概率论与数理统计复习提纲

第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；()是不④必然事件就等于样本空间；不可能事件包含任何样本点的空集；⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系①包含关系：AB，事件A发生必有事件B发生；A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；A与事件B一定不②等价关系：③互不AB，事件相容（互斥）：AB，事件会同时发生。AA④对立关系（互逆）：A必不发生，反之也成立；A，事件A发生事件互逆满足AA注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3.事件的三大运算AB，则ABAB；AB，事件A与事件B至少有一个发生。若①事件的并：或ABAB，事件②事件的交：A与事件B都发生；③事件的差：B不发生。A-B，事件A发生且事件4.事件的运算规律ABBA,ABBA①交换律：(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)律：A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)②结合③分配律：nAA,nABAB,ii④德摩根（DeMorgan）定律：对于n个事件，有i1i1ABABnAnAiii1i1二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件A(A),都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1)非负性：(2)规范性：P(A)0;P()1;kk(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.P(A)iA,A,AP(A)12kii1i1则称P(A)为随机事件A的概率.2．概率的性质①P()1,P()0②P(A)1P(A)③若AB，则P(A)P(B),且P(BA)P(B)P(A)1④P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)注：性质的逆命题不一定成立的.如若P(A)P(B),ABA则。（×）若，则。（×）P(A)0三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,k称该概率模型为古典概型,P(A)。②每个样本点发生的概率相同，则n典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A）的概率为1P(A)CmMm(NM)nm.n1Nn放回抽样的(2)在不方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A）的概率为2CmAmAnmCmCnmNM.PA()NMnMM2AnNCnN四、条件概率及其三大公式P(AB)P(AB),P(A|B)P(A)P(B)1.条件概率：P(B|A)P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B)2.乘法公式：P(AAA)P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A|AA)12n121312n1n1B,B,,B满足nB,BB,ij，则P(A)n3.全概率公式：若P(B)P(A|B)。12niijiiii1P(B)P(A|B)i4.贝叶斯公式：若事件B,B,,B和A如全概率公式所述，且P(A)0，则P(B|A).i12ninP(B)P(A|B)iii1义：若P(AB)P(A)P(B),则称A,B独立A,A,,A相互独立，P(AA)P(A)P(A)五、事件的独立1.定.推广：若12n1n1n2.在A,B,A,B,A,B,A,B四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(AC)P(A)P(C)3.三个事件A,B,C两两独立：注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）P(k)Ckpq,k0,1,2,,n,q1p.knk4.伯努利概型：nn21.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若P(A)0,则A。（X）3.若P(A)0.1,P(B)0.5,则P(AB)0.05。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为ABCABCABC。(∨)5.n个事件若满足i,j,P(AA)P(A)P(A)，则n个事件相互独立。(X)ijijAB时，有6.当P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量XX()为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通X常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质X，对于任意实数xR，函数F(x)P{Xx}称为随机变量的概率分布函数，简称X1.定义：设随机变量分布函数。注：当时，()F(x)()xxPxXxFx121221pxi1,2,,(1)X是离散随机变量，并有概率函数(),px().则有()Fxiixxi()()xf(t)dt.f(x)，则FxPXx(2)X连续随机变量，并有概率密度2.分布函数性质：（1F(x)是单调非减函数，即对于任意x<x，有()();；FxFx1212（20F(x)1；且()limF(x)0，()limF(x)1；FFxx（3离散随机变量X，F(x)是右连续函数,即()(0)；连续随机变量-∞，+∞）上处处连续。X，F(x)在（FxFx注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布,,,，或可列无穷多个数值,,,,,且xxxx1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值xnxn1212或概率函数(分布律).P(Xx)p(i1,2,)，则称X为离散随机变量,p(i=1,2,…)为X的概率分布，iii注：概率函数p的性质:(1)0,i1,2,;(2)p1piiii2.几种常见的离散随机变量的分布：P{Xk}CkCnkNMk0,1,2,,nk0,1,,n（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，MCnNP(Xk)Ckpk(1p)项分布，X~B(n.,p)，（2）二当n=1时称X服从参数为p的两点分布（若Xi(i=1,2,…,n)服从同一nkn或0－1分布）。nX服从二项分布。i两点分布且独立，则Xi13keP{Xk}X~P()，（3）泊松(Poisson)分布，(0),k0,1,2,...k!四、连续随机变量及其分布.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间I1.定义(,]，有abP(aXb)f(x)dx,b则称为连续随机变量X;函数称为连续随机变量的概率密度函数，简称概率密度。f(x)Xa注1：连续随机变量X任取某一确定值的0x概率等于0,即P(Xx)0;0注2：()()()()PxXxPxXxPxXxPxXxxf(x)dx212121212x12.概率密度f(x)的性质：性质1：f(x)0;性质2：f(x)dx1.注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当时，xxPxXx()F(x)F(x)xf(x)dx2121221x1且在f(x)的连续点x处，有()().Fxfx3.几种常见的连续随机变量的分布：0,xa;axb;xb.X~U(a,b)，f(x)1xa,，axb(1)均匀分布F(x)baba0，其它1,1ex,x0,ex，x0F(x)X~e(),0f(x)(2)指数分布0，x0x0.0,(x)2(t)22dt,11(3)正态分布X~N(,2)，0f(x)x，F(x)ex2e22221.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量，有P(aXb)P(aXb)。(X)f(x)=cosx,x[0,]，则P(0X)costdt.(X)4.若X的密度函数为20第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）xp,离散型EX,EX1．定义：kkk1xf(x)dx,连续型(1)E(C)C,(C为常数)(2)E(CX)=CE(X)2．期望的性质：(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.4g(x)p,X离散型3.随机变量函数的数学期望E[g(x)]kkk1+g(x)f(x)dx，连续型X-4.计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义；(2)利用数学期望的性质；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量X之和,再利用期望性质求得X的期望.i(3)利用常见分布的期望；[xE(X)]2p,离散型i1．方差D(X)E[XE(X)]2i[xE(X)]2f(x)dx,连续型注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性质(1)D(C)0,(C为常数)(2)D(CX)=C2D(X)(3)若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)(4)对于任意实数C∈R，有E(X-C)2≥D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得D(X).雪夫不等式):设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的最小值，正数有(5)(切比P(|X-E(X)|ε)D(X).或P(|X-E(X)|<ε)1-D(X).ε2ε23.计算(1)利用方差定义；(2)常用计算公式D(X)E(X2)[E(X)]2.(3)方差的性质；(4)常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1.若X～B(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;2.若X~P(),则()D(X);EX~(),则E(X)1,D(X)Xe12;3.若X～U(a,b),则E(X)ab,D(X)(ba)2;4.若2125.若X~N(,2),则E(X),D(X)2.三、原点矩与中心矩v(X)E(Xk)ku(X)E[XE(X)]kk（总体）X的k阶原点矩：（总体）X的k阶中心矩：1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X)2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X)是随机变量函数的期望。(√)4.方差的实质5.对于任意的X,Y，都有D(XY)DXDY成立。(X)第四章正态分布一、正态分布的定义1.正态分布5(t)222(x1)212fx⑴X~N(,2)概率密度为()e22,x,其分布函数为F(x)xedt2注：F()1.2正态密度函数的几何特性：1（2）当xμ时，f(x)取得最大值(1)曲线关于x对称；；2x)2x)2((122dx2;(3)当x时，f(x)0，以x轴为渐近线；(4)edx1e222（5）当固定σ，改变μ的大小时，f(x)的图形不变，只是沿着y轴作平移变化.（6）当固定μ，改变σ的大小时，f(x)对称轴不变而形状在改变，σ越小,图形越高越瘦；σ越大,图形越矮越胖.2.标准正态分布x22,t2e2dt.11当0,1时，X~N(0,1),其密度函数为(x)x.且其分布函数为(x)xe22(x)的性质：(1)(0)1;2(3)(x)1(x).(2)()1x22dx1x2e2dx22e3.正态分布与标准正态分布的关系X~N(0,1).定理：若定理：设X~N(,2),则Yxx(1X~N(,2),则P(xXx)(22)).1二、正态分布的数字特征(x)2设X~N(,2),则1.期望E(X)E(X)1xedx222x)2dx22(12.方差D(X)2D(X)(x)2e223.标准差(X)三、正态分布的性质1．线性性.设X~N(,则2)，(b0)；2),YabX~N(ab,b2,22),且X和Y相互独立，则ZXY~N(x2．可加性.设X~N(,2),Y~N(,x2);yxyyyx3．线性组合性设X~N(,2),i1,2,,n，且相互独立，则innnc22).iicX~(Nc,iiiiiii1i1i1四、中心极限定理61.独立同分布的中心极限定理设随机变量X,X,,X,相互独立，服从相同的分布，且E(X),D(X)iin2,1,2,,,;12ninXnμixe(t)2则对于任何实数limPnx12dtx，有i122nσX,X,,X满足上述条件，当n充分大时，有定理解释：若12nnXnμiX~AN(n,n2)；（1）Y*n~AN(0,1)；(2)Yni1*nσnii121（3）XnX~AN(,)nnii12.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理Ynpn22(t)212设Y~B(n,p),则limPnxxedtnp(1-p)n定理解释：若Y~B(n,p),当n充分大时，有nYnp~AN(0,1)；（2）Y~AN(np,np(1p))n（1）nnp(1p)X~N(0,1),Y~N(2,1),则XY~N(2,2).（X）1.若XX~N(,2),则P(0)1（√）.2.若2X~N(,42),Y~N(,52)3.设随机变量X与Y均服从正态分布：而pP(X4);pP(Y5),则(B).12B.对任何实数，都有pp12A.对任何实数，都有pp;12C.只对的个别值，才有pp;D.对任何实数，都有pp.12121ex22x14.已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)则X的数学期望为__1____;X的方差为__1/2____.第五章数理统计的基本知识一、总体个体样本把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量，记X.象称为个体.即每一个可能的观察值.1.总体：2.个体：总体中每个研究对3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体X,X,,X,称为总体的容量为的样本。nXn127注：⑴样本是一个n中每一个与总体有相同的n的联合分布n维的随机变量；⑵本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：(X,X,,X)12X分布.②独立性：2①代表性：是相互独立的随机变量.X,X,,XX,X,,X112(X,X,,X)n4.样本12nnF(x,x2,,x)设总体X的分布函数为F(x)，则样本的联合分布函数为(X,X,,X)nF(x);i121ni1n(1)设总体X的概率密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为f(x,x,,x)f(x);i12ni1n(2)设总体X的概率函数为(),(pxx0,1,2,)p(x,x,,x),则样本的联合概率函数为p(x);i12ni1二、统计量1.定义g(X,X,,X)g(x,x,,x)g(X,X,,X)是的观测值.12n不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,12n12ng(X,X,,X)是随机变量；g(X,X,,X)不含总体分布中任何未知参数；注：（1）统计量（2）统计量112n2n（3）统计量的分布称为抽样分布.2.常用统计量.可用于推断：xi1n1n（1）样本矩：①样本均值X；其观测值x总体均值E(X).Xnini1i11n11n1(②样本方差S2n(XX)2inX2nX;)2ii1i11n1n1n其观测值s2(xx)2ix2nx2.可用于推断：总体方差D(X).n1ii1i11n1n1n③样本标准差S其观测值sX)2X2nX2.S2(Xn1iii1i1x2nx2.i1n1n(xx)2s2n1n1ii1i11n观测值vkn1n其④样本k阶原点矩VkXk,(k1,2,)ixkini1i11n1n其(XX)k,(k1,2,)观测值⑤样本k阶中心矩Uk(xx)kiunikni1i1注：比较样本矩与总体矩，如样本均值X和总体均值E(X)；样本方差S2与总体方差D(X)；1k阶原点矩VkEXXk,(k1,2,)与总体k阶原点矩(k),(k1,2,)；样本k阶中心矩n样本ni1i1nnU(XX)k,(k1,2,)与总体k阶原点矩[()]k,(k1,2,).前者是随机变量，后者是常数.EXEXkii18(2)样本矩的性质:EXDX2，X,S2为样本均值、样本方差，则X的数学期望和方差分别为,设总体12;3oE(S2)n2.1oE(X);2oD(X)3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、3大抽样分布，则X2X2X2~2(k)12k：定义.设2相互独立，且i1.分布X,X,,X2X~N(0,1),i1,2,,k12k注：若X~N(0,1),则X2~2(1).（2）性质（可加性）~2(k),则2~2设相互独立，且~2(k),和2(kk).12212222211221X2.t分布：设X与Y相互独立,且X~N(0,1),Y~2(k),则tY/k~t(k).注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).X/k则2(k),Y~2(k),F1~F(k,k).2Y/k3.F分布:定义.设X与Y相互独立，且X~1122(2)性质.设则.1X~F(k,k),1/X~F(k,k)212四、分位点1),若存在x，使得x为X分布的分位点。P(Xx)则称定义：对于总体X和给定的(0注：常见分布的分位点表示方法（1）2(k)分布的分位点2(k);（2）t(k)分布的分位点t(k),其性质：1t(k)t(k);1F(k,k)（3）F(k,k),分布的分位点F(k,k),其性质2;F(k,k)12111221（4）N(0,1)分布的分位点u,有P(Xu)1P(Xu)1(u),第六章参数估计(X,X,,X)n(x,x,,x)X中的未知参数，为样本值，构造某个统计12n一、点估计:设1为来自总体X的样本，为2ˆ(X,X,,X)作为参数的估计，则称ˆ(X,X,,X)ˆ为的估计值.(x,x,,x)n量为的点估计量，12n12n122.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想:用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.m个未知参数的矩估计步骤：2.求总体X的分布中包含的,,,12m①求出总体矩,即E(Xk)或E[XE(X)]k,k1,2,；②用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：i1n1nXkE(Xk)或(XX)kE[XE(X)]k,k1,2,nini1i1的矩估计量为：ˆˆXX,,X),i1,2,,m(,ii12n③解上述方程（或方程组）得到,,,21m④的矩估计值为：(,