大学概率论总复习题

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概率统计总复习资料

注：(1)以下是3学分、4学分、4.5学分考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；(2)四学分包含所有3学分内容；(3)4.5学分包含所有4学分内容；(3)注明“了解〞的内容一般不考．

1、能很好地把握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义

3、把握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；把握加法公式与乘法公式

4、能确凿地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；把握事件独立性的概念及性质．5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的概率分布．6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质．7、把握指数分布(参数?)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算

8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的概率分布或概率密度．9、会求分布中的待定参数．

10、会求边沿分布函数、边沿概率分布、边沿密度函数，会判别随机变量的独立性．11、把握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算．(四学分)

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率．

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法．(四学分)14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差．会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差．

15、较熟练地求协方差与相关系数.

16、了解矩与协方差矩阵概念．会用独立正态随机变量线性组合性质解题．17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题．

18、把握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，把握样本均值与样本方差及样本矩概念，把握?2分布(及性质)、t分布、F分布及其上百分位点及双侧百分点概念．19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理（不要求背，考试时定理内容可列在试卷上）；会用矩估计方法来估计未知参数．

20、把握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法．

21、会求单正态总体均值与方差的置信区间．会求双正态总体均值与方差的置信区间．23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、?检验法、F检验法解题．(三学分只考两个正态总体均值与方差的检验法)．

24、把握两个正态总体均值与方差的检验法．(四学分)(以下内容仅仅针对4.5学分考试，3、4学分不作要求)

25、把握随机过程的概念，把握随机过程的分布函数和数字特征．26、把握独立增量过程、正态过程、维纳过程的判断方法．27、了解严平稳过程，把握宽平稳过程的判断和基本性质．

28、了解圴方极限与圴方积分、时间均值与时间相关函数的概念，了解各态历经性的判定定理．

29、了解时间函数的功率谱密度，把握平稳过程的功率谱密度概念，把握功率谱密度的基本

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2

性质，了解互谱密度及其性质．[模拟试卷1(3学分、4学分)]一、（9分）现有10张卡片，分别标有号码1，2?，10，今从中任意抽取出三张卡片．求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）中间号码为5的概率．二、（9分）已知P（A）=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,求以下概率：P(A|B),P(A|B),P(A|B)．三、（12分）设随机变量X的概率密度函数为f(x)=αe(-∞_________,才能使E(|X-a|2)?0.1

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二、选择填空：（每题5分）

1.设两个独立的随机变量X和Y分别听从正态分布N(0,1)和N(1,1)则_______

(A)P{X+Y4}(3)Y=2X+1的分布列．

五、(12分）设随机变量X与Y独立且均在(-1,1)区间上听从均匀分布，求：(1)P{X+Y

布律．

四、(14分)设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?cx2y,x2?y?1,f(x,y)??其它?0,a)确定常数c的值;b)c)

X,Y是否相互独立?为什么?X,Y是否不相关?为什么?

五、(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的

比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？六、(12分)设总体X听从二项分布，它的概率分布为

P(X?k)?Clkpkql?k,k?0,1,?l,0?p?1,q?1?p，

求未知参数p的极大似然估计.

七、(12分)某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176，

而用别的确切方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度听从正态分布，问此种仪器测量的硬度是否显著降低（??0.05）？八、(10分)已知随机过程X(t)的均值?X(t)?t，协方差函数CXX(t1,t2)?1?t1t2，试求

Y(t)?X(t)?sint的均值?Y(t)和协方差函数CYY(t1,t2).

九、(8分)设X(t)是平稳过程，且?X(t)=0，RX(?)?1?|?|，（|τ|≤1），Y=

求E(Y)和D(Y).

附：?(2.575)?0.995,?(2.33)?0.99,t0.05(4)?2.1318,t0.025(4)?2.7764.

[模拟试卷6(4.5学分)]

一、(10分)某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率．

二、(10分)某种晶体管寿命听从均值为0.001的指数分布(单位是小时)．电子仪器装有此种晶体管5个，并且每个晶体管损坏与否相互独立．试求此仪器在1000小时内恰好有3个晶体管损坏的概率．

三、(10分)X~U(??,?),求Y?COS(X)的密度函数．四、(12分)已知随机变量(X,Y)的分布律为XY0110.15?20.15??tX(t)dt，

01且知X与Y独立，（1）求?、?的值．（2）令Z?X?2Y，求X与Z的相关系数.五、(10分)设X与Y的联合密度函数为

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求P(X+2Y

则当C?1时，CY听从?2分布．3八、解：检验假设

H0:???0?12cm，H1:???0

由于显著性水平?＝0.05，查表得z??z0.05＝1.645．由于

u?x??0?/n?13.2?122.6/100?4.615>1.645=z??z0.05

则拒绝原假设H0:???0?12cm，即在显著性水平?＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12cm以上．[模拟试卷4答案(3学分、4学分)]

一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每

个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？

33解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本电数?[S]=C50?C47???C23．

3设Ai=“3个次品铆钉恰好用在第I个部件上〞，i=1、2、?、10

A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件〞

333Ai中的样本点个数?[Ai]=C47?C46???C23，P(Ai)=?[Ai]/?[S]=1/19600．

P(A)=

?10i?1P(Ai)=1/1960．

二、(14分)已知随机变量X的概率密度为f?x???（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}．解：(1)由归一性，得

?1?2Ax,0,?0?x?1，求：（1）参数A；

其他???f(x)dx??2Axdx?1030.5x?1A?1(2)p{0.5?x?3}?(3)p{X?x}?x?f(x)dx??2xdx?0.750.5???f(t)dt

当x?0时，?f(t)dt?0??xx2当0?x?1时，f(t)dt?2tdt?x????0第16页共23页

三、（14分）设随机变量X和Y的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上听从

均匀分布,试求随机变量U?X?Y的方差．

解：由题意，(X,Y)的密度函数为

?2,0?x?1,0?y?1,x?y?1,f(x)??其它,?0,

则

1??2dy,0?x?1?2x,0?x?1f(x,y)dy???1?x????0,其它0,其它?fX(x)??

得

????EX?则

?102x2dx?2;EX2?3?102x3dx?1;2DX?EX2?(EX)2?

同理，EY?2,DY?1．

118318则

11cov(X,Y)?EXY?EX?EY?2?xdx?ydy?01?x22541?????．3312936则

DU?D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为

1121???．18183618?x?y,0?x?1,0?y?1．f(x,y)??其它?0,（1）求X与Y的相关系数?XY；（2）试判断X与Y的独立性．解：（1）?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)1

7?0?012

117E(Y)???y(x?y)dxdy?0012E(X)?1x(x?y)dxdy?第17页共23页

E(XY)???0110xy(x?y)dxdy?13

?cov(X,Y)?111771????31212144x2(x?y)dxdy?11

E(X)?2??00512

5?0?012

57211?D(X)?D(Y)??()?1212144E(Y2)?y2(x?y)dxdy?故?XY??111（2）??XY?0?X与Y不独立．

五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电状况相互独立．已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上听从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？

解：设1000户居民每天用电量为X度，则由中心极限定理，X~N(EX,DX)，其中

20230000EX?1000×10=2000，DX=?1000?．再设供应站需供应L度电才能满足

123条件，则

P{X?L}??(L?2000100000/3L?2000100000/3)?0.99

即

?2.33，则L=2426度．

六、（8分）在总体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1?,X6).求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率．

解：设总体由题意：X~N(12,2/3)，则X?EX~N(0,2/3)，所求概率为P{|X?EX|?2}?1?P{|X?EX|?2}?1?[?(2/2/3)??(?2/2/3)]

)]＝0.01．＝2[1??(2.4495七、（14分）设总体X的密度函数为

??x??1,0?x?1f(x)??0,其它?其中?是未知参数，且??0．试求?的最大似然估计量．

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解：设x1,x2,?,xn是X的子样观测值，那么样本的似然函数为

L(?)??n?x?ii?1n?1，

就有

lnL(?)?nln??(??1)?lnxi，

i?1n于是，似然方程为

dlnL(?)nn???lnxi?0，

d??i?1从而，可得

????n?lnXi?1n

i八、（14分）已知在正常生产的状况下某种汽车零件的重量（克）听从正态分布N(54,0.75)，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：

55.055.153.854.252.154.255.055.855.155.3

假使标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取??0.05）？解：按题意，要检验的假设是

H0:??54，因?2已知，故用U?检验法，由??0.05，查正态表得临界值

z??1.96，由样本值算得

x?54.46,u?1.94

由于u?1.96，故接受假设H0，即在??0.05时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异．附表一：

?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950.

[模拟试卷5答案(4.5学分)]

一、一袋中有十个质地、形状一致且编号分别为1、2、?、10的球．今此后袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率．

解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S，则样本空间S中的样本点个数

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3

?[S]=C10=120．

设事件A=“最小号码为5〞，B=“最大号码为5〞，

C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5〞．

33A中的样本点个数?[A]=C6－C5=10，P(A)=?[A]/?[S]=1/12，33B中的样本点个数?[B]=C5－C4=6，P(B)=?[B]/?[S]=1/20，11C中的样本点个数?[C]=C4=20，P(C)=?[C]/?[S]=1/6.C5二、随机变量X~U(?1,1),求Y?X的分布函数与概率密度．

2?1?解：?fX?x???2??0?1?x?1其它,且y?g(x)?x2,

y?0?0?y?1?FY?y???fX?x?dx???dx0?y?1x2?y??y2?y?1?1

?0???y?1?y?00?y?1y?1,

?1?fY(y)?FY'(y)??2y?0?0?y?1其它.

三、设某昆虫的产卵数X听从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,

且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分布律．解：此题已知随机变量X的分布律为

50i?50P?X?i??e,i?0,1,2,?

i!由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X?i的条件下听从参数为i,0.8的二项分布,故有

P{Y?j|X?i}?Cij0.8i0.2i?j，j?0,1,...,i

Y?i|X?i?P?X?i?,得(X,Y)的联合分布律为：由P?X?i,Y?j??P?P{X?i,Y?j}?Ci0.80.2jji?j50i?50e，i?0,1,?;j?0,1,?,i.j!第20页共23页

四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?cx2y,x2?y?1,f(x,y)??其它?0,a)确定常数c的值;b)c)

X,Y是否相互独立?为什么?X,Y是否不相关?为什么?

解：（1）?x2?y?1??f(x,y)dxdy?1,即

2118214cx?(1?x)dxc???1==dxcxydy??12??1