直线一级倒立摆LQR控制器的设计

目录182490.前言 1106291.线性二次最优控制LQR基本理论 1158832.方案设计 246663.软件编程 3220414.系统调试和结果分析 3102846.结论及进一步设想 631765参考文献 630816课设体会 8直线一级倒立摆LQR控制器的设计姬晓龙沈阳航空航天大学自动化学院摘要：在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。关键词：二次型；倒立摆；稳定控制0.前言倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用matlab高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。1.线性二次最优控制LQR基本理论LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程：确定下列最佳控制向量的矩阵K：使得性能指标达到最小值：式中Q正定（或正半定）厄米特或实对称阵R______为正定厄米特或实对称阵下面是最优控制LQR控制原理图：图1最优控制LQR控制原理图方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t)是无约束的。对线性系统：根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。K=lqr(A,B,Q,R)改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。2.方案设计直线一级倒立摆系统的系统状态方程：四个状态量，，，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。Lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。假定R=1,Q=C'*C.其中代表小车位置权重，而是摆杆角度的权重，输入R是1。软件编程程序如下：clear;A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0103]';C=[1000;0010];D=[00]';Q11=1000;Q33=200;Q=[Q11000;0000;00Q330;0000];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T));[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,X(:,1),'-');holdon;plot(T,X(:,2),'-.');holdon;plot(T,X(:,3),'.');holdon;plot(T,X(:,4),'-')legend('CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd')运行程序可得K的值。4.系统调试和结果分析根据方案设计结果，进行了设计电路的实际联接。取=1，=1时，可得K=[-1-1.785525.4224.6849]。此时系统的响应曲线如下图：图2系统阶跃响应曲线从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在Q矩阵中，增加使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取=5000，=100，可得K=[-70.7107-38.1782110.804920.3521],系统响应曲线如下：图3系统阶跃响应曲线综上,通过增大Q矩阵中的和，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。在simulink中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：图4直线一级倒立摆LQR控制仿真模型输入=1，=1时，得到的K=[-1-1.785525.4224.6849]，执行仿真得到如下仿真结果：图5直线一级倒立摆LQR控制仿真结果1而输入=5000，=100时，得到的K=[-70.7107-38.1782110.804920.3521],执行仿真得到如下仿真结果：图6直线一级倒立摆LQR控制仿真结果2在图5、图6中，carposition和angel-pendulum分别代表小车位置曲线和摆杆角度曲线。可以发现，Q矩阵中，增加使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大和系统响应明显明显加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统震荡。6.结论及进一步设想建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。当然由于知识有限设计还有一些缺陷。参考文献[1]固高科技有限公司.固高倒立摆与自动控制原理实验指导书[M].深圳:固高科技有限公司,2005年9月。[2]邹伯敏.自动控制理论[M].北京:机械工业出版社，2003年[3]刘豹.现代控制理论[M].北京:机械工业出版社，2007年[4]王仲民,孙建军,岳宏.基于LQR的倒立摆最优控制系统研究[J].工业仪表与自动化装置.2005年,3（6）:28～32。[5]吴晓燕,张双选.MATLAB在自动控制中的应用[M].西安：西安电子科技大学出版社,2006年。[6]王士莹,张峰,陈志勇,赵协广.直线一级倒立摆的LQR控制器设计[J].信息技术.2006年,35（6）:98～99。[7]世界首例倒立摆实验控制系统在我校试验成功[J].北京师范大学学报（自然科学版），2002，（10）:5~8.[8]宋兆基，徐流美.MATLAB6.5在科学计算中的应用[M],北京:清华大学出版社，2005