最小二乘法与组合测量

最小二乘法与组合测量1第1页，共25页，2023年，2月20日，星期五教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用。2第2页，共25页，2023年，2月20日，星期五教学重点和难点最小二乘法原理线性参数的最小二乘法非线性参数的最小二乘法组合测量3第3页，共25页，2023年，2月20日，星期五第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为测得值落入的概率4第4页，共25页，2023年，2月20日，星期五测得值同时出现的概率为最可信赖值满足

权因子最小二乘法原理

虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。5第5页，共25页，2023年，2月20日，星期五第二节

线性参数的最小二乘法6第6页，共25页，2023年，2月20日，星期五组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。7第7页，共25页，2023年，2月20日，星期五一、正规方程组8第8页，共25页，2023年，2月20日，星期五线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组

含有随机误差矩阵形式9第9页，共25页，2023年，2月20日，星期五最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权正规方程组10第10页，共25页，2023年，2月20日，星期五三、标准差的估计

1、直接测量结果的标准差估计

（加权）未知量个数方程个数残差2、待求量的标准差估计

直接测量量的标准差对角元素误差传播系数

3、待求量与的相关系数

元素11第11页，共25页，2023年，2月20日，星期五【例8-１】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。【解】列出测量残差方程组

矩阵形式12第12页，共25页，2023年，2月20日，星期五正规方程组13第13页，共25页，2023年，2月20日，星期五正规方程组解即14第14页，共25页，2023年，2月20日，星期五标准差的计算代入残差方程组，计算

15第15页，共25页，2023年，2月20日，星期五第三节非线性参数的最小二乘法测量残差方程组

非线性函数取的初始似值泰勒展开按线性参数最小二乘法解得

迭代直至满足精度为止16第16页，共25页，2023年，2月20日，星期五【例8-2】在例8-1的基础上，再增加一次测量串联电容，测得。试用最小二乘法求及其标准偏差。【解】列出非线性测量方程组

17第17页，共25页，2023年，2月20日，星期五

对前４个线性测量方程组，按例8-1求出解，作为初次近似解

在附近，取泰勒展开的一阶近似

18第18页，共25页，2023年，2月20日，星期五写出线性化残差方程组

整理得正规方程组

解出

迭代19第19页，共25页，2023年，2月20日，星期五6次迭代结果

表8-2迭代次数00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.26720第20页，共25页，2023年，2月20日，星期五第四节

组合测量问题应用举例21第21页，共25页，2023年，2月20日，星期五【例8-3】

要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。22第22页，共25页，2023年，2月20日，星期五计算步骤【解】列出测量残差方程组

23第23页