2020版高考数学大一轮复习第七章不等式第3讲二元一次不等式(组)简单线性规划问题分层演练文

第3讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的双侧，则a的取值范围为( )A．(－24，7)B．(－7，24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)分析：选B.依据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.x≥1，2．(2018·郑州第二次质量展望)若变量x，y知足拘束条件x＋y≤4，则目标函数zx－y≤0，＝x－2y的最小值是( )A．－1B．－2C．－5D．－6分析：选C.画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，由图知，当目标函数表示的直线z＝x－2y经过点A(1，3)时，z获得最小值，即zmin＝1－2×3＝－5，应选C.x≥0，3．不等式组x＋y≤3，表示的平面地区为Ω，直线y＝kx－1与地区Ω有公共点，则y≥x＋1实数k的取值范围为( )A．(0，3]B.[－1，1]C．(－∞，3]D．[3，＋∞)分析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k1最小，2－（－1）此时kCM＝＝3，1－0所以k≥3，即k∈[3，＋∞)．应选D.2x＋3y－3≤0，4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设、2－3＋3≥0，则＝2＋的最小xyzyxy＋3≥0，值是( )A．－15B.－9C．1D．92x＋3y－3≤0，分析：选A.法一：作出不等式组2x－3y＋3≥0，对应的可行域，如图中暗影部分所y＋3≥0示．易求得可行域的极点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z获得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择A.法二：易求可行域极点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值挨次为1，－15，9，故最小值为－15.x≥a，5x，y知足y≥x，(a<1)且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值．实数x＋y≤2，是( )21A.11B.413C.2D．4分析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中暗影部分(包含界限)2所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋1y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝4.x＋2y－5≥06．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x，y知足拘束条件x－2y＋3≥0，则＝＋y的最大值zxx－5≤0为________．分析：法一：画出可行域如图中暗影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z获得最大值．联立，得x－2y＋3＝0，x＝5，＝5＋4＝9.解得所以B(5，4)，故zx－5＝0，y＝4，max法二：绘图(图略)知可行域是关闭的三角形地区，易求得可行域的三个极点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，挨次代入目标函数z＝x＋y可求得z的值是3，9，5，故zmax9.答案：9x－y＋1≤0，xy知足拘束条件y≤1，(x2)2y2________．若变量、则－＋的最小值为．7x>－1，分析：作出不等式组对应的平面地区如图暗影部分，设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为地区内的点到定点(2，0)的距离的平方，D3由图知C、D间的距离最小，此时z最小．y＝1，x＝0，由得即C(0，1)，x－y＋1＝0y＝1，此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.答案：5x＋y≥1，y＋2．已知实数，知足拘束条件x－≥－1，则目标函数＝的最大值为．z________8xyx－52x－y≤2，分析：作出拘束条件所表示的平面地区，此中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．目标函数z＝y＋2表示过点(5，－2)与点(x，)的直线的斜率，且点(x，)在△ABCx－5Qyy平面地区内．明显过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为0＋211－5＝－2.1答案：－29.以下图，已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为极点的三角形地区(包括界限与内部)．写出表示地区D的不等式组；设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝7x－5y－23≤0，0.原点(0，0)在地区D内，故表示地区D的不等式组为x＋7y－11≤0，4x＋y＋10≥0.4依据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18a)<0，解得－18<a<14.故a的取值范围是(－18，14)．x＋y≥1，10．若x，y知足拘束条件x－y≥－1，2x－y≤2.1求目标函数z＝2x－y＋2的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处获得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．11平移初始直线2x－y＋2＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2＝z仅在点(1，0)处获得最小值，由图象可知－1<－a<2，y2解得－4<a<2.故a的取值范围是(－4，2)．x＋y≥1，1x，y知足mx－y≤0，z3x－y的最大值为2，则实数m( )．若且＝的值为3x－2y＋2≥012A.3B.3C．1D．25分析：选D.由选项得m>0，作出不等式组x＋y≥1，mx－y≤0（m>0），3x－2＋2≥0y表示的平面地区，如图中暗影部分．由于z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数获得最大值2.由3x－2y＋2＝0，得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m3x－y＝2，＝2.2．若变量x，y知足|x|＋|y|≤1，y的取值范围为________．则2＋xy≥0，分析：作出知足不等式组的平面地区，如图中暗影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1，时，2x＋y获得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x＋y获得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]x－y＋2≥0，3．实数x，y知足不等式组2x－y－5≤0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．x＋y－4≥0，分析：作出不等式组表示的平面地区，如图中暗影部分所示．z＝|x＋2－4|＝y|x＋2－4|x＋2y－4＝0的距离的5倍．由·5，其几何含义为暗影地区内的点到直线5x－y＋2＝0，zmax得点B坐标为(7，9)，明显点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时2x－y－5＝0，21.答案：216x＋y－2≤0，4．x，y知足拘束条件x－2y－2≤0，若z＝y－ax获得最大值的最优解不独一，则实2x－y＋2≥0，数a的值为________．分析：法一：由题中条件画出可行域如图中暗影部分所示，可知A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数获得最大值的最优解不独一，只需zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时切合题意，故a＝－1或a＝2.答案：－1或2x≤my＋n5．已知点A(53，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域x－3y≥0的外接y≥0圆的直径为20，求n的值．解：注意到直线l′：x－3y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．画出不等式组x≤my＋nx－3y≥0表示的可行域如图中暗影部分所示．y≥0设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.在△OAB中，OA＝（53）2＋52＝10.7105ππ依据正弦定理，得sin（π－α）＝20，解得α＝6或6.当α＝5π15π3.时，＝tan，得m＝－6m6又直线l过点A(53，5)，所以53＝－3×5＋n，解得n＝103.当α＝π时，同理可得m＝3，n＝0(舍去)．6综上，n＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混淆肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数以下表所示：原料ABC肥料甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的收益为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．用x，y列出知足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以产生最大的收益？并求出此最大收益．4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，解：(1)由已知，x，y知足的数学关系式为3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.设二元一次不等式组所表示的平面地区为图1中的暗影部分．(2)设收益为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.2z2z考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－3x＋3