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文档简介
阶i分方程的阶数:(1)一阶(2)二阶(3)三阶2.指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy2y,y5x2;解:由y5x2得y10x代入方程得xx25x1x2故是方程的解.;3cosx4sinx;3sinx4cosx代入方程得3sinx4cosx3sinx4cosx0故是方程的解.(3)y2y0,代入方程得故不是2ex方程的解.(4)y(12)y12y0,C1e1xC2e2x.代入方程得xiCxi故是方程的解.3.在以下各题中,2xy2xyy得x2y22e2x(C2e2x)C2)(C121e1xC222e2x(C2e2x)C2)(C12验证所给二元方程为所给微分方程的解:xyxxyC2cxy2yy0代入微分方程,等式恒成立xy证:方程yln(xy)两端对2故是微分方程的解.yy2y0,yIn(xy).得『血)InInycxy丄1y1x2x2(y1)2将y,y代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解4.从以下各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线:C2C12C2x)e2x25.求以下各微分方程的通解:(1)xyylny0.xdy1dxxyIny解:别离变量yInyddIn1积分得InxInInIn解:别离变量,得积分得⑶@yex)dx解:别离变量,积分得得通解为(4)cosxsinydx解:别离变量,得积分得 (exyey)dy0.eyeydxsinxcosydycosxdxsinxcosydysinyInsinxInc得通解为yxy解:别离变量,得积分得得通解为sinysinxc.yy2xxdx2x212ce2lx2Ci11积分得得通解为(7)42x解:别离变量,积分得即为通解yx2dyy3y(8)yexy解:别离变量,得积分得ydyeydyexdx6.求以下各微分方程满足所给初始条件的特解:解:别离变量,得积分得0;eydye2xdx2故方程特解为y(2)yy解:别离变量,积分得冗e将X2,y代入上式得故所求特解为2(e2(e)yxn2yyinyctanx2sinxe7.求以下齐次方程的通解:dx原方程变为两端积分得uuuux-dudx^2-u1cx一xcx一x2即通解为:2ylnx⑵xjylnxxdyy.yInuuxxxxxInc积分得即方程通解为⑶y那么dxuu(lnu1)ln(lnu1)Innucxxcx1e2y)dxxydx0—令x,原方程变为x原方程变为dy22xyxydxxydy那么dxduxxxduux一dxux2yxyx2积分得故方程通解为那么x原方程变为1u22InxInc1y2y2ln2lnx2lnc1x2In(cx2)(cc2))dx3xy2dy0.3x3x33y_x3丄xux——dx3u2dx3u2u12uu12u33积分得iiy以x代替¥yxydyxdxy原方程变为x那么xdux-dxdux-dx积分得x1 x1In(1In(1u)22arctanuICn1yyyy别离变量,dydvxyyc _cdyIn(v'2In2yIn8.求以下各齐次方程满足始条件的解:yxyux令,那么得别离变量,得积分得2?X//3xux2du2udxu3u23dxdu3uux3lnuIn(u1)In(u1)IncxInuInux32x得方程通解为22yx223故所求特解为ux解:设y,原方程可变为-yy那么dx32xxuxxx1lnxInc积分得2.得方程通解为22x(InxInc)故所求特解为9.利用适当的变换化以下方程为齐次方程,并求出通解:(1)(2x5y3)dx(2x4y6)dy0yYuX5Y25丫5Y4丫2X也udX4丫X25u24u4u22du4u27u21(4u3ln(4u27udXX6u24uu1146u24uu114u16u27u2)6u22)Inu2)Inu2InC2(C2cf)InX1(8u7)u.24u27u212In(4u7u2)24u7u226426lnXX(4u1)(u2)c22X6(4u7u2)C2代回并整理得yxyxcccj(2)(xy1)dx(4yx1)dy0;yxxy14yx1作变量替换,令xX1,yY0Y原方程化为令YuXdYXY1XdXX4Y14丫XudXdXduXdX4u214u积分得2代回并整理得⑶〔xy〕x14u21lnX14u2u21d(1一-------214u2)2u11arctan2uln(14u)9c22即2lnXln(14u)arctan2ucInX2(14u2)arctan2ucdx3v4x1xx原方程化为代回并整理得1dvdxvv1dvdxvv223v3v4vln(vvln(v2)xc13v2ln(v2)2xc,x3y2ln(xy(c2q)xdu1dy解:令uxy,那么dxdx原方程可化为别离变量,得积分得故原方程诵解为uxu22x1uxxc12xc.2ci)10.求以下线性微分方程的通解:(i)yyexyeedxc222x3—y-y-yx解:方程可化为由通解公式得22xeA(x31(x32)xx132yexdxcyxdxccx—xx—xsinxesinxe;ecosxdxcosxdxsinx(4)y4xy4x;解:方程可化为(4x)dx4x)dxxx2ee22x2cy2(x2)3;di1y2(xdxx2eLdxexxexex24xe2xdx1x)2x)2(x2)ln(x2),dxc2(x2)dxcc(x2)12.求以下伯努利方程的通解:2x4x2~-xydzy,那么有2ydzy,那么有2x4x2x21(12)z(1zsinx(12)z(1zsinxcosxdx4x3cze4x2dxze4x2dx11.求以下线性微分方程满足所给初始条件的特解:exeinoxsx1)dxccexsinx11.求以下线性微分方程满足所给初始条件的特解:x即为原方通解.edxx33故所求特解为1(2)y-(2xyxcosx)yx12+x323x+x323x2yexe-dxdxcc1c11yx—yx—e故所求特解为22eex2+3lnxx23lnxd,xc1x2.c2xc2xC3zy解:令z3zxdxez2x1zx2x1cexcx1)即为原方程通解13.求以下各微分方程的通解:(1)yxsinx;12xCi33sinxcxC2x16CxeXdxxexC2ex2exyx;y,那么原方程变为x3ic1)dxxexc1xc2)dx2exC2c2exC2cx2213)exqxc2yy那么p原方程可化为p原方程可化为yp2)0即dpdpdy当p0时,dy1p2arctanpyCdyitan(ycjlnsin(ydyitan(ycjC1yarcsC11dxdxdxy-dxlny(InxG)dxxlnxxGXC2xlnxjxC2(q(1q))11dxarcsinxc.1x2(7)xyy0.(arcsinx令yp,那么得cjdx1ppxpxJ—x2dxJ—x2O|Xc2.得pgx故xxcjnxc2(8)y3y10.解:令py,贝y解:令py,贝ydydpp——10,pdpyd原方程可化为dy1212g2p尹2p2y2&dyydy2y2.Gy212(y212c1x2c214求以下各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y3y10,yx11,yy解:令yp,那么3dpypd?原方程可化为112-p222p2121y2y2y2c1—dyy1i,y1,yp0知,c1解:令yp,那么2x或y1,Yx1x⑵x2原方程可化为所求特解为1x1解:yarctanxG当x0,y0,得c1arctanxdxxarctanxxarctanxln(1故所求特解为xx)xarctanx01,y1e」仲e22-In2x2122yx1c1)C1c1)C11)CxC2C2原方程可化为pp21冬dxp21arctanpxGtan(xG)Gtan(Gtan(xxy得ydy.所求特解为2ydy.解:令yp,那么原方程可化为积分得以x0,y22即yp,y解:令原方程可化为ydye2ydx00代入上式得qC2y,yx01,yyiarcsiney鼻x-2即yInsecx解解得()故原方程通解为故原方程通解为故原方程通解为解得程通解为pdp3y2dyCicosxx13c21320空2i220空2iCsinxr23r屮12故所求特解为15.求以下微分方程的通解:解:特征方程为解得故原方程通解为yy解:特征方程为解得2y0;xxc2e2x⑹y3y2y02解:特征方程为2解得故原方程通解为16.求以下微分方程满足所给初始条件的特解:yy3yyy3y2cce2解:特征方程为解得通解为由初始条件得故方程所求特解为(2)4y4y解:特征方程为0,Yx0CC612,y2c23xCC1C2解得通解为由初始条件得故方程所求特解为29y3)y4y29y解:特征方程为解得通解为由初始条件得故方程所求特解为yyYX0解:特征方程为解得12222CCCC1CC22y(2x)e0,Yx00,yx15;4r29r5iye2X(Gcos5xc2sin5x)e2x[(5c22c1)cos5x2q)sin5x]C0015C23e2xsin5xr2250r5i1,2通解为由初始条件得故方程所求特解为17.求下各微分方程的通解:yyyy2ex;c2c2Ccos5xi5Gsin5x5c252cos5xCsin5x25C2sin5x故原方程通解为ri0,x代入原方程得2AexAexAex2exyexGex5x22x1.x2Ce2对应齐次方程通解为比拟等式两边系数得c),代入原方程得2(6ax2b)5(3ax23pbxx33-,3-,c35CCC2故方程所求通解为2故方程所求通解为iyy2y3xex.「11,Gc1ecc1ec?e2x令y(AxB)e代入原程得77x257x5对对应齐次方程通解为yex(ciQecx)e2x3xex3故所求通解为y(GQx)eA,B3那么21,21,23r故所求通解为2令y22x原方程yexsin2x;相应齐次方程的通解为yexgcos2xc2sin2x)令y
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