多边形内角和学习要点

多边形内（外）角和学习要点多边形的内角和与外角和是多边形的重要内容之一，其中蕴涵着丰富的数学思想和众多的知识，我们在学习中要注意归纳和总结：一、理解内角和公式的推导理解公式的推导，弄清它的来龙去脉，可以加深对公式的理解与掌握，并且能从中学到许多常用的方法．（一）对于边形的内角和公式：边形的内角和，其常见推导方法有如下四种：方法一：从一个顶点出发引边形的条对角线，把边形分割为个三角形（如图1所示），则这个三角形的内角和的和就是边形的内角和，从而得到边形的内角和；方法二：在边形内任取一点，然后把这一点与各顶点连接，将边形分割为个三角形（如图2所示），这个三角形的内角和的和比边形的内角和多出了一个周角即，因此，边形的内角和A4A3A4A3A2A1AnA5PA4A3A2A1AnA5AnA5A4A3A2A1PA4A3A2A1AnA5P图4图3图2图1图4图3图2图1方法三：在边形的一边上取一点，把这一点与各顶点连结（如图3所示），把边形分割为个三角形，这个三角形内角和的和比边形的内角和多出了一个平角即，因此，边形的内角和．方法四：如图4，在n边形外取一点P（不在n边形任一边的延长线上），连接这点与各顶点，得到（n－1）个三角形（不含△A2PA3）．因为这（n－1）个三角形的内角和是（n－1）·180°，以点P为公共顶点的（n－1）个角连同∠PA2A3、∠PA3A2的和是180°（应去掉），所以n边形的内角和是（n－1）·180°－180°，即（n－2）·180°说明：1、不论是哪一种推导方法，都是考虑如何将多边形转化为三角形，以便能利用我们已熟知的三角形内角和．2、理解上面的推导方法关键之处有两点：（1）要确定转化后的三角形的个数与多边形的边数之间的关系；（2）要确定转化后的三角形的内角和与多边形的内角和之间的关系。3、四种方法也体现了一种分类思想，即点P与多边形的顶点重合，点P在形内，点P在边上，点P在形外。这些思想对于解决数学问题是极为重要的，希望同学们把它掌握好！（二）对于多边形外角和等于，其推导的关键是运用外角与相邻的内角互补，将外角和转化为内角和．二、挖掘公式的作用１．对于边形的内角和，在学习中要明确以下几点应用：（1）已知边数，可求得其内角和，如：12边形的内角和；（2）边数每增加1，内角和就增加，如：97边形内角和比95边形的内角和大；（3）如果已知边形的内角和，那么可以求出它的边数，如：已知一个多边形的内角和等于，求它的边数．首先我们可以运用公式列出方程，解这个方程，得．（4）多边形的内角和是180的整数倍。2．对于多边形的外角和，应明确两点：（1）多边形的外角和与边数无关；（2）多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果，三、掌握常用的数学思想1、化归思想：多边形内角和公式的推导是将多边形分割为三角形，将多边形的内角和转化为我们所熟知的三角形内角和来解决的．象这种把一个陌生的问题转化为熟悉的问题加以解决的思想，在数学中称为化归思想．运用化归思想可以把繁杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为直观的问题，把疑难的问题转化为容易的问题，把新问题转化为己经解决的问题，从而使不好入手的问题得以解决．2、方程思想和分类思想四、典例分析：例1、一个多边形的每个内角都等于，求它的边数．分析：若设边数为，由内角和公式，得，解这个方程，得．这是利用内角和公式求解．若从外角入手，易知每个外角为，又因为外角和为，故边数为（边）．ABABCDEFG12图1）（例2、如图1所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。分析：所给图形虽是由若干条线段首尾顺次相连而成，但不是凸多边形，因而无法直接采用凸多边形内角和计算公式求解，为此，可联结AD，将所求问题转化为三角形和凸多边形的内角和来求解。解：联DA，因为∠DGA=∠BGC∴∠1+∠2=∠B+∠C∵凸四边形ADEF的内角和为∠1+∠EDC+∠E+∠F+∠BAF+∠2=（4-2）×180°=360°所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°例3、如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小内角为100°，最大内角为140°，那么这个多边形的边数为多少？分析：最小内角100°，最大内角为140°，并且依次增加相同的度数，则多边形的内角平均度数为（10