两角和与差的三角函数

2.两角和与差的三角函数知识网络两角和与差的三角函数结构简图画龙点晴公式两角和与差的余弦:cos(a+B)=cosacos0—sinasin0,cos(a—B)=cosacos0+sinasin0.A证明：在直角坐标系x^y内作单位圆O,并作出角a,P与-B，使角a的始A边为Ox,交圆O于点P1,终边交圆O于点P2;角P的始边为OP2,终边交圆O于点P3,角-P的始边为OP1,终边交圆O于点P4,这时点P1,p2,p3,p4的坐标分别是P1(1,0),P2(cosa,sina),P3(cos(a+B),sin(a+B)),P4(cos(-P),sin(-P)).由1Plp3I=IP2P4I及两点间距离公式,得[cos(a+P)-1]2+sin2(a+P)=[cos(-0)-cosa]2+[sin(-0)-sina]2.展开并整理，得2-2cos(a+0)=2-2(cosacosP-sinasinP),所以cos(a+P)=cosacos0-sinasinp.这个公式对于任意的角a,P都成立.在公式中用-P代替P,就得到cos(a-P)二cosacos(-0)-sinasin(-P),即cos(a-0)二cosacosP+sinasin0.[活用实例]

［例1］计算：(1)cos65°cos115°-cos25°sin115°;(2)-cos700［例1］计算：(1)cos65°cos115°-cos25°sin115°;(2)-cos700cos200+sin1100sin200.［题解］(1)原式:cos650cos1150-sin650sin1150=cos(65°+115°)=cos1800=-1;(2)原式:-cos700cos200+sin700sin200=-cos(700+200)=0.3 .12,、［例2］已矢口sina二一，cosp=—求5 13［题解］Vsina=3>0,cosp=—>05 13cos(a-p)的值.・•.a可能在一、二象限，p在一、四象限若a、p均在第一象限，则4cosa=一55 41235 63sinp=—cos(a-p)=—•—+—•—=—;13 51351365若a在第一象限p在四象限若a在第二象限p在一象限若a在第二象限p在四象限4贝日cosa=一，54贝日cosa=——54贝日cosa=—55 4123 5sinp= cos(a-p)=•—十—•(—一)=13 5135 13c5 c4123Isinp=— cos(a-p)=(-)• + 13 51351333一；6533--；65sinp=-acos(a-p)=(-4)^12+3^2 63.13 5135 13 6535［例引已知锐角a,p满足cosa=- cos(a+p)=-—求cosp.TOC\o"1-5"\h\z5 13［题解］,.,cosa=2 /.sina=— 又,.,cos(a+p)=-— <0 ；•a+p为钝角 ；.sin(a+p)=12 ,5 5 13 135312433..cosp=cos［(a+p)-a］=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina=-一•一十一•一=一.13513565两角和与差的正弦：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp , sin(a-p)二sinacosp-cosasinp.证明：在两角和的余弦公式中，利用诱导公式，可得到sin(a+p)=cos［--(a+p)］=cos［(--a)-p］=cos(--a)cosp+sin(--a)sinp二sinacosp+cosasinp,2 2 2 2IPsin(a+p)=sinacosp+cosasinp.用-p代替上面公式中的p，可得到sin(a-p)二sinacos(-p)+cosasin(-p),即sin(a-p)二sinacosp-cosasinp.［活用实例］［例4］已知sina+cos0=|①，cosa+sinp=5②，求sin(a+p).［题解】①2:sin2a+2sinacosp+cos2p=^9-③16小②2：cos2a+2cosasinp+sin2p=-- ④③+④：2+2(sinacosp+cosasinp)=1 即：sin(a+p)=-1.2［例5］已知sin(a+p)=—,sin(a-p)=-求tana的值.3 5tanp［题解］［题解］•「sin(a+p)=23；.sinacosp+cosasinp=2 ①2sin(a-p)=52..sinacosp-cosasinp=5①+②:2sin(a-p)=52..sinacosp-cosasinp=5①+②:sinacosp=—15①—②:2cosasinp=—15tana_sinacosp

tanpcosasinp815工=415［例6］已知三＜p3—<a<—,412 3cos(a-p)=13,sin(a+p)=-5求sin2a的值.12［题解］TcosQ-p)=12>0— 3——<p<a<—

2 4；•sin(a-p)=—

13又：sin(a+p)=-5，sin2a=sin［(x+p)+(a-p)］=sin(x+p)cos(x-p)+c0s(a+p)sin(x-p)=-3x12-4x工=-56.513513—65两角和与差的正切:tana+tanp tana-tanptan(a+p)= !—, tan(a-0)= !—.1-tanatanp 1+tanatanp变形：tana+tanp=tan(a+B)(1-tanatanp).证明：。cos(a+p)=cosacosp-sinasinp,sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,tana+tanp当c0s(a+p)20时,将两式的两边分别相除，即atanp,tana-tanp用邛代替上面公式中的p,得到"丐+’a"atanp.［例7］已知tana［例7］已知tana」,tanp=-2求cot(a—B),并求a+p的值，其中0o<a<90o,90。<0<180。.［题解］cot(a-p)=1+tan［题解］cot(a-p)=1+tanatanptan(a-p)tana-tanptana+tan%.tan(a+p)= —1-tanatanp1-231-3x(-2)1，且：0o<a<90o,90o<p<180o.•・90o<a+p<270o .,a+p=1350.［例8］求下列各式的值：(1)1+tan75。1-tan75。(2)tan17o+tan28o+tan170tan28。.［题解［题解］(1)原式二tan45°+tan75°1-tan450tan750=tan(45。+75。)=tan120。=-、：3.tan170+tan280(2).tan(17。+28°)=1-tan170tan280.•.tan17o+tan28o=tan(17o+28o)(1-tan17otan28o)=1-tan170tan280,

・•.原式二1一tan170tan280+tan170tan28o=1.［例9］^(1+tan1o)(1+tan2o)(1+tan3o) (1+tan44。).［题解］(1+tan1o)(1+tan44o)=1+tan10+tan440+tan10tan44。=1+tan450(1—tan10tan440)+tan10tan440=2同理：(1+tan20)(1+tan430)=2, (1+tan3o)(1+tan42o)=2,・•・原式二222.二倍角的正弦、余弦、正切、余切:sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-sin2a=2sinacosa0 2tana _cot2a-1tan2a= ,cot2a= .1-tan2a 2cota1一cos2asin1一cos2asin2a= 2降幂升角公式：cos2a=——-——a a升幂缩角公式：1+cosa=2cos2—,1-cosa=2sin2—.三倍角的正弦、余弦、正切：sin3a=sin3a=3sina-4sin3a, cos3a=4cos3a-3cosa, tan3a=3tana一tan3a1一tan2a［活用实例］［例10］….5k, 5k-.5兀 5兀、(sin+cos)(sin-cos)；12 12 12 12aacos4-［例10］….5k, 5k-.5兀 5兀、(sin+cos)(sin-cos)；12 12 12 12aacos4-—sin4—•2 2；［题解］z.5—. 5— 5— 5— 5―c(sin-+cos-)(sin——cos—)=sin2—12 12 12 12 12［例11］(4)1+2cos29一cos20—cos2—=-cos-=—；12a a/ -a ..-a a .-a、 .c0s4上一sin4a=(cos2——+sin2—)(cos2 sin2—)=cosa,2 2 — 2 2 2 211求证:2tana1-tana1+tana 1一tan2a=tan2a,1+2cos20-cos20=1+2cos20-2cos20+1=2.. /兀、./兀、sin2a+cosacos(-+a)一sin2(-a)的值是与a无关的定值。3 6TOC\o"1-5"\h\z1 1 — —［题解］原式=-(1一cos2a)一［1一cos(——2a)］+cosacos(—+a)2 2 3 312——12-2a)-cos2a］+cosa(cos—cosa-sin-3-sina)=—(cos—cos2a+sin—sin2a-cos2a)+—cos2a- -cosasina)2 3 3 2 2=1cos2a+—sin2a-1cos2a+1(1+cos2a)—亘sin2a)=-

4 2 2 4 4 4/.sin2a+cosacos(-3+a)―sin2(6-a)的值与a无关.［例12］化简:［题解］原式=。,0o.0 0 。-0 。-0 02cos2 2sin—cos—2sim2sin—cos—2 2 2 +2 2 2…0 c・ 0 0 ce .. 0 02sin2 2sin—cos—2cos2 2sin—cos一2222［例12］化简:［题解］原式=。,0o.0 0 。-0 。-0 02cos2 2sin—cos—2sim2sin—cos—2 2 2 +2 2 2…0 c・ 0 0 ce .. 0 02sin2 2sin—cos—2cos2 2sin—cos一22220 0, 0.0 0,.0 0、2cos—(cos sin—)2sin—(sin cos—)2 2 2 + 2 2 2o• 0,•0 0、o 0,0 . 0、2sin—(sin cos—) 2cos—(cos sin—)22 2 22 2二-(cot|+tan2)二-(1+cos01-cos0 + sin0sin0)—————2csc0sin0半角的正弦、余弦、正切:sina力

21-cosaa-，c0sz二土，1+cosa,1-cosa\T+cosaa另有：tan—=万能公式：1-cosasinasina 1+cosaca a2tan— 1-tan2—sina— 2—,cosa— 2, tana—aa1+tan2— 1+tan2一2 2a2tan2-a1-tan2一2a不论a角的哪一种三角函数，都可用这几个公式把它化为tan-的有理式，这样就可把问题转化为以tana为变量的一元有理函数，从而有助于问题的解决，因此把这组公式叫做万能公式.［活用实例］3 7兀…0［例13］已知sin0=--,3k<0<--,求tan-.［题解1］因为sin0=3 7兀--,3k<0< ,所以cos0=5 2「：1-sin20二245,sin0「.tan—= -21+cos0 5———3

41+(--)J［题解2］cos0=-：1-.一0 4一3K 0 7Ksin2————,且—<—<—,

2 5 2 2 411-cos0”（-4）一、 ——, :-+cos0 ［J+(-4)=-3.1+cos0-sin0+1-cos0-sin01-cos0-sin01+cos0-sin032tan2 0 0[题解引由万能公式，有—5= 0=3tan22+10tan-+332tan2 0 0[题解引由万能公式，有—5= 0=3tan22+10tan-+3=0+tan2一-0 1 ，0 。ntan—=一一,或tan—=-3.2 3 23兀 0 7兀 0 0但由已知-^-<]<二—，得tan5<-1,所以tan-二一3.b—[例14]已知tan0=—,求证:acos20+bsin20=a.a1-tan20 1 2tan0[题解1]由万能公式，有acos20+bsin20=a, +b-- -1+tan20 1+tan201-二a 1+a2ob2x—+b —b21+——a2a(a2-b2)+2a2b2 a2+b2 =a a.[题解2]因为tan0=b,由半角的正切公式，得a1cos20 b 二一nbsin20=a(1-cos20)nacos20+bsin20=a.sin20 a三角函数的积化和差公式:sinacosP=cosasinP=—[sin(a+P)+sin(a-P)]2—[sin(a+P)-sin(a-P)]2cosacosP=2[c0s(a+P)+cos(a-P)]sinasinP=-—[cos(a+P)-cos(a-P)].2三角函数的和差化积公式:sin0+sin①=2sin0十①0一①

cos sin0-sin①=2cos0+0.0-9 sin cos0+cos①=2cos0十① 0一① cos cos0-cos①=-2sin0+0.0-9

sin ［活用实例］sin70+cos15。-sin80[例15]求cos70-sin150-sin80的值.

［题解1］sin7o+cos15o♦sin8osin(15—8)o+cos15o-sin8osin15o-cos8ocos7o—sin15。［题解1］sin7o+cos15o♦sin8osin(15—8)o+cos15o-sin8osin15o-cos8ocos7o—sin15。•sin8。cos(15—8)o—sin15o•sin8ocos15o•cos8o=tan150=2—v3.力sin7o+cos15o•sin8o sin7°+|(sin230—sin7o) sin23o+sin7o[题解2]cos7o—sin15。Tin8。=cos7o+2(cos23o—cos7o)=cos23°―cos7°2sin150cos8o “ 1—cos3oo= =tan15o= 2cos150cos8o sin3Oo［例16］已知△ABC的三个角A,B,C满足A+C=2BcosAcosA八-五［题