数学史第讲微积分发展史

数学史第讲微积分发展史第1页，共46页，2023年，2月20日，星期五微积分学是微分学(DifferentialCalculs)和积分学(IntegralCalculs)统称,英文简称Calculs,意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。微积分中的基本概念主要是函数、极限、连续、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。

微分学的主要内容包括：导数、微分。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分。第2页，共46页，2023年，2月20日，星期五一．

微积分思想萌芽

微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。第3页，共46页，2023年，2月20日，星期五

把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积

，接着是正十二边形面积

，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率

的近似值3.14。第4页，共46页，2023年，2月20日，星期五

南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖

恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率

介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异。”我们称之为“祖氏原理”，即西方所谓的“卡瓦列利原理”。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。

第5页，共46页，2023年，2月20日，星期五欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。但他的方法并没有被数学家们所接受。后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法。他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。

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与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯(Apollonius,

c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率。第7页，共46页，2023年，2月20日，星期五二、微积分的酝酿

近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪。为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。第8页，共46页，2023年，2月20日，星期五1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是：

1。行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；

2。由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；

3。行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律，从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。第9页，共46页，2023年，2月20日，星期五1638年，伽利略的《关于两门新科学的对话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。第10页，共46页，2023年，2月20日，星期五微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。第11页，共46页，2023年，2月20日，星期五

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展。代表性的工作有：

1、开普勒与旋转体体积；开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是天数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。第12页，共46页，2023年，2月20日，星期五2、卡瓦列里不可分量原理他在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子：第13页，共46页，2023年，2月20日，星期五3、笛卡儿的“圆法”笛卡儿的这种代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“朗德法则”。朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。第14页，共46页，2023年，2月20日，星期五4、费马求极大值和极小值方法按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使f(a+e)与f(a)逼近,即：

f(a+e)～f(a)

这里所提到的“e”就是后来微积分学当中的“”

第15页，共46页，2023年，2月20日，星期五5、巴罗的“微分三角形”巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当巴罗发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去了卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤，已成为科学史上的佳话。第16页，共46页，2023年，2月20日，星期五6、沃利斯的“无穷算术”沃利斯另“一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得到的无穷乘积表达式。并有以下猜想：第17页，共46页，2023年，2月20日，星期五1.牛顿的“流数术”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利赂、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。三、微积分的创立第18页，共46页，2023年，2月20日，星期五1、流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了”反流数术”(积分法)。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称，《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。第19页，共46页，2023年，2月20日，星期五2、流数术的发展

《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的员献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，它们分别是：

(1)1669年的《运用无限多项方程的分析》；

(2)1671年的《流数法与无穷级数》；

(3)1691年的《曲线求积术》。第20页，共46页，2023年，2月20日，星期五

牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。

《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。第21页，共46页，2023年，2月20日，星期五《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力。

《原理》中的微积分命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释的那样：发现原理中的绝大多救命题是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合地证明”。事实上，1664年参加巴罗主考的三一学院津贴生考试时，因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过。第22页，共46页，2023年，2月20日，星期五2.莱布尼茨的微积分

在微积分的创立上，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。莱布尼茨(1646——1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思。1667年获阿尔持多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使。莱布尼茨在巴黎居留了四年[1672—1676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础。第23页，共46页，2023年，2月20日，星期五

莱布尼茨在巴黎与荷兰效学家、物理学家惠更斯的结识、交往，激发了他对数学的兴趣．他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题．与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三角形，也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现．帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形．莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．第24页，共46页，2023年，2月20日，星期五1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx，dy。莱布尼茨假设横坐标x的微分dx是任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。

《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：第25页，共46页，2023年，2月20日，星期五

1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学沦文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。莱布尼茨分析道：‘‘研究不定求积或其不可能性的方法，对我来说不过是我称之为反切线方法的更广泛的问题的特殊情形(并且事实上是比较容易的情形)，而这种反切线方法包括了整个超越几何的绝大部分．”第26页，共46页，2023年，2月20日，星期五3.优先权之争

微积分的创立是数学发展史上的重大事件，在18世纪的欧洲，曾有一场关于建立微积分优先权问题的争论。“优先权”之争是由局外人搬弄是非引发的。1699年一位瑞士数学家N.F.德丢勒在一本小册子中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，莱布尼兹则是“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”，尤其后面这句话，使得德国人十分不满.1712年，英国皇家学会还专门成立一个“调查委员会”，并于第二年公布了一份《通报》，宣布“确认牛顿为第一发明人。”这种事态引起了莱布尼兹的申诉，双方争论越演越烈，指责对方的话说得十分难听。这实在是“科学史上最不幸的一页”，使得18世纪英国数学家与欧洲大陆数学家分道扬镳，英国数学坚持牛顿原始创新的那种传统不肯改进，远离了数学分析逐渐完善的主流，分析数学的主流与中心移到了德国与法国，不必要的“优先权”之争使英国数学受到了损失。第27页，共46页，2023年，2月20日，星期五

就微积分而言，牛顿在1687年以前并未公开发表任何有关微积分的文章，而莱布尼兹则于1684年和1686年分别先于牛顿发表了关于微分与积分的两篇重要文章，可见文章的发表莱布尼兹先于牛顿，但牛顿对微积分的发现确实领先于莱布尼兹，而且莱布尼兹对牛顿有很高的评价。1701年在柏林王宫的宴会上，当普鲁士王问莱布尼兹如何评价牛顿时，莱布尼兹答：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。”牛顿对莱布尼兹也有公正的评价，牛顿在《原理》的前言中称：“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼兹的信中曾指出：我发现了一种新方法，可以用来求极大值、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。可见牛顿也承认莱布尼兹与他同时发现了微积分。第28页，共46页，2023年，2月20日，星期五两人工作的不同点：（1）在建立微分学的出发点上，牛顿主要从力学出发，以速度为模型，而莱布尼兹则主要从几何出发，从作曲线在一点的切线开始建立了微分学。（2）在积分学问题上，牛顿偏重于求微分的反运算，即今天的不定积分概念；而莱布尼兹则侧重于把积分了解为求微分的“和”，实际上他把这种算法叫“求和计算”，也就是今天的定积分概念。（3）对无穷小的理解也不尽相同。牛顿的无穷小不分阶数，而莱布尼兹试图定义高阶微分，并对其间的关系作过生动的比喻（如恒星、地球、砂粒等）。由此可见，莱布尼兹的微分有许多层次，在这一点上比牛顿深刻。（4）二人采用的符号不同。比如牛顿用“点”，而莱布尼兹用“d”等，并由于他精心设计，反复改进，系统地提出了至今仍沿用的符号，这对微积分的发展起到了积极作用。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期五（5）他们二人的学风也不尽相同。作为科学家的牛顿学风严谨，小心谨慎，重视实际。作为哲学家的莱布尼兹则比较大胆，富于想象，勇于推广，因为他不赞成因过分的细密而阻碍了最好的创造。牛顿的支持者有著名数学家泰勒和马克劳林，莱布尼兹的维护者则是著名数学家贝努利兄弟，这场争论把欧洲科学家分成势不两立的两派－英国派和大陆派，并因此使双方停止了学术交流。由于牛顿的代表著作《自然哲学的数学原理》中主要使用的几何方法，所以在牛顿去逝后的100多年中，英国人继续以几何为主要工具，沿用牛顿的落后记号，以致使英国数学开始落后于大陆。第30页，共46页，2023年，2月20日，星期五四、微积分的发展与完善1．函数概念的发展解析几何出现以后，有了变量，这为函数概念的产生与发展提供了条件，而自然科学的发展需要人们研究函数。微积分产生之后，函数的研究就成为必然，初等函数已经被充分认识。牛顿用“流量”一词表示变量之间的关系，莱布尼兹用“函数”一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。1734年，欧拉使用记号表示函数。这个时期的函数概念，是由解析表达式（有限或无限的）所给出，是运算的组合，函数要与曲线联系起来。第31页，共46页，2023年，2月20日，星期五

1807年，傅里叶由于研究热的传导问题，发现了不能用单个（有限的）解析式表达的函数，如，

他的这一发现是函数概念发展的一个转折点。虽然欧拉等人也有类似傅里叶的思想，但只是在傅里叶对热传导深入研究引起人们注意时，他关于函数的这个发现才对人们有所震动。第32页，共46页，2023年，2月20日，星期五

1821年，柯西在他关于分析学的著作中给出函数一个新的定义：若干个有联系的变量之间，当给定了其中一个变量的值，就可以决定所有其它变量的值。该定义基本上摆脱了“解析表达式”的要求，侧重于关于变量间关系的认识，但仍未揭示出变量之间的对应关系这一函数概念的本质。更进一步的定义是德国数学家狄利克雷在1837年给出的：如果对于给定区间的每一个的值，有唯一的一个的值与之对应，那么就是的一个函数。他还举出一个著名函数的例子，以说明函数概念的一般性，这就是“狄利克雷函数”：当是有理数时，取值1；当是无理数时，取值0。这个函数是不可能写出任何解析表达式来的。第33页，共46页，2023年，2月20日，星期五2．函数的极限极限的思想自古以来就有，但直到柯西时，才使它有了一个明确的定义。他在1821年的《代数分析教程》中这样说的：当一个变量逐次所取得的值无限趋向一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多么小就有多小，则该定值就叫做这些值的极限。柯西的定义与前人不同的是，他摆脱了几何图形及几何量的任何牵连，只用了“变量”的“数”或函数，没有几何或力学的直观。在此基础上，柯西很自然的定义了“无穷小量”及“无穷大量”，他把无穷小量看成是以0为极限的变量，这就澄清了对无穷小量“似零非零”的模糊认识，把它从物理的、几何的原形中抽象成为一个纯数学概念。第34页，共46页，2023年，2月20日，星期五由柯西建立起来的这个分析体系，极限是最基本的概念，使用它给出了微分、积分、收敛、连续等几乎所有的概念。但是，柯西的定义中这样一些描述性的词语，如：“无限接近”、“要多小就多小”等，其数学意义是不确切的，还留有物理过程的直观痕迹，没有达到算术化程度，因此这样的极限论还是初步的、不精确的。1850年左右，魏尔斯特拉斯为排除极限概念中的几何直观性，提出了关于极限的纯算术定义，用他发明的所谓语言来表达极限概念，也就是我们现今使用的定义，它与柯西的定义不同的是：第35页，共46页，2023年，2月20日，星期五①其中没有任何或明或暗地含有几何、运动的含义，完全算术化了。②没有“变量”、“变化”、“趋向”等动态的词，是一个静态的定义，它说明极限的本质是“静态”的。③柯西定义中“要多小有多少”这种词是一种定性的描述，现在量化了。④没有涉及“无穷小量”，从而可以彻底地在微积分中排除“无穷小”概念。第36页，共46页，2023年，2月20日，星期五3．关于导数

1817年和1823年，波尔察诺与柯西分别定义了导数，都是按照函数增量与自变量增量之比的极限来定义的。与导数有关的严密化问题，有下面几点：①柯西给出导数定义后，又把定义为任一有限量，而把定义为，从而导数概念与莱布尼兹的微分统一起来，并可以通过导数定义微分。②1797年，拉格朗日给出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西给出了中值定理的证明，并且用它阐明了与之间的关系。第37页，共46页，2023年，2月20日，星期五③可微性与连续性的关系花了几十年时间才被人们弄清楚。柯西认为，连续函数一定是可微的。虽然波尔察诺在1834年就已经知道连续性与可微性有区别，并且构造出连续但在任何点都没有导数的函数来，但是他没有发表。1854年，黎曼给出处处连续但在很多点没有导数的例子，这也没有引起人们的注意。连续性与可微性之间惊人的区别，是由瑞士人塞莱里埃指出的，1860年他给出处处连续但处处不可微的函数（a是正整数），此后魏尔斯特拉斯也给出这样的例子，连续性不蕴含可微性的发现有重大意义，它使人们更加不敢依赖直观和几何的思考方式了。第38页，共46页，2023年，2月20日，星期五4．积分学的严密化过程牛顿的积分本质上是微分法的逆运算，也可以说是“不定积分”；莱布尼兹把面积看成矩形微元的和，实际上是定积分。他们的这种模糊不清的概念和关系延续了100多年之后才被柯西等人弄清楚了。

1823年，柯西对定积分做了开创性的工作，即他对连续函数下了定积分的定义，并对积分的理论进行了下列建设性的工作。①他证明连续函数的积分必存在，并强调在使用积分前先解决这个问题，这说明他对存在性是很重视的。由于没有一致连续性的概念，他的证明是有缺陷的。第39页，共46页，2023年，2月20日，星期五②证明了微积分基本定理。③证明了全体原函数彼此之间仅相关一个常数，且定义了不定积分为变上限的定积分，由此开始，人们把不定积分与原函数区分开了。④定义了无穷区间上的积分及无界函数的积分。⑤用极限定义了区域的面积、曲线的长、立体的体积等概念。

1854年，黎曼从考虑傅里叶级数和积分公式出发，认为被积函数的条件应该放宽，因此他把积分定义推广到有界函数上，不再要求连续性，即所谓黎曼积分.1875年，达布引入了“达布和”，给出了可积性充要条件。至此，黎曼积分的理论基本上得到了完善。第40页，共46页，2023年，2月20日，星期五5．无穷级数微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的的流数论中自由运用无穷级数，他凭借二项式定理得到了和等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展开成无穷级数的一般方法。在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。数学家在早期运用无穷级数时，没有对收敛和发散问题引起足够重视。到了18世纪末，由于应用无穷级数得到了一些可疑的有时甚至是完全荒谬的结果。第41页，共46页，2023年，2月20日，星期五如无穷级数到底等于什么？当时人们认为一方面另一方面，那么岂非？这种矛盾曾使傅里叶这样的大数学家也困惑不解，甚至于让欧拉也在此犯下了可笑的错误。他在得到后，再令