专题二、分式不等式的解法

S.S.（一）分式不等式：①（x）为整式且中（x）W0①（x）为整式且中（x）W0）的不等式称为分式不等式。型如祈＞°或祈＜0（其中以x）、（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1）f(x)

叭x)>00f(x).叭x)>0f(x)⑶ <0=f(x)7(x)<0(3叭x)（（2）fx之0o[f(x )之0①(x) I ①(x)牛0f(x)<0cIf(x)2(x)V0(4)底x)—I 3(x)牛0（3）小结分式不等式的解法步骤：（13移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式（23转化为等价的整式不等式（33因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正3（13分式不等式的解法：解关于x解关于x的不等式>0方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：(x+1)(3x-2)>0x+(x+1)(3x-2)>03x-2>0或|3x-2<0x+1变式一：37-2-0J(x+1)(3x-2)>0等价转化为：;3x-2丰0比较不等式3x-比较不等式3x-2V0的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零3练一练：解关于x的不等式1x 2⑴——>0 (2) <3x—5 3—5x例1、解关于x的不等式:解：x例1、解关于x的不等式:解：x—2—2(x+3)

x+3>0即，>0<0（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）等价变形为：(x+8)(x+3)<等价变形为：(x+8)(x+3)<0x+3中0•二原不等式的解集为L8,-3）例2、解关于x不等式方法一：x2+2x+3恒大于0,利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。例3、解关于x的不等式:a解：移项——1>0

xa—xx—a通分>0即，<0xx等价转化为，x等价转化为，x(x—a)<0x牛0当a>0时，原不等式的解集为（0，a]当a<0时，原不等式的解集为[a，0）当a=0时，原不等式的解集为0

1.一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(％+4)(x-1)<0.分析一：利用前节的方法求解;分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必、「x-1>0 1x-1<0须异号，..•原不等式的解集是下面两个不等式组：《 /八与《 /八的解集[x+4<0 [x+4>0…|x-1>0、 ，，|x-1<0、一「一一、一，…一的并集,即便]x+4<0W{x1]x+4>0iUWWWW/x1}.书写时可按下列格式:解二：,/(x-1)(x+4)<0解二：,/(x-1)(x+4)<0oox€。或-4<x<1o-4<x<1,.•.原不等式的解集是仪卜4Vx<1}.小结：一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a丰0)的代教解法：设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a中0)相应的方程ax2+bx+c-0(a丰0)的两根为x、x且x<x,则ax2+bx+c>0oa(x-x)(x-x)>0；TOC\o"1-5"\h\z1 11 1 2 1 2， 1 2rr/日1x-x<0,A|x-x>0, 1x<x,—1x>x,①若a>0，则得| 1:或1 1二W 1，或I 1，Ix-x<0,Ix-x>0.Ix<x,Ix>x.12 12 12【2当x<x时，得x<x或x>x；当x=x时，得xGR,且x丰x.11 2」'1, 1人2；,1 24,4 1.rr/日1x-x<0,A|x-x<0, 1x<x,A|x<x,②若a<0,则得I 1=或I 1:n〈Y或IYIx-x2>0, Ix-x2>0. Ix>x2,Ix>x2.当x1<x2时，得x1<x<x2；当x1=x2时，得xG0.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令仅-1)低+4)=0,解得乂(从小到大排列)分别为-4,1,这两根将乂轴分为三部分：(-8,-4)(-4,1)(1,+8)；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号(-8,-4)(-4,1)(1,+8)x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①检查各因式中乂的符号均正；②求得相应方程的根为：-2,1,3；③列表如下：-2 1 3x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+④由上表可知叫原不等式的解集为：{x|-2<x<1或乂>3}.小结：此法叫列表法,解题步骤是：

①将不等式化为仅诙）仅，）…低，）>0（<0）形式（各项x的符号化“+”，12 n令仅，1）低，2）…（x-xn）=0,求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分 ；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.{x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图{x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图练习图直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}.{x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为仅，1）仅，2）…仅，。）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一方便）②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）

④若不等式仆的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在乂轴下方的区间.ZA/7\ /注意：奇穿偶不穿例3解不等式：（x-2）2（x-3）3（x+1）<0.解：①检查各因式中乂的符号均正；②求得相应方程的根为：-1,2,3（注意：2是二重根，3是三重根力③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图:④「.原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<乂<3}.说明：；3是三重根，「.在C处穿三次，2是二重根，「.在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧电）有相同因式低，小时，门为奇数时，曲线在乂1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在乂1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：（x-3）（x+1）（x2+4x+4）<0.解：①将原不等式化为：仪-3）仅+1）仅+2）2<0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1,3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：f/、————乙-2-1 --- --^3 ,④.•.原不等式的解集是仪|-1<x<3或乂=-2}.

说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但乂=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法x3例4解不等式：x不7<0.错解：去分母得x-3<0「.原不等式的解集是{xlx<3}.解法1：化为两个不等式组来解：x—3 Ix—3>03Ix—3<0 <004 或< o乂€。或一7<x<30—7<x<3,x+7Ix+7<0Ix+7>0.•.原不等式的解集是{xl—7<x<3}.解法2：化为二次不等式来解：<00<00(x—3)(x+7)<0x+7丰00—7<x<3，.•.原不等式的解集是％1—7<x<3}说明：若本题带“=”，即仅-3)仅+7)<0,则不等式解集中应注意乂丰-7的条件，解集应是仅|-7<x<3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数乂，不等式两边同乘以一个含乂的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.f(x)解法是：移项，通分，右边化为0,左边化为十二的形式.g(x)x2—3x+2例5解不等式： <0.x2—2x—3

x23x23—3x+2解法2：< <0oX2-2X-3(X2—3X+2)(X2—2X—3)<0ox2—2x—3中0](x-1)(X—2)(x—3)(X+1)<0"x-3)(X+1)丰0 ，.••原不等式的解集为{x|-1<x<1或2<x<3}.X-3练习：1.课本PT练习：3⑴⑵；2.解不等式一->2.21 x+5答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵仪卜<-4,或乂>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2-4X练习：解不等式： >x+1.(答：{x]x<0或1<乂<2})3.2x2+3X—7不等式工TTN1的解集是X3.2x2+3X—7不等式工TTN1的解集是X—1 X+14.不等式右＜X-i的解集是5.29—x—x2不等式下k＜1的解集是x2—3X+2八6.不等式KZ12>°的解集枭7.X2+X r不等4小口＜1的解"2x—18.不等式工＞1的解集是9.29.2x—3不等式目＜2的解集是X2—110.不等式(X2+1)(X-1)<xx2+3x+1_ 3x+1 .1.不等式^——-一->0的解集是 2.不等式[一>—1的解集是 X2+X X2+Xr11.不等式F=6<°的解集是——12.不等式4<1的解集是——3x+x 113.不等式E1>2的解集是——14.不等式E>1的解集是——15.(2