人教版初三九年级上册教案整册

课题名称图形的旋转

1、掌握旋转的特征，理解旋转的基本性质。2、理解中心对称、中心对称图形的定义，了解它

教学目标们的联系。3、掌握关于原点对称的点的坐标特点。

旋转的性质、中心对称、中心对

称图形、坐标系中关于x轴、y

教学重点教学难点和旋转有关的综合题目的分析过程。

轴、原点对称的点的特征。

教学方法

教学及辅导过程

一、知识点归纳：

二、知识点归纳：

KB\

/!,D旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着一个定点转动一个角度的图形变

“换。旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针、逆时针）、旋转角度。

旋转的基本性质：（1）旋转前后的两个图形是全等的。（2）对应点到旋转中心

的距离相等。（3）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，都等于旋转角。

2、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果它能够与另一个图

£形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中

心。性质：（1）中心对称的两个图形是全等的。（2）对称点所连线段都经过对

BN0XZD称中心，而且被对称中心平分。

中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形

D0能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。区别：中心对称是针对两个图形而

言的，而中心对称图形指是一个图形。联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为中心对称图形。

把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们中心对称。

3、点（x,y）关于x轴对称后是（x,-y）

点（x,y）关于y轴对称后是（-x,y）

点（x,y）关于原点对称后是（-X,-y）

旋转在中考中的考法

（一）旋转的基本概念在考题中很少单独明题,往往结合图形利用旋转前后角度的变化和旋转前

后图形形状大小不变组合成新图形,求线段长度和角的度数.

1.如图1,如果aAPB绕点B按逆时针方向旋转90。后得

到△/!'P'B,月一BP=2,那么PP'的长为______________

点尸走过的路径长为_______________；线段第扫过的面积为_____________.

分析：图形的基本旋转，确定旋转中心，旋转角，同时注意旋转走过的路径和旋转时绕旋转中心

的线段扫过的图形.

B

2.（北京2007毕业13.）如图,△ABC是等腰直角三角形，BC是余“,工

图1

将4ABP绕点A逆时针旋转到aACP'的位置.

如果AP=3,那么PP'的长等于________.

分析：当图形之间互相重合，增大了基本图形的观察难度，A

要求学生从图形中确认是哪个图形旋转到哪个图形，并准确确定

旋转角和对应线段/

练习：B乙二

p

L如图，四边形48⑦是正方形，旋转后能与△力即重合,则NEAF的度数是（）

A.80°B90°C.100°D.120°

O44y——

答案（B）,知识层面（A），考查旋转角的确认

E

/f\BD同侧作等

2.如图，C是线段8。上一点，分别以8C、CO为边在Ar/

边△ABC和等边交CE于F,8E交AC于G,则图中可通过旋

转而相互得到的三角形对数有（）.BCD

A.1对B.2对C.3对D.4对

答案（B）,知识层面（B）,考查旋转是在特定位置上的全等.书67页拓广探索第9题,80页综合运

用第5题

3.如图，/XABC绕点A旋转后到达△AOE处,若NBAC=120°,ZBAD=30°,则NOAE=

__________,ZCAE=________________o

A

Bc

D

4.如图3,在直角aABC1中，ZC=90°,ZA=35°,以直角顶点。为旋转中心,

将△ABC旋转到△ABC的位置，其中4、B,分别是A、8的对应点，且点8在

斜边4皮上，则NA'CB的度数是

（二）旋转中往往借助实际图形考查旋转的基本概念，通常不单独命题,

结合中心对称，轴对称全面考查图形的识别.

1.下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45。

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

分析：选B知识层面（A）,考查图形位置和旋转角度.以书74页复习巩固第2题为原形,

与实际生活相结合.此处往往和轴对称相结合，考查几何图形的识别.

3.某数学兴趣小组的同学用儿个全等的等边三角形拼出如下图所示的四个图形，其中既是轴对称

图形又是中心对称图形的是（）

4.（2007宁夏）下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.等边三角形B.菱形C.等腰梯形D.平行四边形

（考查所学几何图形）

二、旋转作图、利用儿何变换设计图案

1、旋转的基本作图：

(1)确定旋转中心；

(2)确定图形中的关键点；

(3)将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；

(4)连结各点，得到原图形旋转后的图形.

旋转的作图分为两部分,(1)在儿何证明中将一个图形由一个位置旋转到夕于一个位置，构造全等

形;(2)常见在网格中将一个图形按给定方向和角度旋转，得到新的图形，通常2吉合考查平移和轴对

称.

1作.图

如图;C为线段48中点,，作下列旋转：以点C。为中

心，把这个三角形旋转180°./

(可用倍长中线法)ACB

知识层面A考查旋转的位置及角度，还原中考中等线段构

造全等的思考过程.(书68页观察(2)为原形)

2.如图，四边形ABCD中，N比/分90°分/氏

作出将4ABE绕点A,旋转到AADH的图形.\

BEC

图②

3.如图，(1)作出将AABC绕原点顺时针旋转90°的图形△AB。1.

(3)作出将△ABC绕原点旋转180°的图形＞

r-r-r-r4

(2)作出将A4BC绕点C逆时针旋转90°的

r-I--上

图形△A,8,C।।^!!!1>

33'-4-2-1

-H12347

(借助网格中的直角，考查确定旋转中心和旋转角的

的作图，知识层面B)T

4.已知：如图，AAB。的三个顶点坐标分别为

请你分别完成卜面的

A(2,4),8(6,2),0(0,0),-；A--

------------------------------------------------------------------------------------------11：：1i——i----------------------------------

（1）作图并标出所有顶点的坐标（不要求写出做法）.

（2）以。为旋转中心，将A48C沿逆时针方向

旋转90。，得到A4282c2.

5.（2007湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，先把梯形ABC。向左平移6个单位长度得到梯

形A/8/G。.

（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A/B/C/。；

（2）以点。为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点。顺时针方

向旋转90"得到梯形A262c2。2，请你画出梯形A262c2。2.

三.旋转不变性的利用.

旋转具有不变性，旋转的不变性既给我们准备了全等的图形，又可根据对应点到旋转中心的

距离相等、题目中给出的等线段（如中点，特殊图形），构造新的特殊的儿何图形和全等三角形.

在利用等线段构造图形时要注意等线段的位置关系,只有特定位置的等线段才能进行旋转构造.两

个等线段要有公共点.

初中几何中三角形、四边形中都有旋转的利用.

（一）三角形中的旋转

旋转一章在教科书中的习题和教参中的拓展资源都给出了等边（等腰）三角形中的旋转，根据等边

三角形中的等线段也可将图形旋转得到全等的图形，下面以几道题目为例说明.

1.如图2,P是正三角形ABC内的一点，且布=6,PB=8,PC=10.若将CRIC绕点A

逆时针旋转后，得到ZlPAB，则点P与点尸之间的距离为,ZAPB=

知识层面C,利用旋转中的不变性及旋转的角度构造特殊图形pt

2.已知一为正ZV18C内一点，口加=113°,4A>123°.求证以正构成一t'三

图2

角形,并确定所构成的三角形的各个内角的度数.

知识层面C

（二）.四边形中的旋转

在正方形中的旋转，根据正方形中四条边相等，可以将图形由一

个位置旋转到特定的位置，使图形的构造更为清晰.

1.如图8,将正方形48口中的△4?尸绕点8顺时针旋转能与

△W重合，若B六4,则点PPf的长为;

分析：知识层面为B,考查旋转的不变性,利用旋转的不变性

图形，提醒学生关注旋转前、后图形的位置.

2.如图4,四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90°,

P_LAB于P,若DP=5,则四边形ABCD的面积为

分析：知识层面为B,考查图形的构造（转化）

3.已知E、尸分别在正方形A8CZ）边AB和BC上，AB=\,

/£7叱=45°.求ABE/的周长.图4

知识层面C,考查利用正方形的边和角的特性将三角形旋转，构造新的

全等形.

4.如图，在四边形4BCD中,N/贻30°,

NADC=60°,AD=DC.证明BD2=AB'+BC2

分析：知识层面C,利用等线段将三角形旋转构造

四.旋转方法的探究.

在综合题中，需要学生不仅要会识别利用等线段

图形进行旋转，而且要会从求证入手，综合知识，

题.

高线变中线（教参拓展资源）

1.如图；在锐角三角形A6C中，AH1BC,分别以力反AC为一边,向形外作正方形4班和4CFG,

连接EG,与HA延长线交于点M,求证AM为EG中线.

知识层面C(考查知识点：正方形性质，根据等线段旋转构造全等形，利用旋转角)

2.(2008无锡)已知，点P是正方形A5CD内的一点，连接用、PB、PC.

(1)将△以8绕点8顺时针旋转90。到△PC6的位置(如图15(1)).

①设AB的长为a,PB的长为b^b<a),求△RLB旋转到△PCB的过程中边PA所扫过区域(图

15(1)中阴影部分)的面积；

②若必=2,PB=4,ZAPB=135°,求PC的长.

(2)如图15(2),若，%2+pc2=22炉请说明点「必在对角线a。上.

3.(2007广州25)已知在位//比'中，AB=BC；

在RtAADE中,AD=DE.连结阳取尾的中点心连结〃"和BM

(1)若点〃在边“'上，点发在边居上且与点6不重合，如图①，求证仁飒且刷比

(2)如果将图①中的ZL4庞绕点/逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么(1)中的结论是否仍成

立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.

4.与旋转角有关的题目(2008太原)如图，将一张透明的嗨四边形胶片沿对角线剪开，得到

图①中的两张三角形胶片△ABC和△OEE将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,

把△OEf1绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.

(1)当旋转至如图②位置，点夕©、C、。在同一直线上时，N力加与

ZDCA的数量关系是.

(2)当aOE尸继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

(3)在图③中连结8。、AQ探索B。与AO之间有怎样的位置关系，并证明.

5.（2008沈阳）

已知如图①所示，在△A8C和△AOE中/BAC=NDA£且煎B、4、〃在一条直线上,

连结6£、CD,MN分别为BE、口的中点.

(1)求证：®BE=CD;

②△AMN是等腰三角形.

⑵在图①的基础上，将△AOE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变，得到图②所示的

图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；

(3)在(2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.

方和，则称这个四边形为等平方和四边形.

(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的

名称：______________

(2)如图(1),在梯形A6CO中，AD//BC,

ACYBD,垂足为0.

求证：AD2+BC2=AB2+DC2,即四边形ABCD是等

平方和四边形.

证明：

(3)如果将图(1)中的△A。。绕点。按逆时针方向旋转a度(0<a<90)后得到图Q),那么四边

形ABCO能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由.

证明:

分析：第三问借助图(1)还原图形从而解决问题.

图(2)

章末测试

1).

(A)(B)(C)(D)

3.如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平血内可作旋转中心的点共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，将aABC绕着点C按顺时针方向旋转20。，B点落在B，位置，A点落在A，位置,

若ACLA'B',则NBAC的度数是

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如图，△OAB绕点0逆时针旋转80°到AOCD的位置，已知NAOB=45°,则ZAOD等于

6.如图，0是边长为1的正AABC的中心，将AABC绕点。逆时针方向旋转180°,得△ABG,

则△ABG与aABC重叠部分（图中阴影部分）的面积为

V3

-V4&I

7.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点0成中心

对称的图形.若点A的坐标是（1,3）,则点M和点N的坐标分别为

A.M(L—3),N(-l,—3)B.N(—l,3)

C.”1,3),N(l,—3)D.M(—1,-3),N(L—3)

8.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若NC=90°,ZB=30°,AC=1,则5B'的长

为

B.3

273n473

333

（第6题）（第7题）（第8题）

9.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将AACB绕点C按顺时针方向旋转到aACB

的位置，其中AC交直线AD于点E,AB'分别交直线AD,AC于点F,G,则旋转后的图中，全等三角形共有

A.2对B.3对C.4对D.5对

①②③④

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

11.点P(2,3)绕着原点逆时针方向旋转90"与点P'重合，则P，的坐标为

12.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若/A0D=110°,则/BOC=

13.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米，又向左转30°,……照这

样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米。

14.将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△48'C',则图中

阴影部分的面积是cm\

三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

15.四边形ABCD是正方形，4ADF旋转一定角度后得到aABE,如图所示，如果AF=4,AB=7,

(1)指出旋转中心和旋转角度；D

1C

(2)求DE的长度；/

(3)BE与DF的位置关系如何？/\

F

AB

4

16.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=」，Z\ABF是4ADE的旋转图形。

4

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AF的长度是多少？

(4)如果连结EF,那么4AEF是怎样的三角形？

四、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

17.如图所示，4ABP是由4ACE绕A点旋转得到的，那么4ABP与4ACE是什么关系？若

NBAP=40。，ZB=30°，ZPAC=20°,求旋转角及/CAE、NE、/BAE的度数。

18.如图，是AAOB绕点0顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上,

NA0D=90°，求NB的度数。

五、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)

19.如图，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B顺时针方向旋转90°。

(1)画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；

(2)能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程(可适当在图形中标记)；如

果不能，说明理由。

20.如图，已知AABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(-1,-1),B(—4,—3),

C(—4,—1),,

(1)作出AABC关于原点0的中心对称图形；

(2)将aABC绕原点0按顺时针方向旋转90°后得到△ABC,画出△ABG,并写出

点At的坐标。

六、(本大题满分8分)

21.已知平面直角坐标系上的三个点0(0,0),A(-1,1),B(-1,0),将aABO绕点0

按顺时针方向旋转135。，点A、B的对应点为A,B“求点A,Bi的坐标。

23.1.1圆的基本概念

一、教学百标：

1、本节课使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念.

2、初步会运用本节的概念判断真假命题.

3、逐步培养学生亲自动手实践，总结出新概念的能力.

二、重点：理解圆的有关概念.

三、睢点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解

四、教具准备：教参、练习册、课外资料

五、教学过程：

一、新课引入：

同学们，上节课我们学习了圆的定义、点和圆的位置关系.教师提问学生回答上节课的知识点，学生之间

互相补充、评价.

接着启发学生在练习本上画一个圆，要求学生在圆上任取两点A、B.请同学们一边画图，一边观察，一边

思考教师提出的问题.这两点A、B之间的部分是什么？连结两点得到线段AB又是什么？AB把圆分成两部分得

到图形又叫做什么？在学生想说又叫不准的情况下，教师出示板书.本节专门研究圆的有关概念.

二、新课讲解：

学生画图后观察出圆的一些概念，由学生回答出概念的名称和内容.如果学生回答的很准确，教师不必重

复.在学生回答中，教师板书出重点概念.

1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.教师提问一名中下生，“一个圆有多少条弦？”找一名中等生

回答“在这些弦中，最长的弦是什么？怎么定义这个最长的弦？”

2.直径：经过圆心的弦是直径.

直径与半径之间关系找一名中下学生回答.

3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧.教师讲清弧的符号“的表示.以A、B为端点

的弧，记作施，读作“圆弧AB”或“孤AB”.

这时教师引导学生观察圆中的圆弧有几种情况？通过学生观察、比较、归纳出三种圆弧，师生一起总结出

这三种弧的定义.半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆弧.

优弧：大于半圆的弧叫优弧.

L-、

优弧CBA,记作“CBA”是优弧.

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

这时幻灯打出一组练习题：

练习1判断下列语句是否正确？为什么？

1.半圆是弧.

2.弧是半圆.

3.两个劣弧之和等于半圆.

4.两个劣弧之和等于圆周长.

这样做的目的使学生对圆弧的定义加以理解.

弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.了解到弓形定义，为了使学生更好地了解圆中•条弦能得

到两个弓形，引导学生观察得到，这样对今后学习弦所对的圆周角的问题起奠基作用.

接下来讲同心圆、等圆、等弧的三个概念时，从字意义让学生探索出概念的内含外延.培养学生通过理解

字意感受到图形与概念的有机结合，是学习好几何的基本保障.

例如同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

等圆的讲解以投影演示，让学生观察、比较得出等圆是互相重合两个圆.山等圆可以证明半径相等，直径

相等.反过来半径相等，直径相等两个圆是等圆.同时告诉学生同圆或等圆的半径相等.

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

等弧是本节的难点，教师从引导学生能“理解互相重合”入手，联系到如果互相重合.说明同圆的半径相

等，进一步证明满足同圆或等圆的前提条件.这样分析的好处是让学生真正认识到等圆、等弧都是从“互相重

合”得到的，进一步理解“等弧”的条件已经具备同圆或等圆，这样又消除对等弧不理解的心理障碍，从而顺

理成章的让学生从认识一到理解f最后到准确应用.

接下来给学生一组练习题巩固已学过的知识.学生回答，学生之间参与评价.

练习2判断题：

1.直径是弦；

2.弦是直径；

3.半圆是弧，但弧不一定是半圆；

4.半径相等的两个半圆是等弧；

5.长度相等的两条弧是等弧；

例2如图在圆0中，AB、CD为直径.求证：AD/7BC.

由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题.

巩固练习：

教材P.66中2、3题（学生自己完成）.

三、课堂小结：

本节小结引导学生自己做出总结：

①弦与直径，

②弧与半圆，

③同心圆、等圆指两个图形，

④等圆，等弧是互相重合得到，等弧的条件作用.

3.新定义符号“的表示方法.

23.1.2圆周角

一、教学百标：

1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理.

2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算.

3、通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题、解决问

题的能力.

4、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力.

二，重点：圆周角的概念和圆周角定理.

三、难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性.

四、教学过程：

一、新课引入：

同学们，上节课我们已经学习了圆心角的定义、圆心角的度数和它所对的弧的度数的相等关系.学生在复

习圆心角的定义基础匕老师通过直观演示将圆心角的顶点发生变化.满足顶点在圆匕而角的两边都与圆相

交，得到与圆有关的又一种角.学生通过观察，对比着圆心角的定义，概括出圆周角的定义.教师板书：“7.5

圆周角().”通过圆心角到圆周角的运动变化，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡.一方面激发

学生学习几何的兴趣，同时让学生感受到图形在学生眼中动起来.

二、新课讲解：

为了进一步使学生真正理解圆周角的概念，教师利用电脑进一步演示得到三种不同状态的圆周角.

图7-28

教师提问，学生回答，教师板书.

你能仿照圆心角的定义给圆周角下一个定义吗？

圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

这时教师向全体学生提出这样两个问题：

①顶点在圆上的角是圆周角？

②圆和角的两边都相交的角是圆周角？

教师不做任何解释，指导学生施图并回答出答案对与否.选择出有代表性的答案用幻灯放出来，师生共同

批改.这样做的好处是学生自己根据题意画出图形，加深了对概念的理解，师生共同批改，使学生抓住概念的

本质特征，这时由学生归纳出圆周角的两个特征.

接下来给学生一组辨析题：

通过这组练习题，学生就能很快的深入理解圆周角的概念，准确的记忆圆周角的定义.

这时教师启发学生观察电脑演示的圆周角的三个图，说明圆心和圆周角的位置关系的三种情况.

在圆周角定理的证明时，不是教师直接告诉学生的定理内容，而是让学生把自己课前准备好的圆拿出来,

在圆上画一个圆周角，然后再画同弧所对的圆心角，由同桌两人用量角器量出这两个角的度数，请三名同学把

量得数据告诉同学们，亲自试验发现它们之间的关系.这时由学生总结出本节课的定理，然后教师把定理内容

写在黑板上.

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

这时教师提问一名中下生：“一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？”

教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况.下

面我们就来证明这个定理的成立.

已知：。0中，曲所对的圆周角是NBAC,圆心角是/BOC.

求UE.ZBAC=|ZBOC.

«■

分析：(1)如果圆心0在/BAC的一边AB上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即

可证明.

如果圆心。不在NBAC的-一边AB匕我们如何证明这个结论成立呢？

教师进一步分析：“能否把(2)、(3)转化为(1)圆心在角的一边上的特殊情况，那么只要作出直径

AD,将NBAC转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决.

这样分析的目的，在几何定理的证明中，分情况逐一证明肯定命题的正确性，这还是第一次接触.因而教

师分析就应从教会学生解决问题的方法上入手，教会学生由圆心0的特殊位置的证明为基础，进而推到一般情

况.同时要向学生渗透证明过程体现了由已知到未知、由特殊到一般的思维规律.

本题的后两种情况，师生共同分析，证明过程由学生回答，教师板书：

证明：分三种情况讨论.

(1)图中，圆心0在NBAC的一边上.

OA=OC=>ZC=ZBAC),I/

__________}=>ZBAC=-ZBOC.

ZBOC=ZC+ZBACJ2

(2)图中，圆心。在NBAC的内部，作直径AD.利用(1)的结果，有

/BAD=，BOD

ZDAC=|ZDOC

n/BAD+NDAC=J(ZBOD+ZDOC)

=>ZBAC=^ZBOC.

(3)图中，圆心。在NBAC的外部，作直径AD,利用(1)的结果，有

1、

ZBDA=-ZDOB

1.

ZDAC=-ZDOC

=>ZDAC-ZBDA=1(ZDOC-ZDOB)

=>ZBAC=^ZBOC.

接下来为了巩固所学的圆周角定理，幻灯片上出示例1.

例1如图7-30,0A,OB,0C都是。0的半径,ZA0B=2ZB0C.求证:ZACB=2ZBAC.

例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练

习本上.

这样处理例1的目的，是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使

学生切实从应用上加深对圆周角的理解.

为了坚持面向全体学生，遵循因材施教的原则，使不同层次的学生学有所得，教师有目的设计两组习题.

第一组练习题是直接巩固定理，难度较小，可提问较差的学生.

团r-oi

求圆中的角X的度数？

第二组练习题是间接巩固定理，需要以圆心角的度数为过渡，可提问中等偏上的学生.

如图7-32,已知AABC内接于00,AB,优:的度数分别为80°和110°,则aABC的三个内角度数分别

是多少度？

数学小结：这节课主要学习了两个知识点：

1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了''特殊

到一般”的思想方法和分类讨论的思想.

23.2.1点与圆的关系

一、教学目标：

1、本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法.

2、了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念.

3、培养学生观察、分析、概括的能力；

二、重点：经过不在一条直线上三点确定圆的定理.

三、难点：理解“不在一条直线上”确定圆的条件.

8,教具准备：教参、练习册、课外资料

五、教学过程：

一、新课引入：

某一个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C,且三个小区不在同一直线上.要想

规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪一个位置？你怎么确定这个位

置呢？教师提出问题，学生思考回答.

接着教师进一步提出这样一个问题，初一我们学习了直线公理，直线公理内容是什么？教师重复学生的回

答：“经过两点确定一条直线.”对于•个圆来说，是否也有由几点确定的问题呢？此时教师出示课题：“7.2

经过三点的圆”，教师这种引导虽然简短，但在学生的心理上起到了一定的定势作用，使学生明确了本节课的

教学目标，学生带着--种好奇心，兴致勃勃去探索研究怎么作圆，从而调动学生学习积极性.

二、新课讲解：

学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论.有两种情况；①在一

条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆.怎样

才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片.

例1作圆，使它经过不在同一直线上三点.

由学生分析首先得出这个命题的题设和结论.

已知：AABC.求作：00,使它经过A、B、C三点.

接着教师进一步引导学生分析要作•个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经

有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作AABC的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交

点0就是圆心.圆心。确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选0A或0B都可以.作图过程教师示

范，学生和老师一起完成.一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确.

定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆.

这样做的目的，不是教师“填鸭式”的往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印

象深刻，效果要比全部山老师讲更好.

接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与AABC的顶点的关系，得出：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的

内接三角形.

强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”.理解这些

术语的意义，指出语言表达的规范化.为了更好的掌握新概念，出示小黑板的练习题.

练习1：按图7-4填空：

(1)AABC是。。的_______三角形；

(2)OOZ\ABC的_______圆.

这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意,

练习2：判断题：

(1)经过三点一定可以作圆；()

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）

（5）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.（）

这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性.

练习3：

经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？

练习4：

选择题：钝角三角形的外心在三角形[]

A.内部B.一边上C.外部D.可能在内部也可能在外部

练习3、4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性

有关.

练习5：教材P.73中4题（略）.

三、课堂小结：知识点方面

耀.

碉值的条件一

1.一直线上三点.

2.（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点;

（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

3.

锐角三角形、/在形内部

直角三角形一）外心的位置J在一边上

钝角三角形/'在形外部

方法方面：

1.用尺规作三角形的外接圆的方法.2.重点词语的区别：“内接”，“外接”.

23.2.2直线与圆的位置关系

一、教学百标：

1、使学生理解直线和圆的位置关系.

2、初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用.

3、通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力；2.在

7.1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系：

（0点P在0Qh=OP=r

Q）jftP在。。内mOP<r

（3）点P在。

二、重点：

使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系.

三、难点：

直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，

又可作为性质，学生不太容易理解.

四'教学过程

一、新课引入：

我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学

思想方法来研究直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1.点和圆有哪儿种位置关系？2.怎样判定点和圆的位

置关系？

我们已经了解了平面上点和圆共有三种位置关系①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内.如果我们设（DO

的半径为r,则有下面点与圆位置的数量关系.

点P在。阴O0P〉r

点哝。。上"OP=r

点P在<30内

二、新课讲解：

实际上，太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系；铁轨上飞奔的列车，它的轮子与铁轨之

间的位置关系；都给了我们直线和圆的位置关系的印象，那么平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一

条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然有着若干种不同的位置关系，如果从数学角度看，它的若干种位置

关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下.

学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种位置关系画出来时，教师可以用计算机或幻灯机给同学们作

演示，演示的过程一定要用两种方法.一是给定直线圆在动；另一方面是给定圆，直线在动，这样学生才能从

运动的观点去研究问题.

最终教师指导学生从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义.

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.直线叫做圆的割线.

2、直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点.

3.直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

在直线和圆的位置关系中，直线和圆相切是非常重要的位置关系，在今后的学习中有重要意义，务使每位

同学都要清楚.除从直线和圆的公共点的个数来判断直线是否与圆相切外，是否还有其它的判定方法呢？可提

示学生，从点和圆的位置关系去考察，特别要从点到圆心的距离与圆半径的关系去考察，若该直线1到圆心0

的距离为d,。。半径为r,指导学生观察已经确定的直线和圆的三种位置关系，很容易得到所需的结果：

Q）宜续1和©MB交。

C2）和。啪切=n

C3）直线1和。朔离«d>r.

但是反过来，若先给定了直线到圆心的距离与圆的半径的数量关系，判断直线和圆的位置关系时;学生可

能有一定的困难.这时可引导学生点到直线的距离，有助于学生对困难的解决.从而完成符号的左边“=”.向

学生介绍符号“=”的意义及读法.

练习一，已知圆的直径为12cm,如果直线和圆心的距离为（1）5.5cm；（2）6cm；（3）8cm；那么直线和

圆有几个公共点？为什么？

此题是直接运用性质进行判断.

答案：（1）两个公共点，（2）一个公共点，（3）没有公共点.

练习二，已知。0的半径为4cm,直线1上的点A满足0A=4cm,能否判断直线1和。0相切？为什么？

此题再一次强调定理中是圆心到直线的距离，这是学生容易出现问题的地方.

答案：不能确定.结合具体图形指导学生发现.当0A不是圆心到直线的距离时，直线1和。。相交；当

0A是圆心到直线的距离时，直线1是。0的切线.

例题(P.104)在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位

置关系？为什么？

(1)r=2cm,(2)r-2.4cm,(3)r=3cm

指导学生在对题目进行分析时指出，题中所给的Rt△在已知条件下各元素」为定值，以直角顶点C为圆心

的圆，随半径的不断变化，将与斜边AB所在的直线产生各种不同的位置关系，帮助学生分析好，d是点C到AB

所在直线的距离，也就是直角三角形斜边上的高CD,在求直角三角形斜边上的高CD时用到三角形血积公式.这

个方法在今后的证明时常常用到.要求学生学会这种思考问题的方法.

例题解法参考教材P.104页.

三、课堂小结：

为了培养学生阅读教材的习惯，请学生看教材P.103-104,从中总结出本课学习的主要内容有：

1.从图形公共点看，直线和圆有两个公共点，直线和圆相交，直线是圆的割线；直线和圆有唯一公共点，

直线和圆相切，直线是圆的切线；直线和圆没有公共点，直线和圆相离.

2.直线和圆的位置关系的数量关系：即直线1和。。相交=dVr；直线1和。。相切=d=r；直线1

和©0相离=d>r.

3.目前判断一条直线是圆的切线的方法有二：其一是直线和圆有唯一公共点，特别要强调“唯一”一词

的意义；其二是圆心到直线的距离等于圆的半径.

23.2.3切线

一、教学目标：

1、使学生理解切线长定义.

2、使学生掌握切线长定理，并能初步运用.

二、重点：切线长定理，它在以后的证明中经常使用.

三、难点：切线长定理的归纳.学生在观察后可以叙述内容，但语言可能是不规范的.

5、教具准备：教参、练习册、课外资料

五、教学过程：

一、新课引入：

我们已经学习了圆的切线的性质，今天我们继续来学习圆的切线的其它性质.

经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？请同学们打开练习本画一画.

学生动手画，教师巡视.当学生把可能的位置情况画完后，教师指导全班同学交流并得到结论：1.经过

圆内已知点不能作圆的切线；2.经过圆上已知点可作圆的唯一一条切线；3.经过圆外一已知点可作圆的两条

切线.

二、新课讲解：

观察从圆外一点所引圆的切线上，有一条线段，线段的端点一边是已知点，一边是切点.务必使学生清楚,

我们是把这样的…条线段的长度定义为切线长.提醒学生注意，直线是没有长度的事实.然后让学生观察从圆

外一点引圆的两条切线会产生什么样的结论？开始不要害怕学生的语言不简炼，教师最终指导学生把握“从