：①在分式的乘除法混合运算中，要先将乘除法运算统一成乘法．②分式乘法，一般先约分再乘除．③当除式或被除式是整式时，把整式看作分母为1的式子．④要注意运算顺序．3.转化是一种重要的数学思想方法，它的应用十分广泛，应用转化思想能把复杂的问题转化为简单的问题解决，把生疏的问题转化成熟悉的问题解决．本章的学习中多次应用了转化思想，如：分式除法运算转化为乘法运算；异分母分式相加减转化为同分母分式相加减；分式方程转化为整式方程．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题1.下列各式中与eq\f(b,a)相等的是（）A.eq\f(b2,a2) B.eq\f(b＋2,a＋2) C. D.eq\f(a＋b,2a)2.分式eq\f(1,a＋b)、eq\f(2a,a2－b2)、eq\f(b,b－a)的最简公分母是（）A.（a2－b2）（a＋b）（b－a） B.（a2－b2）（a＋b）C.（a2－b2）（b－a） D.a2－b23.化简eq\f(12,m2－9)＋eq\f(2,m＋3)的结果是（）A.eq\f(6,m2－9) B.eq\f(2,m－3) C.eq\f(2,m＋3) D.eq\f(2m＋6,m2－9)4.化简eq\f(m2－n2,m2＋mn)的结果是（）A.eq\f(m－n,2m) B.eq\f(m－n,m) C.eq\f(m＋n,m) D.eq\f(m－n,m＋n)5.计算（eq\f(a2＋b2,a2－b2)－eq\f(a－b,a＋b)）×eq\f(a－b,2ab)的结果是（）A.eq\f(1,a－b) B.eq\f(1,a＋b) C.a－b D.a＋b6.若分式方程eq\f(x,x＋1)＝eq\f(m,x＋1)无解，则m的值为（）A.1 B.0 C.－1 D.－2*7.已知x2－5x－1997＝0，则代数式eq\f(（x－2）2－（x－1）2＋1,x－2)的值为（）A.1999 B.2000 C.2022 D.－28.“五一”期间，部分同学包租一辆面包车出去旅游，面包车的租金为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原来的学生共有x人，则所列方程为（）A.eq\f(180,x)－eq\f(180,x＋2)＝3 B.eq\f(180,x＋2)－eq\f(180,x)＝3 C.eq\f(180,x)－eq\f(180,x－2)＝3 D.eq\f(180,x－2)－eq\f(180,x)＝3二.填空题1.分式eq\f(（x＋1）（x－2）,（x－2）（x－1）)有意义的条件是__________．2.若a2－6a＋9与︱b－1︱互为相反数，则式子（eq\f(a,b)－eq\f(b,a)）÷（a＋b）的值为__________．3.当x＝__________时，分式eq\f(2x－3,x－1)的值等于1．4.2022年某地生产总值按可比价格计算，比上年增长%，达到136515亿元，136515亿元用科学记数法表示（保留四个有效数字）为__________元．*5.若x＋eq\f(1,x)＝3，则x2＋eq\f(1,x2)＝__________．三.解答题1.化简：（eq\f(a2,a－2)－eq\f(4,a－2)）·eq\f(1,a2＋2a)．2.求代数式的值：eq\f(3x＋6,x2＋4x＋4)÷eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(1,x－2)，其中x＝－6．3.计算：－eq\f(1,2－2)＋eq\r(3,－27)＋（π－1）0－︱－eq\f(1,4)－1︱．*4.已知，3＋eq\f(3,8)＝32×eq\f(3,8)，4＋eq\f(4,15)＝42×eq\f(4,15)，…，若10＋eq\f(a,b)＝102×eq\f(a,b)（a、b为正整数），求分式eq\f(a2＋2ab＋b2,ab2＋a2b)的值．5.解方程（1）eq\f(3,x－2)＝2＋eq\f(x,2－x)；（2）eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(32,x2＋2x)．6.甲、乙两地相距360千米，一运输车队从甲地出发到乙地，当行驶了150千米后，接到通知，要求提前到达，车队决定把速度提高到原来的倍，到达乙地共用了6小时．问该车队原来的行驶速度是多少？**7.某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的eq\f(2,3)，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

【试题答案】一.选择题1.C2.D3.B4.B5.B6.C7.D8.A二.填空题1.x≠2且x≠12.eq\f(2,3)3.24.×10135.7三.解答题1.原式＝eq\f(1,a)2.原式＝eq\f(2,x－2)