函数综合应用

第十九讲函数综合应用名师伴学课前热身1．已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（）OOyx2A． B．或C． D．或2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限3.点在反比例函数（）的图象上，则k的值是（）．A．B．C．D．4、如图为二次函数的图象，给出下列说法：①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）【参考答案】1.B2.D3.B4.①②④◆考点聚焦大纲要求灵活运用函数解决实际问题考查重点及常考题型利用函数解决实际问题，常出现在解答题中◆备考兵法1.四种常见函数的图象和性质总结

图象特殊点性质一次函数与x轴交点与y轴交点（0，b）(1)当k>0时，y随x的增大而增大；(2)当k<0时，y随x的增大而减小.正比例函数与x、y轴交点是原点(0,0)。(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限反比例函数与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；(2)当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。二次函数与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是(-,)。(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-,y最小值=。(2)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-,y最大值=注意事项总结：(1)关于点的坐标的求法：方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。(2)对解析式中常数的认识：一次函数y=kx+b(k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。(3)对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。(4)二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动,顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。中考中的函数综合题，除了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键．◆典例精析例1：如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2,n)，一次函数图像与y轴的交点为C。（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积。解析：（1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点A、点B的坐标，分别把A（m，2），B（-2，n）代入反比例函数的关系式易求出m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系式为的值；（2）令关系式中的x为0求出y=1，所以C（0，1）；（3）△AOC的面积等于×OC×1=.答案：由题意：把A（m，2），B（-2，n）代入中得∴A（1，2）B（-2，-1）将代入中得 ∴一次函数解析式为：（2）C（0，1）（3）例2：某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．解析：（1）利用待定系数法确定出一次函数的表达式；（2）利润=每件的利润×销售件数，得W，根据二次函数的最值问题确定单价为90元，最大利润为900元；（3）令W=500，即，解得，因为，故单价定为70元.答案：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．例3：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【解析】（1）利润=单价×销售件数，单价为（2400-2000-x），销售件数为；（2）令y=4800，即，解方程得，老百姓要想得到实惠，所以取；（3）利用二次函数的最值解决.答案：（1）根据题意，得， 即．（2）由题意，得．整理，得．解这个方程，得．要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价200元．（3）对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元． 迎考精炼yxOC．yxOA．yxOC．yxOA．yxOD．yxOB．2．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为（保留根号）yOyOxACB3.已知一次函数和反比例函数的图象交于点A(1，1)求两个函数的解析式；若点B是轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标。4.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．OO60204批发单价（元）5批发量（kg）①②（1）（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．金额金额w（元）O批发量m（kg）300200100204060（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．OO6240日最高销量（kg）80零售价（元）（2）48（6，80）（7，40）5.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益（元）会相应降低且与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．120012008000400y(台)x(元)z(元)x(元)2001602000图①图②（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与政府补贴款额之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．【参考答案】2.3.（1）∵点A（1，1）在反比例函数的图象上,∴k=2．∴反比例函数的解析式为：．一次函数的解析式为：．∵点A（1，1）在一次函数的图象上∴．∴一次函数的解析式为（2）∵点A（1，1）∴∠AOB=45o．∵△AOB是直角三角形∴点B只能在x轴正半轴上．①当∠OB1A=90o时，即B1A⊥OB∵∠AOB1=45o∴B1A=OB1．∴B1②当∠OAB2=90o时，∠AOB2=∠AB2O=45o,∴B1是OB2中点,∴B2（2，0）．综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）．4.（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；……3分图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量当m＞60时，x＜由题意，销售利润为当x＝