初中数学全等母子型和辅助线添加初步

模块一K字型全等模块一K字型全等全等母子型结构和辅助线添加初步且AB=AC，贝|」有△ABD^△CAE.2.正方形（等腰直角三角形）K字型全等例题1（15—16年成华期末）在^ABC中，ZACB=90。,AC=BC,直线/经过点。，且AD11于点D,BE11于点E.（1）当直线l绕点C旋转到图1（1）当直线l绕点C旋转到图1-1位置时，求证：①4ACD^△CBE,②AD+BE=DE；（2）当直线l绕点C旋转到图1-2位置时，求证：BE+DE=AD；（3）当直线l绕点C旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD、BE、DE之间满足的等图1-1图1-2图1-3【解析】(1)①;AD11,BE11，二ZAD=ZCEB=90。..•・ZBCE=ZCBE=90。.丁ZACB=90。,.ZACD+ZBCE=90。..ZACD=ZCBE.;AC=CB，.△ACD^△CBE.②:△ACD^△CBE,.AD=CE,CD=BE.;DE=CD+CE，,AD+BE=DE.(2)VAD1MN,BE1MN，.ZADC=ZCEB=90。..•・ZBCE+ZCBE=90。.丁ZACB=90。,.ZACD+ZBCE=90。..ZACD+ZCBE.;AC=CB，.△ACD^△CBE..AD=CE,CD=BE.;DE=CE-CD,.BE+DE=AD.(3)AD+DE=BE.【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程.例题2（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于尸，过F作FH1AE交BC于H，连接AH.（1）过点F分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N,求证：AF=FH；（2）过点H作HG1BD，垂足为G，试求FG和BD的数量关系.【解析】（1）证明△AFM^^HFN（ASA）,.AF=FH.（2）作AT1BD于点T，则△AFT^^HFG,・，・FG=AT=BT=DT=1BD.2例题3（嘉祥）在锐角三角形（嘉祥）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正【解析】过点E作EP±HA的延长线于尸，过点G作GQ1AM于Q,•；AH1BC,:.乙ABH+ZBAH=90。，ZBAE=90。，:•乙EAP+ZBAH。=90。「./ABH=ZEAP,'•,在△ABH和△EAP中，2ABH=ZEAPvZAHB=ZP=90°,AB=AE△ABH"△EAP(AAS),,EP=AH,同理可得GQ=AH,•EP=GQ,■在△EPM和△GQM中，'ZP=ZMQG=90°vZEMP=ZGMQ,、EP=GQ△EPM^△GQM(AAS),EM=GM,：.AM是△AEG的中线.【教师备课提示】例题2和例题3主要讲解构造K字型全等，让孩子们熟悉模型.如图，CD是经过ZBCA顶点C的一条直线，CA=CB,E、F分别是直线CD上两点，且ZBEC=ZCFA=Za.(1)若直线CD经过ZBCA的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：①如图4-1，若ZBCA=90°，Za=90°，则BECF；EFIBE_AFI(填“〉”、“<"、"=")；②如图4-2,若0°<BCA<180°，请添加一个关于Za与ZBCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论.(2)如图4-3,若直线CD经过ZBCA的外部，Za=ZBCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).【解析】⑴①二；=;②Za+ZBCA=180°,先证明ZB=ZACF，再证明△BCE-△CAF.(2)EF=BE+AF.【教师备课提示】这道题主要讲解K字型全等的变式题.

模块二母子型模块二母子型例题5如图，点C为线段AB上一点，△ACM、ACBN是等边三角形.请你证明:AN=MB；/MFA=60。；/AFC=ZBFC；△DEC为等边三角形；DEII.AB.【解析】(1)•.△ACM、△CBN是等边三角形，MC=AC,CN=CB,又/ACN=ZMCB,「.△ACN^△MCB, AN=BM.(2)由(1)得△ACN也△MCB,:./CAN=ZCMB,ZMFA=ZMCA=60。.(3)过点C作AF和BF的垂线，利用角平分线的判定，即可.(4)由△ACN^△MCB易推得△NDC^△BEC,所以CD=CE，又ZMCN=60。，进而可得△DEC为等边三角形.(5)由(4)得，△DEC为等边三角形，」.ZDEC=ZECB=60。，DEIIAB.【教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型.(14—15年成外)已知，在△ADE中，AE=AD,ZEAD=90。.(1)如图6-1,若EC,DB分别平分ZAED、ZADE,交AD,AE于点C、B,连接BC.请判断AB、AC是否相等，并说明理由；(2)△ADE的位置保持不变，将(1)中的△ABC绕点A逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD和BE相交于。，请判断线段BE与CD的位置关系与数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若CD=6，试求四边形CEDB的面积.ZCAE=ZBAD=90°【解析】（1）AB=AC，在△ABD和△ACE中<AD=AEZAEC=ZADB=22.5°

・•・△ABD^AACE(ASA),・，.AB=AC.BE=CD，且BE1CD.母子型，得到ACAD^ABAE,通过倒边倒角得到BE=CD，且BE1CD.18(提示：对角线互相垂直的四边形的面积可以为对角线乘积的一半).【教师备课提示】这道题主要考查等腰直角三角形的母子型.例题7如图7-1,若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE,AG1CE.(1)当正方形GFED绕D旋转到如图7-2的位置时，AG=CE,AG1CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(2)当正方形GFED绕D旋转到B、D、G在一条直线(如图7-3)上时，连接CE，设CE分别交AG、AD于P、H,(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.图圈1图圈1【解析】（1【解析】（1）AG=CE,AG1CE成立.'•四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，,GD=DE,AD=DC,ZGDE=ZADC=90。.:.乙GDA=90。—ZADE=ZEDC.・•△AGD2ACED,AG=CE,ZAGD=ZCED延长CE交AG于点T，则ZTED+ZCED=180。，:.ZTED+ZAGD=180。，:.ZGTE+ZGDE=180。又•：ZGDE=90。，:.ZGTE=90。，即AG1CE.（2）同（1）可得，△AGD2ACED,.Z1=Z2,AG=CE,,.•Z3=Z4,Z4+Z2=90。，.Z3+Z1=90。.:.ZAPH=90。.AG1CH，即AG1CE.【教师备课提示】这道题主要考查正方形的母子型，在正方形母子型当中最重要的就是垂直相等结论.（15年西川半期）（15年西川半期）如图8-1,在4ABC和^ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD,点M,N分别为BE,CD的中点.（1）求证：BE=CD；（2）求证：△AMN是等腰三角形；（3）在图8-1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论.【解析】(1);ZBAC=ZDAE,•・ZBAE=ZCAD,在△BAE和NCAD中，1AB=ACvZBAE=ZCAD、AE=AD：.△BAE^△CAD(SAS).•・BE=CD.(2)由(1)得，△BAE^△CAD(SAS).•・ZABE=ZACD，即ZABM=ZACN.又点M,N分别为BE,CD的中点，.BM=CN.在△BAM和MAN中，1AB=ACvZABM=ZACN、BM=CN•・△BAM^△CAN(SAS).AM=AN.•・△AMN是等腰三角形.(3)仍成立，有BE=CD,△AMN是等腰三角形(同理可得)【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子们是否理解母子型全等的本质.复习巩固模块一K字型全等模块一K字型全等在^ABC中，AB=AC,直线l经过点A.(1)如图1-1,ZBAC=90。,BD11,CE11，垂足分别为D、£.探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，直接写出你的结论.(2)如图1-2,将(1)中“ZBAC=90。，BC11，CE1/”改为“ZBDA=ZAEC=ZBAC”，证明你的结论.1证明你的结论.1【解析】(1)(2【解析】(1)(2)DE=BD+CE;DE=BD+CE，证明△ADB^△CEA即可.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD=CE,ZDEF=ZB.图中是否存在和△BDE全等的三角形?说明理由.【解析】MEF^^BDE，理由如下：丁ZDEF=ZB,ZDEC=ZB+ZBDE=ZDEF+ZCEF,・•・ZBDE=ZCEF,又•:BD=CE,ZB=ZC,：.△CEF^^BDE.模块二母子型如图，B、C、E三点在一条直线上，△ABC模块二母子型如图，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和^DCE都为等边三角形，连接AE、DB.（1）试说出AE=BD的理由.（2）如果把△DCE绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）（3）在（2）中若AE、BD相交于尸，求/APB的度数.【解析】(1):△ABC、△DCE都为等边三角形，・•・BC=AC,DC=CE,ZACB=ZDCE,：.ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE,即ZBCD=ZACE,•・•在△BCD与△ACE中：产二ACvZBCD=ZACECD=CE・•・△BCDHACE(SAS),・•・BD=AE;(2)仍然成立；(3)V△BCD^^ACE,：.ZCAP=ZCBP,「△ABC是等边三角形，.•・ZCAB=ZCBA=60。，.•・ZAPB=180。一(ZPAB+ZPBA=180。—(PAC+ZCAB+ZPBA)=180。—(ZPAB+ZCBA)=180。—(60。+60。)=60。，即ZAPB=60。.图4-1图图4-1图4-2演练4以点A为顶点作两个等腰直角三角形(^ABC,△ADE)，如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE.说明BD=CE；延长BD,交CE于点尸，求ZBFC的度数；若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由.【解析】(1):△ABC、△ADE是等腰直角三角形，・•・AB=AC,ZBAD=ZEAC=90。，AD=AE,;在△ADB和△AEC中，'AD=AEvZDAB=ZEAC,AB=AC・•・△ADBHAEC(SAS)，,BD=CE;(2)V△ADB^^AEC,：.ZACE=ZABD,而在MDF中，ZBFC=180。—ZACE-ZCDF,又「ZCDF=ZBDA,.•・ZBFC=180。一ZDBA-ZBDA=ZDAB=90。;(3)BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即ZBFC=90。.理由如下:「△ABC、△ADE是等腰直角三角形.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD=90。，「ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,.•・ZBAD=ZCAE,'AD=AE•・•在△ADB和△AEC中，vZDAB=ZEAC,AB=AC・•・△ADBdAEC(SAS).BD=CE,ZACE=ZDBA,.ZBFC=ZCAB=90。.

如图5-1,等边△ABC中，D是A