三角函数最值问题的十种常见解法-18

三角函数最值问题的十种常见解法三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；常用公式1.两角和与差的三角函数sin(a±0)=sinacosp±cosasin0 cos(a±0)=cosacosp^sinasin0tana士tan0tan(a±0)=mtanatan0.辅助角公式asinx+bcosx=aa2+b2sin(x+①),sin。=.-,cos。=.aa2+b2 <a2+b2.二倍角公式sin2a=2sinacosa.,cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—sin2a=2sinacosa.,;tan2atan2a=2tana1—tan2a.半角公式,a'1—cosaa ,'1+cosa a ,'1—cosasin—二士」 ；cos—=±t ；tan一=±, 2 \ 2 ； 2 \ 2 ； 2 \1+cosaa sina 1—cosaTOC\o"1-5"\h\z(tan—= = )21+cosasina.万能公式ca r a ca2tan— 1—tan2— 2tan一sina= -,cosa= 2,tana= -aaa1+tan2_ 1+tan2一 1—tan2一2 2 2题型一：y=asinx+b或y=acosx+b型函数策略：转化为一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征一一有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用卜示x|«1或|cosx|<1便可求解，ymax=|a|+b,ymin=一|a|+b。评析:①必须注意字母a的符号对最值的影响;②必须注意自变量x对最值的影响。例1：求函数y=2cosx—1的值域巩固：求y=sin(x—：)cosx，xe(:,?)的值域6 43题型二：y=asinx+bcosx型，引入辅助角中，化为尸a2+b2sin（x+中），利用函数MnG+①/<1即可求解。y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。策略：转化y=Asin（3x+①）+b（辅助角公式）观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2：求函数f(*)=2cos*+sin*的最大值为.巩固：求函数f巩固：求函数f(*)=cos4*-2sin*cos*-sin4*在吟上的最大值和最小值.点评：这类题目解决的思路是把问题划归为f(*)=Asin(3%+6+B的形式，一般而言，f(*)mz*=|A|+B，f(*)min=—|A|+B.但若附加了*的取值范围，最好的方法是通过图像加以解决题型三：转化二次函数(配方法)尸asin2*+bsin*+c(或尸acos2*+bcos*+c),型，可令t=sin*(t=cos*),-1WtW1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3：求函数y二—sin2*—3cos*+3的最小值.巩固：已知向量m=(sinA,cosA),n=(<3,-1),m,n=1,且A为锐角.(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(xeR)的值域.题型四.：引入参数转化(换元法)对于一些比较复杂的复合三角函数，直接运用三角公式转化比较困难。针对题型结构特点，可以通过变量替换，将原来的三角问题转化为代数问题。这样就将比较复杂的函数转化为更容易求最值的代数函数求解。对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，利用(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx建立sinx±cosx与sinxcosx之间的关系，通过换元将原函数转化。但是，在换元过程中一定要注意新变量的取值范围与原函数定义域的关系。例4：求函数y=sinx+cosx+sinx.cosx的最大值.巩固1：已知sinx+siny=--，求cosx+cosy的值域。巩固2：已知圆C：(x+2)2+#=1,P(x,J)为圆C上任意一点.y—2 c⑴求百的最值.⑵求x-2y的最值•题型五,：利用基本不等式法对于一些满足均值不等式特征结构的三角函数，可以运用均值不等式来解决此种类型的三角函数最值问题。均值不等式的一般形式:n•naaAa>七12n

a+a+A+aan•naaAa>七12n

a+a+A+a 2 n->-u 2 n>n；aaAa'n n n12n（其中ai,a2,A,a为正数，n=1,2,3A）在运用均值不等式时，必须注意函数式中各项的正负需要各项满足正值时方可使用，在解题时应加以论述说明；然后应该注意不等式中等号成立的条件、需要合理的拆添项，凑常数，以及不等式中和的最值与积的最值，例5：已知xe(0,兀)，求函数j=sinx+—1—的最小值.2sinxx巩固：若xe(0,兀)，求j=(1+cosx)sin-的最大值。题型六：利用函数在区间内的单调性例6.：已知工£(0,九)，求函数y=sinx+」一的最小值.sinx(1+sinx)(3+sinx)巩固：求y=-——二 的最值及对应的x的集合。2+sinxasinx+bacosx+b |smx<1(或cosx<1)题型七：①y= (或y= —)型，解出sinx(或cosx)，利用Icsinx+d cosx+d去解；或用分离常数的方法去解决。asinx+b acosx+b ., 、 ，、②y= (或y=- 3)型，可化归为sm(x+①)=g(y)去处理；或用万能公式换元后ccosx+d csinx+d用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。转化部分分式一，、一 2cosx+1，……例7：求函数y=- 的值域2cosx一1sinx—1巩固1：求函数y= 的最大值和最小值.cosx—23—2sinx巩固2：求函数J=-——-的最大值和最小值.sinx—2题型八：数形结合由于sin2x+C0S2x=1,所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.例8：求函数y=-sinx6<x〈九)的最小值.2—cosx题型九：判别式法tan2x—tanx+1例9：求函数y= 的最值.tan2x+tanx+1解析：同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法巩固：若0<解析：同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法巩固：若0<x<g，求函数y=sinx人 cosxJ的最小值。x解析：令t=tan-乙

题型十：分类讨论法例10：含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论例10：，用a，用a表示f(x)的最大值M(a).TOC\o"1-5"\h\z4 2；巩固：函数/(x)=2—4“sinx—cos2x的最值。. 71巩固练习：(1).函数y=sinx+J3cosx在区间。不］上的最小值为.71 71 71(2)函数)=tan(--