必修三概率章末检测卷(含答案)

概率章末检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.某班有50位同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是()A.碰到异性同学比碰到同性同学的概率大B.碰到同性同学比碰到异性同学的概率大C.碰到同性同学和异性同学的概率相等D.碰到同性同学和异性同学的概率随机变化答案A2.利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)答案A解析总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝eq\f(M,N)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).3.掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是()A.eq\f(1,999) B.eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000) D.eq\f(1,2)答案D解析投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为eq\f(1,2)，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为eq\f(1,2)，抛掷第999次正面向上的概率还是eq\f(1,2).4.据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案C解析所有的基本事件总数为4，分别为(男，男)、(男，女)、(女，男)、(女，女)，∴两胎均是女孩的概率为eq\f(1,4).5.已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.1－eq\f(π,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(π,3)答案B解析如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分.则阴影部分的面积是42－4×eq\f(1,4)×π×22＝16－4π，所以所求概率是eq\f(16－4π,16)＝1－eq\f(π,4).6.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是()A.P(M)＝eq\f(1,3)，P(N)＝eq\f(1,2)B.P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)C.P(M)＝eq\f(1,3)，P(N)＝eq\f(3,4)D.P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4)答案D解析U＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4).7.某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为eq\f(4,5)，则河宽为()A.100mB.80mC.50mD.40m答案A解析河宽xm，则1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，∴x＝100.8.在区间[－1,4]内取一个数x，则2x－x2≥eq\f(1,4)的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)C.1－eq\f(π,4) D.1－eq\f(π,12)答案C解析P＝eq\f(正方形面积－圆锥底面积,正方形面积)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).12.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,|x－y|≤2，))如图所示.∴两串彩灯第一次闪亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S三角形,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.答案eq\f(4－π,4)解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是eq\f(4－π,4).14.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为eq\f(9,20)，则参加联欢会的教师共有________人.答案120解析设男教师为n人，则女教师为(n＋12)人，∴eq\f(n,2n＋12)＝eq\f(9,20).∴n＝54，∴参加联欢会的教师共有120人.15.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为________.答案eq\f(7,25)解析此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法.若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取1～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P＝eq\f(24＋4,10×10)＝eq\f(7,25).16.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪eq\x\to(B)发生的概率为________.(eq\x\to(B)表示B的对立事件)答案eq\f(2,3)解析事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；eq\x\to(B)表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”.显然A与eq\x\to(B)是互斥的，故P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))求函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、三象限的概率.解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个，设“使函数为增函数的事件”为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个，所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m、n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))的区域如图所示.要使函数的图象过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).18.(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.解(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为13个.即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5).所以甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(12,25).所以这种游戏规则不公平.19.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手.从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).20.(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000.则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，即a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个.事件E包含的基本事件：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.故P(E)＝eq\f(7,10)，即所求概率为eq\f(7,10).(3)样本平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件：9.4,8.6，9.2，8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，即所求概率为eq\f(3,4).21.(12分)某电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”.A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了了解市民对某市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下列表格所示：满意一般不满意A部门50%25%25%B部门80%020%C部门50%50%0D部门40%20%40%(1)若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率.解(1)由条形图可得，分别负责问政A，B，C，D四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A部门的市民为40人.由分层抽样可得从A部门问卷中抽取了20×eq\f(40,200)＝4份.设事件M为“市民甲的调查问卷被选中”，所以P(M)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10).故若甲选择的是A部门，甲的调查问卷被选中的概率是eq\f(1,10).(2)由图表可知，分别负责问政A，B，C，D四个部门的市民分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的人数分别为1,1,0,2.记对A部门不满意的市民是a；对B部门不满意的市民是b；对D部门不满意的市民是c，d.设事件N为“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D部门”.从填写不满意的市民中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(