高数第一章11函数

高等数学数学是科学的大门和钥匙—培根主讲高丽

gaoshugaoli(AdvancedMathematics)高等数学这门课程担负的三项任务

一、为后续课程的学习作好知识上的准备；二、通过这门课程的教与学，要帮助我们地完成中学生到大学生的转变过程，这里主要指学习方法和认知水平的转变；三、通过学习高等数学，我们要学会科学的思维、准确简洁的表达、在复杂事物面前迅速作出正确反应的本领，发展我们的智力，提高我们自我获取知识的能力。使我们变得聪明起来。为全面提高我们的素质打下坚实的基础。

因此，我们在学习过程中，除了要学会所学的知识外，更重要的是训练我们的学习能力和分析问题、解决问题的思想方法。

要求1．

课前要有预习；2．

课上专心听讲，做好课堂笔记；3．

课后整理笔记，做好知识归类；4.按时完成作业，随时更正错误。

规定

1.按进度完成作业；2.每周交一次作业，由课代表收齐后理好序交到习题课老师手上；3.作业情况计入平时成绩安排

1.本学期64学时，讲完上册1-5（定积分应用除外）章；2.根据教学的需要和时间，不定期地组织测验；3.考试范围：所有所学内容。

第一节函数一、逻辑符号二、变量与函数三、初等函数四、函数性质第一章函数与极限“”表示“对每一个”,或“任取”,或“任意给定”;“”表示“存在”,或“至少存在一个”,或“能够找到”.Exist(存在)的字头E的倒写如实数的阿基米德(Archimedes)公理:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号可以改写为:Any或Anyone(每一个)的字头A的倒写一、逻辑符号

初等数学,就其总体来说是进入变量的数学——

微积分.映射与函数“常量的数学”,从现在开始,１、常量与变量常量:在所研究的过程中只取一个定值变量:在所研究的过程中可以取不同的值常量与变量是相对的.二、变量与函数区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,２、实数集与绝对值有限区间无限区间称为半开半闭区间.全体实数的集合R

也可记作是无限区间.区间长度:两端点间的距离(线段的长度)今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I表示.无限区间的场合,注端点、简单地三角不等式:绝对值:绝对值不等式:三角不等式:

数集即

邻域,

记作几何表示邻域

有时简记为去心(空心)

即３、函数定义设数集自变量因变量定义域(domain)定义中,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作函数值全体组成的集合称为range记作即函数f的值域,记为(2)

对应的函数值y总是唯一的,否则称为如是多值函数,它的两个单值支是:单值函数,多值函数.约定:今后无特别说明时,函数是指单值函数.这种函数称为含义的区别:自变量x和因变量y之间的对应法则;与自变量x对应的函数值;为由它所确定的函数f.(1)

注即简称函数表示法的表达式求解这是由的(3)而与用什么字母无关,的有效方法，这是以后换元法无关特性,

自变量的无关性的依据

函数的表示法只与定义域和对应法则有关,(4)定义域一般有两种:实际定义域自然定义域今后常引用的几个特别的函数映射与函数绝对值函数例

定义域值域符号函数

定义域值域例映射与函数有或

取整函数如例映射与函数当阶梯曲线

定义域值域表示不超过x的最大整数例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859有理数点无理数点•1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.４.函数的四则运算类似地,可以定义两个函数的差、积、商，多个函数的和、差、积、商.也可以推广到５.复合函数６.反函数映射与函数设函数f:单射则它存在逆映射称此映射为函数f的反函数.习惯上,的反函数记成定义(inversefunction)如单射反函数直接函数通常将写作一般地,映射与函数

直接函数与反函数的图形直线对称.关于(减),而且反函数也是单调递增(减).在什么条件下,?一个函数存在反函数反函数存在定理若直接函数在D上单调递增单射于是函数f:则它必存在反函数定义域一般有两种:(1)实际定义域自变量所能取的使算式有意义的定义区间.由问题的实际意义所确定.(2)自然定义域函数的定义域常用区间来表示,又可称为:一切实数组成的集合.分母不为0；负数不能开偶次方；0和1负数不能取对数；正、余弦值的绝对值不超过1；２)

幂函数(powerfunction)(basicelementaryfunction)(1)基本初等函数1)常数函数二初等函数3)指数函数(exponentialfunction)定义域为值域为映射与函数4)对数函数(logarithmfunction)定义域为值域为映射与函数5)三角函数(trigonometricfunction)正弦函数定义域为值域为映射与函数余弦函数定义域为值域为映射与函数正切函数余切函数定义域值域定义域值域映射与函数6)反三角函数(inversetrigonometricfunction)定义域值域

主值映射与函数反正弦函数定义域值域

主值映射与函数反余弦函数

主值定义域值域反正切函数反余切函数

主值定义域值域

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.(2)初等函数(elementaryfunction)初等函数.如都是初等函数.不是初等函数.映射与函数

由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为注一般分段函数不叫初等函数,想一想

可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.是!由于映射与函数不是用一个式子表达出来的.因为它１.有界性(bounded)定义.例.三、函数的特性

注有界的几何意义如左下图.有界无界:无界定理显然,有界等同于既有上界又有下界.

注

一定要把区间明确出来!不是有界函数,就是无界函数.单调如果对恒有

monotone2.单调性(monotonicity)增加;increasing减少;decreasing

注

2.

应指明单调区间,否则会产生错误,

偶函数的图形称f(x)为偶函数(evenfunction);３.奇偶性称f(x)为奇函数(oddfunction).奇函数的图形奇函数的图形称f(x)为奇函数(oddfunction).注(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的概念.(2)奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈奇、偶.的周期.周期函数(periodfunction).如果存在一个正数且总有称为f(x)通常称周期函数的周期是指最小正周期.周期为的周期函数设函数f(x)的定义域为D,则称f(x)是４.周期性(periodicity)取自变量在横轴上变化,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指平面点集:通常是一条或几条曲线(包括直线).中的集合函数的图形(图象)奇函数.偶函数.1)双曲函数

叠加法双曲正弦双曲余弦附：双曲函数