小学奥数知识解析讲义

第一讲找规律填数(1)作业测试题ABC：(A级表示较低难度)A级★1、 仔细观察找出规律•再墳数。(1)2,5,8，( )；(2)1•6•7，12•13•()，();

(3)20，( )，12•8，4。2、 在空格中墳上合适的数。12:22:—r~1

» 4 5，4 533:;4 5:王B级★★★★:3、按规律填数。(1)2，3，5，8，12，();

(2)40，20，( )•5;(3)( )，17，15，13，( )04.想想、填墳。c级★★★★★:5、智力大比拼找出规律•"？"処应填几？参考答案:第1题(2)18、19(3)16骑2閱：铖44}严严产产5黨sffyy'sn骑3騮：(1)17(2)10(3)19

骑4瞍：(1)1922(2)16铖S騮：717一•题01:观察卜Ifij阌形的变化，找出阁形变化的规律，然后按照

这个规律在空格中画出应画的阁形。rAABB査看答案I姗看不消或变形，巧以点击阁片放大•题目2：观察下面困形的变化，找出ra形变化的規律，然后按照

这个规律在空格中_出应凼的阁形。nAB阁iB.B齊看荇案刪昏不洁或变形，可以点击阁片放大•题目3:观察F面图形的变化，找出图形变化的規律.然后按照

这个规律在空格屮画出应画的ra形。•，•，㊉㊉㈱阁1BB如阳肴不活或变形，町以点丄阉片放大•题LI4：现察卜闹阌形的变化，找出問形变化的規律，然后按照

这个规律在问号处画出合适的阁形。rAA®B⑷

oA

An®®ABB如阁看不消或变形，河以点击阁片放大AA査看答案如阁看不清或变形，巧以点击阁片放大火柴棒游戏（二）练习有3个正方形都是由8根火柴组成。现在只有把这3个正方形的位置变化一下z就可以多出4个小正方形。应该如何移动?O□O用9根火柴，怎样摆放，才能摆出6个正方形来?下图是用18根火柴组成的6个相等的正方形，拿掉其中的2根火柴，使它留下4个同样的正方形。下图是由15根火柴组成的图形。请你移动2根火柴，使它变成5个同样的正方形。解答:mrrH矢at只要点：把一些图形按照一定的规律排列起来/然后用白纸盖住其中一部分#你想要画出被盖住的部分,就必须仔细观察没盖住的图形，从中寻找规律.观察图

形的变化，可从图形的形状、位置、方向、数量、大小、颜色等方面入手，从中找出规律.1｝观察下列阁形的变化，想_想，按阁形变化的规律，在空白处应画什么样的阁形？这样思考：在方向上，图12画的是笑脸，只不过是数量上有增减;图2图4所画的虽不相同，但是数量和位置相同.从而我们确定，图3图4画的都是月亮，并且图3位置和数量都与图1相同.｛例2｝观察下列形的变化，按照规律补充完整.这样思考.•从左至右黑点的个数依次为4、3、2个，依此推断，

第四个圆里只有一个圆点;图1图3斜线的方向相同,那么图2图4斜

线的方向相同.答案:{(?!]3)按顺序观察下列图形的变化，然后按照规律在空白处墳上

合适的图形。这样思考:我们把第一幅图的星当作1号，方形是2号，三角是3号，圆是4号.第二幅图星是2号，第三幅图星是3号，依此规

律，第4幅图星是4号.其他三个小图形也会发现此规律.{(5!14}小红在院子里采了许多花，把它们整整齐齐的排列着.下面

这个空圈中应摆什么花？这样思考:仔细观察每份花朵的变化规律。从种类上看有两种花•它们依次交替出现。从枝数上看•1枝、2枝、2枝依次重复出现。答案:{(5!) 观察下面图形的变化，请你接着再画出一幅图来。这t羊思考.观察上面的图发现•横着看最下面一排的骨头每次

多一块•第二排的骨头也每次多一块，依次类推。从形状上看像

楼梯，第一幅图是1块•第二幅图是按照1、2的顺序排列•第三幅图是按照1、2、3的顺序来排列。那么第四幅图就是按照1、2、3、4的顺序排列。答案:•题口1：有一坫墙上的砖坏了一部分，现在谙你仔细观察排列规律，猜一猜要补上多少块同样的砖.才能把墙补好？A.A0BB杏看答案如阁看不洁或变形，可以点击阁片放大窗体底部•题口2：仔细观察，寺找规律.在问号处瑣上合适的图形*°A.A杏冇荇案如阁旮不洁或变形，可以点击阁片故大窗体底部•题U3：什细观察,寻找规律，在问号处墳卜.合适的ra形。OA.ABB可以点击阁片放大*题U4：什细观察,牙找规律，OA.A■曰口□■B曰□口BBnn7tr阁1如阁&不沾或变形,在方柅屮壞卜.合迈的闯形.杏看答案I如图看不治或变形,可以点击阁片放大•题百5：仔细现察，寻找规悚，在问弓•处堉卜.合适的阳形。AA査看答案I如阁看不治或变形,可以点击阁片放大第一讲 找规律填数(1)知识要点:一些数按一定的规律排列起来，让我们填上空缺的数,就需要我们仔细观察前后两个数或间隔的两个数之间的关系,依据这有规律找到并填出空缺的数。例题解析:例1 根据规律墳数2,4,6,8.( )•();卜4,7，().();(3)30•25，20，().这样思考：这样思考：( (1)在这列数中•后一个数比前一个数多2•根据这个规禋•括号里应填和12•(2)在这列数中•后一个数比前一个数多3•根据这个规律•括号里应墳10和13。(3)这道题是前一个数比后一个数多5•(或者后一个数比前一个数少5•)根据这个规律•括号里应该墳•所以括号里墳15。例2根据规律墳数(1)30.28.26•()，()，()；(2)1，3,6，().()；(3)15•20•25•( )•( )•().这样思考：这样思考：((1＞在这列数中，前一个数比后一个数多2•根据这个

规律，括号里应墳24'22和20。(2(2)在这列数中，第一个数加2是第二个数•第二个数

加3是第三个数，依次规律•括号里应填10和

15'在这列数中，前一个数比后一个数少5，根据这个规律，括号里应墳30、35和40。例3请你认真观察•找出规律再填数。这样思考：规律是每个图形里的3个数相加的和都是12o例4找规律，在空格里墳上合适的数。这样思考:第一个三角形周边的三个小三角形中，2、3、5三个数相加的和•与中间小三角形中的数相等•都

是10。可知：每个三角形周边三个小三角形里的数相加的和就是中间小三角形里的数•就是10。也就是说，中间小三角形里的数连续减去周边两个三角形里的数的差•就是第三个小三角形里的数。根据这一规律，第三个三角形里，右边小

三角形里的数是:10-1-4=5;第四个三角形里•上面的小三角形里的数是：10-7-3=0。例5这样思考:这道题可以有多种填法，可以从大到小填数，也

可以从小到大墳数，两个数之间可以相差1，也可以相差2、3、4或5。按规律填数10知识要点I小朋友,有些图形的变化比较复杂，不能一下看出它们

的变化规律，我们必须仔细观察，从它们的大小、方向、

位置、顺序、色彩等变化多角度的分析、比较、找出规律

后，再按规律填出图形来。例1仔细观察，"？"处填什么图形？■这样思考：竖着看，左边的图形状相同只是颜色不同,依照这个规律右边的图形状也相同。横着看第一排圆形的颜色相同，所以第二排圆形的颜色也相同。答案例2仔细观察，"？"处填什么图形？0?舉这样思考:第一排箭头分别向左、向上、向右，第二

排与第一排规律相同,所以第三排问号处箭头应向右。答案例3仔细观察，"？"处填什么图形？这样思考：第一排都是三角形，第二排都是圆形I依此规律，第三排是正方形。由于左边个数都是四个，那么右边的规律都是一个.答案例4先看一看9个小雪人的排列规律，再将答案填入空

白处。这样思考：一共有三种颜色的小雪人/分別是黄色、

紫色、绿色。依此规律，第三排缺少绿色的小雪人。例I5仔细观察，寻找规律，在空白处填上合适的图形.▲O□■1O△■(1)□■⑵(3)■⑷⑸⑹这样思考:一共有四种图形，分别是正方形、三角形、长方形、圆形，根据长方形第一排在第四个，第二排在第三个•第三排在第二个，第四排在第一个的这个规律，第二排空白处就是正方形。第三排是圆和三角形，由于三角形已经排过第一和第二的位置，这次应在第三的位置，第四就是圆形。第四排照此规律分别是正方形、圆形、最后是三角形。⑴■⑵△⑶O答案(4)■⑸O⑹△看谁算得巧（一）知识要点:凑整求和重点及难点:灵活地逬行凑整我们知道，学数学.离不开算。要想学好数学.首先要会算，也就是能正确地算出结果:其次要算得巧、算得快。在一年级学习一位数加法时，我们曾学习过凑十法.现在我扪在计算两位数的加法时.也可以采取类似的方法，把其中的一个两位数凑成几十。

例1:计算：38+47K这样想：为了把38凑成40，我们可以把47分成2

和45•然后把38和2先相加凑成40•再与45相加。38+47=38+2+45=40+45例2:计算：19+27+21+13这样想：观察箅式中的4个加数，我们发现这4个加数的个位数字有这样的特点：9+1=10，7+3=10•即两数

相加和是整十数。整十数相加比较简单，所以我们可以把

能凑成整十数的两个加数先相加•用小括号将其括起来•

表示计算时先要计算括号中的两数的和。19+27+21+13=(19+21)+(27+13)

=40+40=80例3:计箅:9+19+29+39这样想：观察算式中的各个加数，容易发现每个加

数的个位数字都是9•我们可以给每个加数都加上1•使其

变成整十数，然后计算这些整十数的和，最后再减去多加

的1。9+19+29+39=10+20+30+40-4=100-4=96第十讲单数和双数(1)知识要点:1、3、5、7、9...叫做单数，2、4、6、8、10...叫做双数。一个数2个、2个地分，正

好分完.这个数就是双数。2个、2个地分完之后，还

多1个，这个数就是单数。单数与双数相加、减有如下特点：(1)双数与双数相加、减，结果为双数；⑵单数与单数相加、减，结果为双数；⑶单数与双数相加、減，结果为单数。L例1］前十个自然数:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的和是单数还是双数？分析：由题可知道5个单数1+3+5+7+9相加，等于单数;5个双

数2+4+6+8+10相加.等干双数。单数+双数=单数，所以前十个

自然数的和是单数。［例2］晩上小华在灯下写作业.突然停电。小华去拉了两下开关.

这时爸爸回来后，又到小华房间拉了三下开关。等来电后，小华房间

的灯是亮的还是不亮的？分析:我们画一个表来找规律。原来灯拉1下拉2下拉3下拉4下亮不亮亮不亮亮从上看出:拉单数次.灯不亮。拉双数次，灯亮。所以一共拉了2+3=5（下），灯不亮。[例3]—只小靑蛙在小河的两岸来回的游，从一岸游到另一岸叫

游一次。请回答下面问题：⑴如果小青蛙在左岸，游若干次之后，又回到了左岸，那么这只小青

蛙游的次数是单数还是双数7⑵如果小靑蛙在右岸，来回共游101次，小青蛙最后到了左岸还是到

了右岸？分析:⑴如果小青结又回到了左岸，那么这只小青蛙游的次数是双数。

因为游一个“来回”即游两次，是双数，游若干个“来回”就是若干个双

数相加，所以游的次数是双数。⑵来回共游101次.说明小青蛙游的次数是单数次，那么小青蛙就应由右岸到了左庠。[例4]9个小朋友做运球游戏。第一个小朋友把球从操场东边运到

西边，第二个小朋友接着把球从西边运到东边，第三个小朋友又接着

运下去 .....最后球在东边还是在西边？分析:由题可知道第一个小朋友的球运到西边，第二个小朋友的球运

到东边，这说明单数次在西边，双数次在东边。那么9个小朋友是单

数.所以最后球在西边。[例5]3张连着的单号电影累，座位数目相加是27,这3张电影累

的座位分别是几号？分析：由题可知道3张连着的单号电影累，座位数目相加是27.我们可以把他们当成3张相同的电影累.那么9+9+9=27。又由干3张是连着的单号电影累，因此9—2=7,9+2=11,这3张电影累的座位分别是7号、9号、11号。-Si第六讲等差数列求和（一）小朋友仍，还记靜猶］剪一讲辦容吗——数中的级律。那么对于一列視律的数列我仍龙么来求和呢?上一讲m利用舰求和的方法能热很快解决一部分求和的_，但是•菩東式痒£杂点哭该方样來源决《?费们这一讲來分绍一秩更俠遵简单易懂的方法/我们先来认识什么是等差数列.如：1+2+3+……+

49+50;2+4+6+……+98+100。这两列数都有共同的规律:毎一列

数从第二项开始，后一个数滅去前一项的差都相等（相等差又叫公差）o像这样的数列我们将它称之为等差数列。我们再来掌握两个公式，对于等差数列.如果用字母S代表没一列数的和.字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母II代表项数（加数的个数），那么S=（a+b）xn-2。如果n不容易直接看出,

那么可用公式来计算出来:n=（b-a）-d+l典型_例【1】求1+2+3+……+1998+1999的和。分析首项a=l,末项b=1999r项数n=1999o解 S=(a+b)xn-2=(1+1999)x1999-2

=2000x1999-2=1000x1999=1999000例【2】求111+112+113+……+288+289的和。

分析 首项a=lll,末项b=289,公差d=l，项数n=(289—ll1)+1+1=178+1=179。解 S=(a+b)xn二2=(111+289)x179+2=400x179-2=200x179=35800例【3】求2+4+6+……+196+198的和。分析首项a=2,末项b=198,公差d=2.项数n=(198—2)

-2+1=98+1=99。解 S=(a+b)xn-2=(2+198)x99-2=200x99二2=100x99=9900例【4】求297+294+291+……+9+6+3的和。分析297+294+291+……+9+6+3=34-6+9+……+291+

294+297,对于重新排列的这列数.首项a=3,末项b=297,公差

d=3,项数n=(297—3)-3+1=98+1=99。解 S=(a+b)xn二2=(3+297)x99-2=300x99-2=150x99=14850例【5】求5000—124—128—132—……一272—276的和。分析5000—124-128—132- -272-276=5000-(124+128+132+

+272+276),对于124+128+132+ +272+276,可以利用

等差数列的求和公式先计算出来.a=124,b=276,d=4,n=(276-124)-4+1=38+1=39O所以：124+128+132+ +272+276=(124+276)x39-2=400x39-2=200x39=7800对于简单的整数等差数列求和，要功结熟练掌握其求和公式和求项数的公式。区分a,b，d代表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换.才能使得后项滅去前项等差。第十二讲等量代换小朋友仍一定都知道曹冲(曹操的儿子)称大象的故事吧。曹冲用

一条船,让大象先上船.看船被河水水面淹到什么位置，然后刻上見

号。把大象赶上岸,再把么条船装上石灰,当船被水面淹没到记号的位渤、L就可以判断:船上的石ik共有多重,大象就有多重。为"么大象的重量可以叛成一船石做的重量P尼?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一铁。只有当大象与一船石、一前重(重量相等)时，

船才会被淹没得一秩深。“曹冲称象’不是瞎称的,而是运用了“等量代椒”的思考方法:两

个完全相等的量,可以互相代叛。解决数学魏,经常会用封么种思考方法。例［1|©+@4-a=25 ……(1)□=◎+◎+◎ ......(2)◎=? 口=?分析 把两个算式编号为⑴式、(2)式。把⑴式中的□用⑵式中的三个◎代换.可得◎+◎+◎+◎+◎=25

也就是©><5=25解 ©=25+(2+3)=5□=5+5+5=15例12]根据下图，求最大的球的克数。(1) (2) (3)分析先比较上阁（1）中天平两端.容易看出4个小黑求的重

量恰好等于砝码的重量48克。由图⑵可知，3=£）Q这样可

求出小白球的重量。算出小白球的重量后，由阁（3）又可以算出最大球的重量。解由干0=48和30=20，可算出0=48x3+2=32（克）。

答:最大球的重量为:32x4=128（克）例[3] 百货店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个紙箱里。如果2个紙箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想:毎个木箱和

毎个紙箱各装多少双球鞋？分析根据“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换

成纸箱.也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装.不用木箱装。根据已

知条件.2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样.题目就变为“把300双球鞋平均

装在10个纸箱里，平均毎个纸箱装多少双球鞋可以求出毎个纸箱

装多少双鞋，也就能求出一个木箱能装多少双鞋。解 300t（2x2+6）=300+10=30（双）30x2=60（双）答:毎个紙箱里装30双球鞋，毎个木箱里装60双球鞋。例|4】如下图.淡黄色部分是正方形，求出最大的长方形的周长。5厘米 CD

V 7厘米分析因为阁的中间是正方形，正方形的4边相等，所以DF=FE=BE=BD (1)长方形ABCD的周长为7x2=14(厘米)，长方形EHGF的周长为5x2=10(厘米)，又因为最大的长方形AHGC的周长等于：AB+AC+CD+DF+FG+GH+EH+BE (2)根据(1)对(2)式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周氏正

好等干长方形ABCD的周长加上长方形EHGF的周长。解7x2+5x2=24(ffi米)答:图中最大长方形的周长是24厘米。例[5] 如果鱼尾重4千克|鱼头重量等干鱼尾加上皇身一半的里量，而鱼身里量等于鱼头加鱼尾的里量。问这条鱼有多少千克7分析依题意列出下列等式：尾=4 ……⑴头=尾+身4 ......(2)身=头+尾 ......(3)由于等式左右两边同乘以一个数.结果仍相等，所以把(2)式两边同乘以2得：2头=2尾+身 ……(4)把(3)式代入(4)式得：2头=2尾+头+尾解头=3尾=3x4=12（千克）

身=头+尾=12+4=16（千克）、

全鱼=头+身+尾=12+16+4=32（千克）

答:这条鱼有32千克。俟在进行等量代换时，我们通常要把题目中的

等量关系或图中的相等关系（天平平街就是一种等量关系）转化为等

式.并把这些等式按顺序编号，再互相代换。 第十三讲还原问题还原问题是t旨题目给出的是一个数约选某些变化后时克果,要求原来的数的科题。解答这一类的河题时，要根据逸意,麵通h

果出I抓住逆运算关系,由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算,逐步靠1已知条件,麵口J题得到解决。餅苔还展问题时，如果列蘇合算式,要注意括号的正确使用。典型例题例【1】三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剰32本。小图书箱原有图书多少本？分析经过两无澄出图15,功图V最后'&剩32本15。由此可以往前推算第2天没借出43本前（也就是第1天彦出图书后人

应.有（32+43）本^再根据“第1天借出了存A的一半’:可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半.即相当于第1天借出的本数。这样，小風％箱原有的份％本数可求得。解第1天借书后还_的本数:32+43=75（本）

原有图书的本数:75x2=150（本）綜合算式:(32+43)x2=150(本)答:小图书箱原有图书150本。例【2】某数加上5,乘以5.減去5,除以5.其结果等于5。求这个数。E2S3分折从后往前推,原来是加法,推回去是减法:原来是减法,推回去是加法，原来是乘法.推回去是除法;原来是除法,推回去

是乘法。从最后一步推起，“除以5,其浩果等于5”可以求出被除数:5乂5=30;再看倒数第2步“减去5”得25,可以求出被减数:25+5=30，然后看倒数第3步“乘以5”得30・可以求出被乘数:304=6;最后看第1步“某数加上5”得6,某数'）、｝6-5=1。解5x5=2525+5=3030+5=66-5=1答:所求的数为1。例D】小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123。正确的结果应是多少？0353姗要求正确的和,就要知道两个正确的加数。截ItH的加数是39,因此得娶糙後的和是123。根据逆运算可得到一个没看

错的加数是123-89=84,题中已知一个正确的加数是85,所以正确

的和是85+84=169把个位上的5看作9,相当干把正确的和多算了4,求正确的和应把4减去，•把'佚为上的S看作3,相当于把正确的和少算了50,求

正确的和柯.把50加上去。这样，正确的答案123+50-4=169O

解一123—39+85=84+85=169解二9-5=480-30=50123+50-4=169答:正确的答案是169。例【4】仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？ESE3薇如果第二天純好售出剩下的一半,就似是(19+12)吨。第一天售出以后剩下的吨数是(㈧+11)x1＜以下笑推。解（19+12）x2=62（吨）（62-12）x2=100（吨）答:这个合库原有大米100吨。小结还原问题是逆解应用题。一般根据加减法或乘除法的互逆运算关系，由题目所叙述的顺序倒过来思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。第七讲合理分组知识要点：小朋友们巳学习了加、减运算。有些题,巳经列好算式，要求你把所给的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目，小朋友要仔细

观察.找出题中的规律，并能大胆进行尝试。［例1］把2、3、4、5分别填入□中,（毎个数只能用一次）:分析:根据2+5=3+4,可以有以下几种填法:2+5-3=4;2+5-4=3;5+2-3=4;5+2-4=3;3+4-5=2;3+4-2=5;4+3-5=2;4+3-2=5.［例2］把2、6、7、8、9和14分别填入括号中，（毎个数只能用一次）,

使两个算式都成立：(D()+()=();®()-()=().分析:通过观察，发现2、6、7.8.9和14这六个数可以分成下面两

组:第一组:2、7、9:第二组:6、8.14.毎一组中，最大的数等于其余两个数的和，因此，根据加、减法之间的关系，有以下4种填法：(1)①(2)+(7)=(9);

@(14)-(6)=(8).

⑵①(7)+(2)=(9);

@(14)—(8)=(6).(3X1)(6)+(8)=(14);9)-(2)=(7).

_(8)+(6)=(14);

®(9)一(7)=(2)［例3］在1、2、3、4、5之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一

个数）.使他们的和等于60。分析:我们发现要想得到60,这里最大的两个数是4、5,合起来是45,再添上15等于60,剰下1、2、3之间只有12+3=15,因此答案是:12+3+45=60。［例4］请你把下面钟面用两条直线分成三份.使毎份数相加的和都相等:分析:我们发现钟面上1.2.3.4、5、6、7、8、9、10、11、12排列有规律:1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7。这12个数可以分成下面三组:第一组:1、2、11、12;第二组:3、4、9、10;第三组:5、6、7、8。分析:通过观察，发现要想得到一个两位数.有哥能是12、 13、17、18、19o0、1、1、3、7、8、9这7个数中，要想两数相加得13、 18、19不可能.那么只剰下9+3=12.8+9=17。如果9+3=12,剰

下《、7、8不可能组成一个两位数减一位数等干12的算式。如果8+9=17.剰下0、1、3刚好组成20-3=17。因此:8+9=20—3=17。第九讲火柴棒游戏（二）在第二讲我们学习了用火柴棒来摆数学算式，从中也发现了?多规律和乐趣,这讲我fl］又来学学用火柴棒来摆摆各种图形。如果拿掉或者移动火柴，就可以变成其他图形，非常有趣。我们一起来试一试。♦典型例题例［1】用6根火柴，照右图摆成1个三角形。

要把这个三角形变成六角形，只准移动4根火柴,

应该怎样移动？分析下图中三角形的每条边上有两根火柴棒，要将三角形变成六边形，每边上只能有1根火柴棒，所以应该这样移动:例［2］请你只移动3根火柴把3个三角形变成5个三角形。變餐分析3个三角形用了9根火柴，要变成5个三角形，需

要用到15根火柴，这样少了6根火柴。因此，变成的三角形中一

定要使6根火柴重复使用。解可以这样移动：用24根火柴棒能组成右边的图形。拿掉几根火柴棒可以变成新的图形。囲(1)拿掉8榷火柴，使它只留下2个正方形。(2) 拿掉6榷火柴，使它只留下3个正方形。右图是由4个小正方形组成的正方形。现在要移动3根火柴，使它变成3个相等的正方形，应该怎样移动?

田概分析可以这样想：4个小正方形一共有12根火柴棒组

成，要使它变成3个相等的正方形，那么每个正方形就应该有4根

火柴棒组成，并且没有重复。解见右图。tfb结从给出的火柴棒组成的图形中拿掉几根火柴，变成新的图形。如果图形变少了，我们可以直接拿掉多余

的几根火柴：如果图形増加了，我们要考虑让火柴重复使用，这样可以増形的个数。第二讲火柴棒游戏（一）小朋友.火柴棒是我们家家都有的生活用品，用火柴棒做游戏简

便易学。用火柴棒可以摆成下列数字和运算符号：■h5今Ez3$1T7H4Hx■9□□X +X+1—=:大家喜欢这样的游戏吗？在这一讲里，我们要用火柴棒去探索变

化无穷的数字世界，在有趣的游戏中，变得更聪明。破’餐典型例题例1下面是用火柴棒摆成的算式.伹这个算式是不成立的。只

要移动1根火柴棒，算式就成立了。你会移动吗？IE+IE-T-D分析 在这个算式中，左边的H•算结果是20,右边的结果多了20,我们可以让左边的两个加数的和减少10,让减数增加10.这样一共减少了10.等式就相等了。

解法一可以这样移动:解法二也可以这样想:从左边拿出多的一个10放到右边:5md15+5-1叫口例2 用4根火柴棒可以分别表示一些加减运算符号.然后把这4根火柴棒放到数字1至9中间去，使最终的计算结果等于100。分析 我们可以这样想:用4根火柴槔可以组成2个“+”号、4个“一”号,或者1个“+”号、或者1个“+”和2个号:再看结果100,它可能是和或者是差。经推理.只能用4个火柴棒组成1个“+”

和2个“一”号，才能使结果等于100o解日3二旧口例3请在下面算式上再加上一根火柴棒.使它成立。15。E=昍分析左边的结果是90,右边是96,相差6,将15改为16,结果

就增加了6,正好相等。解E-5-35例4下面方格里的数字.都是用火柴棒组成的。i青你移动其

中的1根火柴.使毎一横行和竖行里的数字相加的和都相等。151曰15分析3个横行的数字和分别是10,16,10,3个竖行的数字和

分别是8,18.10.相等的和上10.那么肯定要将第2行的前两个数字进行调整O、51——日口15曰□E1[513小结用火荣棒拼成算式,要根据火荣律组成的数的

特点和算式的特点来做。我仍可以根据算式中给出的数的特点,脉

柴棒排成的数字拿走或添上火柴棒，变成另一个数,或改兔一个运算

符号.就可以使算式成立。第十讲倍数问题小朋友仍，炊见过关子磨_问题吗?那么,你知道什么是倍y问题吗？磨兹何题是指已知一个数或者几个数的和（差）及相互之间的倍数关系,求其中一个数或者几个数的Wi。它包括求1倍数或几焙教问题、初梦问题、差涝问题象现在测'J巍采学习这三类公较简

单物苦細题。典型例题、、求1倍数或几倍数例【1】果园有苹果树1200棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。梨树有多少棵7分析根据觀意，可以画出後苹果树：由“梨锐的棵数比苹果娥的2倍多80棵”可知:苹果蜿的棵数是1倍数（1200棵）,梨賊的棵数比苹果械的2倍多80棵,先求出苹果

娥棵数的2{$（1200棵乂2=2400棵），再求比它多80棵的数。解1200x2+80

=2400+80=2480（棵）答:梨树有2480棵。例【2】果园有梨树2480棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。苹果树有多少棵？分析根鵬意.可以画出'改段份:苹果树梨树：2倍 80棵由“梨械的棵数比苹果械的2倍多80棵”可知，苹果械的棵数是1倍数，梨桃是2480棵,减去多的80棵,正好是苹果械棵数的2倍。求1倍数用除法.由此可以求出苹果破的棵数。解（2480—80）+2=2400+2=1200（棵）答:苹果树有1200棵。小结解答求1磨拗f/Z釣找涧题时，_要注意分素

是厲干求几倍数还老求1倍数亂求几倍多几或几倍少的量，都要先求出几倍数,然后再加或减,即先乘再加或滅。反之，已知几倍多几或几倍少几的量,而求1倍数，应先M或加，求出几倍时热应量,

再除以倍数。、、 和倍问题例【3】学校图书馆有科技书和文艺书共2400本，文艺书的本数是科技书的4倍。两种书各有多少本？分析根鵬意.可以画出下面汝_:科技书本数文艺书本数?本 x—M熟中可以看出，把科技A的本数作为I倍数，文艺％的本数就

是它的4倍，那么2400本就相当干科技\\本数的(1+4)倍，由此可

以先求出科技仏的本数.然后再求出文艺\\的本数。解科技书的本数：2400+(1+4)

=2400+5=480(本)文艺书的本数：480x4=1920（本）或2500—480=1920（本）

以上解答对不对呢7可以检验吗？

检验:1920+480=2400（本）......和1920+480=4 倍数答:科技书有480本.文艺书有1920本。例【4】体育室有足球和篮球共76只，足球的只数比篮球的3倍

还多4只，足球和篮球各有多少只？分析把後球的只数看作I份，那么足球的只数就相当于^球

的3脈多4只。足球和恋球共76只.可以看作1球的4份就是76-4=72（只），这样篮球的只数是；（76-4）+（3+1）=18（只）足球的只数有两种方法求得：一种方法是知道足球和篮球共76只，篮球18只。可求出足球的

只数:76-18=58（只）另一种方法是知道足球的只数比篮球的3倍多4只，篮球18只,

可求出足球的只数:18x3+4=58（只）例【5】两箱鸡蛋共重72千克.如果从第一箱取出13千克放入第二箱，那么第二箱鸡蛋的重量是第一箱的2倍。原来第一箱和第二箱

各有鸡蛋多少千克？分析不管是从第一箱取出离蛋放入第二箱，也是从第二箱取出

僞蛋放入第一箱,两箱麵蛋的&重量为72千克,当从第一箱取出13

千克放入第二箱后.第二箱恥蛋的重量是第一箱的2倒•],第一箱賊蛋的重量是72+(2+1)=24千克，原来第一箱鸡蛋重量就是:72v(2+l)+13=37(千克)原来第二箱鸡蛋的重量就是:72-37=35(千克)d、结“和倍風题”的特点是:已知两个数的和与两个数風

的倍数关系，求两價各邊多少。廣签时，我仍采用代换的思路，用I

倍数去代替几倍数,看和相当于1倍数的几倍,即除以几,先求出1

倍数,然后再求出几倍数。_公式是:和4倍数+1)=1倍数1倍数*几倍=几倍数戚和-1倍数=几倍数第五讲锯木头知识要点：小朋友，你知道吗?一根木头锯成两截，

是锯一次还是两次呢？对了.锯一次就可以把一根木头锯成两截了，锯两次就可以锯成三截.那么.锯三次呢?四次呢？我们发现:段数=锯次+1。［例1］ 小朋友，张开手，五个手指人人有.手指之间几个“空”,请你仔细看一看？分析:见上图看一看，数一数可知:五个手指间有4个“空、‘空”又叫

“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。［例2］小朋友在一段马路的一边种树。毎隔1米种一棵，共种了11棵，间这段马路有多长？1分析:根据题意.这段马路的11棵树之间有10个“空”.也就是10个间隔。毎个间隔长1米.10个间隔长10米。也就是说这段马路长

10米。像这类冋题一般叫做“植树冋题”。可以得出一个公式：当两头都种树时:棵数一=间隔数［例3］把一根木头锯成3段，要锯几次？如果毎锯一次用3分钟,

一共要锯多少分钟？())))分析：由上图我们知道，要把一根木头锯成3段，实际只需要锯2次。

题中吿诉我们I毎锯一次用3分钟，所以锯2次需要3+3=6（分）。3-

1=2（次），3+3=6（分）。所以要锯2次，一共需要6分钟。［例4］小林家住在三楼，他毎上一层楼要走14级台阶，小林从一

楼走到三楼要走多少级台阶？分析:由上题我们知道小林从一楼走到三楼实际只走了两层楼梯，一

楼到二楼是一层.二楼到三楼又是一层，他毎上一层楼要走14级台

阶，那么一共要走14+14=28级台阶。［例5］时钟5点打5下，一共需要4秒钟。问中午12点打12下需

要几秒钟？分析:示意图。钟打一下用一个点代表，打5下035个点。间隔1秒

—*—.I • • • •

共用4秒 由上图我们知道，时钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，毎个间隔就是1秒钟。由此推理打12下时有12-1=11个

时间间隔.所以用11秒钟。看谁算得巧（三）知识要点:选用基准数和利用高斯求和逬行巧算重点及难点:选用适当的基准数当许多大小不同而又比较接近的数相加时，

我们可以迭择其中一个数或接近于这些数的整+数作

为计数的基础，所迭的这个数我们叫做基准数。再把大于基准数的加数分成基准数与某数的和，把小于基

准数的加数用基准数减去某数的差的形式表示，最后再利用加、減运算进行简便计算。例1:计算：11+12+13+14+15+16H这样想:上面算式中的6个加数都接近于10，我们把10当作基准数•每个加数都可分成基准数与某数的和。11+12+13+14+15+16

=(10+1)+(10+2)+(10+3)

+(10+4)+(10+5)+(10+6)=10x6+(1+2+3+4+5+6)=60+21=81例2:计算:16+17+18+19这样想:上面算式中的4个加数都接近于20，我們把20作为基准数，每个加数都可用基准数減去某数的差的形式表示。16+17+18+19=(20-4)+(20-3)+(20-2)+(20-=20x4-4-3-2-1=80-(4+3+2+1)

=80-10=70在拓展课堂中，老师曾经给小朋友讲过数学家高

斯小时候巧妙解题的故事，你们还记得他用了什么方法解题吗？下面我们就用髙斯求和的方法进行巧算。例3:计算:1+2+3+4+5+6+7+8这样想:我们发现：1+8=9•2+7=9•3+6=9•4+5=9•共有4个9。

1+2+3+4+5+6+7+8

=(1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5)

=9x4

=36例4:计箅:1+2+3+4+5+6+7这样想:首先•我们把加法算式抄下来•然后

再把这个算式倒着抄一遍，如下：1+2+3+4+5+6+7

7+6+5+4+3+2+1容易发现*两个加式上下相对的两个数相加的和

都是8•共有7个8•但是•7个8的和是两个

1+2+3+4+5+6+7的和•所以原加式的和等于7个8的

和的一半。1+2+3+4+5+6+7

二（1+7）x7+2

二8x7+2二56+2

=28还可以这样想:上面的算式有7个加数，其中4是中间的一个，我们可以把4当作基准数•每个小于基准数4的用基准数4减去某数的差的形式表示•每个大于基准数的用基准数与某数的和的形式表示。1+2+3+4+5+6+7=(4-3)+(4-2)+(4-3)+4+(4+1)

+(4+2)+(4+3)二4x7-3-2-l+l+2+3=4x7+0=28

［解题招术］其实.单数个连续的数相加.我们只要用

正中间的那个数（当作基准数）乘以加数的个数，乘

积就是这些加数的和。以例4为例，题中加数共有7

个，4是中间的一个.所以这些加数的和就等于4x7=28。小朋友，通过这一讲的学习，你有没有发现.其实很多算式都有不同的计算方法.你们要积极开动脑筋.找出最巧妙的方法。第十一讲考考眼力知识要点：小朋友都有一双明亮的大眼睛，你能通过仔细观察发现两个图形的相同点吗？发现图形之间的关系吗？这就要考考你的眼力了。［例1］从下图右边的图形里各选出两个，把它们拼成左边的图形:1 2 3 4 5□ANaZ1△>/~、［>△么分析：长方形是由1号和5号图形拼成的。三角形是由2号和4号图

形拼成的。［例2］仔细观察•哪幅图是大长方形中缺少的那一块？分析:观察长方形中缺少的那一块.有上下并列的两条黑线条和左右

并列的两条熏线条.从中穿过。因而只有图2符合这个要求。［例3］下面5个图形中，哪个与其他4个不同？分析:观察毎个图形都是由两个图形组成的，并且毎个图形是相同的，只是大小不同，只有第四个图形是由两个不同图形组成的.所以第四个图形是与其他4个不同的。［例4］下面这些图形.囑个能一笔画成？哪个不能一笔画成7日中rPn☆c§b田分析:能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成，第一排第三个图形不相连，所以不能一笔画成。［例5］下面有6幅图，请小朋友很快找一找，哪两个图相同？bpq<i(i)p1)(ld(2)b|P(4)分析:此题有一个巧妙的方法。可以先观察毎图中第一个字母是否相同.⑴、⑵、(3)、(5)这几幅图是第一个字母是相同的:再观察这4幅图中第二个字母，只有(1)、(3)、(5)这几幅图是第二个字母是相同的;接着观察这3幅图中第三个字母，只有(1).(5)这2幅图第三个字母是0!相同的;最后观察这2幅图中第四个字母也完全一样，所以只有(1)、(5)这2幅图是相同的。第一讲年龄问题知识要点:小朋友，你知道吗?今年你6岁，明年你几

岁？妈妈今年30岁，比你大24岁，明年妈妈比你大几

岁呢?这些年龄冋题在解答时要记住:毎过一年，毎人

年龄都要长大一岁.今年妈妈比你大几岁，再过些年，

妈妈还是比你大几岁.［例1］夏华今年7岁，他比爸爸小28岁，去年他比爸爸小多少岁?分析:根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年，夏华与爸爸同时滅去一岁，夏华仍然比爸爸小28岁.［例2］弟弟今年4岁，哥哥今年12岁，10年后，哥哥比弟弟大几岁？分析:根据题意，今年哥哥12岁，弟弟4岁，那么我们知道哥哥比弟

弟大12—4=8（岁）.10年后,哥哥的岁数是12+10=22岁.10年后，弟弟

的岁数是4+10=14岁.因此10年后，哥哥比弟弟大22-14=8岁.L例3］小青说:“3年后，妈妈比我大25岁妈妈冋：“5年前，你比

妈妈小多少岁?”分析：由上题我们知道.再哥比弟弟大8岁，10年后，再朞还是比弟第大8岁.由此我们可以这样想:既然3年后，妈妈比我大25岁，那么，5

年前，妈妈仍然比我大25岁，也就是我比妈妈小25岁.［例4］小林今年6岁，小红今年10岁，当小林的年龄和小红今年

的年龄一样大时，小红几岁？分析:我们知道，小林今年6岁，要想使小林的年龄和小红今年的年

龄一样大，那么小林就要再过4年才能和小红一样大.小林过4年，

小红也要过4年，即长大4岁，那么小红就是10+4=14岁.［例5］小芳今年5岁，3年后，小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁，李老师今年多少岁?分析:我们知道，3年后，小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁，那么3年前，小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁，又因为小芳今年5岁，李老师今年就是20+5=25岁.第四讲配对求和拉整数数列的计算）知识要点：配对技巧项数的确定小朋友奶，你听A德国著名数学家、物理学家和天文学家髙斯的欲拿吗?他从小就览颖过人还在他&岁_候，_给班上同学出

尸一遡:1+2+3+4十……+99+100=?8岁的高斯很快1出了得

数:5050。这个答案完全正确/S\\:老I巾吃惊的是,小高斯\\算的速

度如此快捷！那么.小高斯是用什么办法算得么么快的呢？原来,根

据所克算式的特点,他用了一种巧妙的方法—配坑求和。采用&种方

法,很多整数数列求和的城經都能迎刃而解了。例【1】分析1典型嫩计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10在这个算式中，共有10个数.将和为11的两个数一配对，可配成5对。123456789 10解法一1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11x5=55分析2将和为10的两个数一一配对，可配成4对，另加一个10,一个5。123456789 10解法二1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5+10

=10x4+5+10=55例【2】计算:11+12+13+14+15+16+17+18+19分析将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对.再加15。111213 14 1 16 17 18 19+12+13+14+15+16+17+18+19=(11+19)+(12+18)+(13+17)+(14+16)+15=30x4+15=135计算:101+102+103+104+105+106+107+108+109+110分析此题中每个数里都包含了一个100,可以把这10个100

分离出来，转化为例【1】解101+102+103+104+105+106+107+108+109+110

=100x10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)

=1000+11x5=1055例【4】 计算500-(11+13+15+17+19+21+23+25+27+29)分析 先用配对的方法计算11+13+15+17+19+21+23+25+27+2911 13 15 17 19212325272911+13+15+17+19+21+23+25+27+29

=(11+29)+(13+27)+(15+25)+(17+23)+(19+21)

=40x5=200解500-(11+13+15+17+19+21+23+25+27+29)=500-200=300有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根，第2层有13根……下面毎层比上层多一根（如下图）。这一垛电

线杆共有多少根？20层分析 因为这堆电线杆从第2层起，毎层比上面一层多一根,共有20层，所以，这垛电线杆的总数为：12+13+14+......+29+30+31=（12+31）x20+2=43x20-2=430（注:2（R2表示一共配成的对数，即和数为43的有20-2对）用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为功结乘法。要正确、合理地运用这种方法，首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的配对。有时.一串数的个数不是双数，就不能刚好配对,还留下一个数，要弄清这个数是几;有时，一串数虽然个数是双数，但为了计算简便，往往把其中两个或者几个数放在一旁，将其余数配对,使毎对中两数的和恰好是整十或整百数。弟四讲拼拼摆摆知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算式，i=随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的算式

成为正确的算式，你感兴趣吗？［例1］移动一根小棒，使下面的等式成立。SH+~I=!分析：左边结果21,右边是1,所以通过火柴棒的移动.使左边变小.

右边变大。我们试着把“+’’变为“一”.多出的这根火柴棒使“1”变成

“7”，等式成立。也可以把“14”十位上的“1”移到等号的右边.使等式成立。［例2］移动一根小棒.使下面的等式成立。IE~I0=E分析：只能移动1根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加减

号，使左边变成得数.右边变成算式。我们试着把“=”变为“一”.多出

的这根火柴棒使“一”变成“=”，等式成立。!己=旧-E［例3］你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗？4十Z-U分析：等式右边结果是8,可使左边变成9-1或7+1,9-1算式难以出

现9,可迭择7+1,这样经移动算式变为：14-7十l=X［例4］移动两根小棒.使下面的等式成立。丨十卜十卜十|=jHj分析：四个1相加，结果是141，和太大了，因此要想办法使和变小,加数变大，这样把141后面“1”窜到前面加数中任何一个“1”的前面，等式就成立。"十I十！十l=!H［例5］试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。||+||+||+||=^4分析：四个11相加，结果是224,和太大了，因此要想办法使加数变

大.这样分别把两个11里面都拿一个“1”到前面加数中.变成两个

“111”.这样等式就成立了。第五讲平均数问题在曰常生活中,我H常遇到这劈的情况:有几个杯子,里面的水有多有少。要想使杯中的水一秩多，就得把水多的杯子里的水倒一些

到水少的杯子里。经过反，刀沈直到几个杯子里的水一砖多。&就荖费们经常遇到的“移多补少’一也就是求平均数的沾题o+典型例题例[1] 小明在一学期的5次数学测验中的得分分别是95、87、92、100.96。求小明平均毎次数学测验的得分。今分析求出5次测验的免、分（,屏俟以测验的次数（5次人

就可以求出平均毎次的得分。解（95+87+92+100+96）+5=94（分）答:小明平均毎次的得分是94分。例12】甲地到乙地的全程是60千米。小红骑自行车从甲地到乙地毎小时行15千米，从乙地到甲地毎小时行10千米。求小红往返的

平均速度。今分析平均速度=公路程+弘的么路程是两个全程（60x2）,总时间萣去飾寸间与返回的城间的和。解 604-15=4（小时）60十10=6（小时）60x2v(4+6)=12(千米)

答:小红往返的平均速度是毎小时12千米。例13] 商店用30千克酥糖和20千克水果糖混合成什锦糖。毎千克酥糖8元.毎千克水果糖3元。毎千克什锦耱应卖多少元？分析用两种糖免、价的和除以两种糖&、千克数的和，就是

什蘇糖的售价。解(8x30+3x20)+(30+20)=6(元)答:毎千克什锦耱应卖6元。例⑷小英4次语文测验的平均成绩是89分.第5次测验得T94分。问她5次测验的平均成绩是多少？科分析先求出前4次访文脚儉.的包分，加上第5次的94分,

用S5沈则验的总分餘以测验的次教65次Z就得到平均毎次拠輪.

的鵬。也可腕钱求解:第5次94分比前4次的平均分89多5分,这

5分平均加给每次的89分(第5次也看作糾分),節賴次测验的

平均纖。解法一（89x4+94）+5=90（分）

解法二89+（94—89）+5=89+5+5=90(分)答:5次测验的平均成绩是90分。例［5】有5个数的平均数是20。如果把其中的一个数改成4,这时候5个数的平均数是18。求改动的数原来是多少？_分析 改动之前的么数和改动后的包数相差20x5-18x5=10,说明达个数比原来减少了10,原来的数是4+10=14。解20x5-18x5=104+10=14答:改动的数原来是14。例16】有甲、乙、丙3个数，甲、乙的和是90。甲、丙的和是82,

乙丙的和是86。甲、乙、丙3个数的平均数是多少7今分析由趣.目可以知道,90+82+86是2个甲、2个乙和2

个丙的和.也就是2个甲、乙、丙的和。再除以2就得到甲、乙、丙的

和.然后除以L就是这3个数的平均数。解(91>+82+86)十2=129129+3=43答：甲、乙、丙3个数的平均数是43。小结求平均数实际上是“移多补少”。解决这类问题有两种基本方法:可以用基本数量关系来求。总数量十总份数=平均数。也可以找一个基准，再移多补少。也就是:基数+相差数+份数。解决平均数问题也可以根据平均数求部分数。关键是根据平均数先求出几个数的和，再用平均数x次数（个数）=总和。第九讲趣味智力题（2）知识要点：小朋友，做数学题.毎一步都要有理由，要把道理讲清楚.说出来。［例1］姐姐比妹妹多6本书.于是姐姐给妹妹6本书，这时姐姐和妹妹的书一样多，对吗？【三分析：粗心的同学一看题目就回答一样多了，这个答案是错的，原因1=是没有好好审题.题目指出“姐姐比妹妹多6本书”，姐姐拿出6本,这时姐姐和妹妹的书一样多;接下来，再把这6本书给妹妹，这时妹妹就比姐姐多6本书了。所以姐姐和妹妹的书不一样多。［例2】甲工厂只有5个机器人，乙工厂与甲工厂的机器人相差6个。

乙工厂与甲工厂比较，哪个工厂的机器人多？分析：由题自可知道乙工厂与甲工厂的机器人相差6个，有两种可能.

一种是甲工厂比乙工厂人多，另一种是乙工厂比甲工厂人多。因为甲

工厂只有5个机器人，乙工厂比甲工厂少6个，不可能，只能是乙工厂比甲工厂人多。因此乙工厂有5+6=11个机器人。［例3］—件衣服要钉2个扣子.现有4件衣服和12个扣子，把衣

服都钉上扣子后，还剰多少个扣子？分析:想一想，把衣服都钉上扣子后，一共钉几个扣子。1件衣服要钉2个扣子.4件衣服就钉2+2+2+2=8个扣子，所以钉完后，还剩12-8=4个扣子。［例4］爸爸、妈妈、弟弟和我一起照相。妈妈在爸爸的左边，我在妈

妈的左边，弟弟在爸爸的右边。请你说出拍照时从左到右的顺序是怎样的？分析:首先妈妈在爸爸的左边，可排出:妈妈爸爸;再根据我在妈

妈的左边，又可排出:我妈妈爸爸;最后再根据弟弟在爸爸的右边.

可排出:我妈妈爸爸弟弟。所以，拍照时从左到右的顺序是：

我、妈妈、爸爸、弟弟。［例5］—个布袋里装了一些玻璃球，第一次拿一个、第二次拿二

个……这样毎一次都比前一次多拿一个，拿了8次以后，还剰下2个

玻璃球，这个布袋里一共装了多少个玻璃球？分析：由题我们知道:第一次拿一个、第二次拿二个、第三次聿三

个……第八次拿八个，1+2+3+4+5+6+7+8=36.再加上剰下2个玻璃

球，36+2=38个玻璃球，这个布袋里一共装了38个玻璃球。数字谜知识要点:猜谜语我们小朋友都喜欢吧。数字谜通常是给出一个算术运算的式子，但式子中都含有一

些图形、数字、字母、符号等，用它们来表示特定的

数字。要小朋友们动脑筋，想办法，找到这些图形所

表示的数。［例1］根据所给算式，请推算每个图形咅代表哪一个数:土47分析:根据加法之间的关系，先看个位•两数相加的和是7,其中一

个加数是5,就可以推算出另一个加数△代表的数是2;再看十位数,□

+1=4,可以推算出□｛弋表的数是3.这个加法算式是35+12=47.［例2］请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几？爱爰+爰9 6分析:根据加法之间的关系，先看个位要想等于6,可能有两种情

况:3+3=6,8+8=16.如果爱是3,十位不可能得到9.因此爱是8.这个加法算式是:88+8=96.I例3］请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几?数学+学学100分析:根据加法之间的关系，先看个位，要想等于0,可能有两种情况:0+0=0,5+5=10.如果"学’是0,十位0+( )=10呢哦们发现不可能得到10那么如果"学"是5,因为有进位所以十位5+()=9就可以了，可以推算出5+4=9,励D上进位正好是10.因此"学"是5,"数”是4.这个加法算式是:45+55=100.［例4】根据所给算式，请推算每个图形咅代表哪一个数:5★18分析:根据减法之间的关系，先看个位，两数相减等于8,可能有三种情况：9-1=8,8-0=8,13-5=8。如果第一种情况*=9,十位5-9不可能；如果第二种情况女=8，十位5-8也不可能:那么☆只能是3,口=5/3-5不够，向十位借1,13-5=8。十位5退1是4,4-3=1。这个减法算式是:53-35=18。［例j5J请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几?数02学5学+好176分析：先从加法算式想起，个位上学+1=6,所以推算出"学"表示5:十位上，5+"好"=7,推算出"好"表示2,再看减法算式，减数个位上的"学"表示5,被减数的个位是0,不够减。也就是说这是一道退位减法题，这样，被减数的十位上只能是8,81是7,7-2=5,推算出"数’表示8。所以，数=8,学=5,第四讲算得快的奥妙(二)乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。乘法交换律：axb=hxa乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)乘法分配律：(a±b)xc=axc±bxc商不变的性质：a^b=(axc)4-(bxc)；a+/)=(a+c)+(/?+c) o,c0)除法的运算性质：=c)积不变的性质:ax/?=(a+<?)x(/>xc)I例I:4用简便方法计算下面各题444x25解法一:444x25

=(400+40+4)x25

=400x25+40x25+4x25

=10000+1000+100

=111000-还可以这样想：25是个特殊的数，它与4的相乘可以得到100,25与一个数相乘时|就要想办法能否从这个数中分离出4的因数来。444可以写成4x111的形式。解法二:444x25=111x4x25=lllx(4x25)

=111x100=111000解法三:444x25=(444+4)x(25x4)

=111x100

=111000以上解决方法是根据乘法中积不变的规律，把其中

—个因数25扩大4倍，另一个因数444缩小4倍，把数25转化成100,再与111相乘，这样就简便多了。目例2:★公

用简便方法计算下面各题:(1)36x11； (2)246x11一个数与U相乘，这个数个位上的数就是积个位上的数,个位与十位上的数相加的和就是积十位上的数这个数最高位上的数也就是枳最寓位上的数。即：人，6、因此:36x11=396这种允法岢以简单地称为“两头一拉.中间一加”。第二题246x11则会遇到新情况，即“中间一加”，如果哪一

位上满十就向前一位逬一。这个道理通过竖式可以看得很清楚。24611X246

~2462706

因此246x11=2706用筒便方法计算⑴2375+25(2)52000十125可以这样想:在除法里，如果除数是整百、整千的数，计算起来是比较方便的。为题中的除数25和125都是特殊的数，它们分别乘以4和8,就可以得到100和1000,为使商不变，被除数也分别乘以4和80(1)2375+25

=(2375x4)+(25x4)

=9500+100=95(2)52000-25=(52000x8)-(125x8)

=416000+1000=416目例4:j用筒便方法计算(1+23+34)x(23+34+65)-(1+23+24+65)x(23+24)把几个数的运算式子作力整体参与其他运算，是一种代换

思想。在本例中.第一个括号里是三个数的和，我们可以把它看

成是1与(23+24)两数的和，对这两个数使用分配律.同理.把

第三个括号里的数看成是1与(23+34+65)两数的和。服式=lx(23+34+65)+(23+34)x(23+34+65)

-1x(23+34)-(23+34+65)x(23+34)=1x(23+34+65)-1x(23+34)

=1x(23+34)+65-lx(23+34)加滅法中的速算和巧算的基本方法就是遑査逮。利用加法运算定律、则运算性质以及找准基数，可以在题目中凑出整十、整百、整千 .....的数，达到速算的目的。乘除法中地速算和巧算的基本方法就是利用乘法交换律、结合律、乘法对加減的分R律逬行巧算。另外，乘除法中也可以

用到逮整建，特别要注意象25,125这样特殊的数。w第五讲算式迷小朋友仍?你猜贿式迷叫?算式迷是由一些数字与算式构成

的。曰本人形象地称之为“虫食算？即算式中一些数字被虫子咬去了。

要想猜出算式迷.也得先分析达些数字和算式构成的“邀面’:再运用一

些推理方法找到“後底S▲ 典型纖例【1】将数字0、U3、4、5、6填入下面的□内，使等式成立.毎个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。数字0,1,3,4,6中只有3x4的个位数是2,前面几个以墳出来，3X4=12,余下的0.5,6要组成一个两位数除以一个一位数，商足12的除法算式，只能2604例【2】将数字1~9分别填在下面9个方格中，使算式成立。■+■=■⑴■-■=■ (2)■x■=■ (3)分析算式(1).(2)是加减算式。可填的数字较多。而算式(3)是

乘法算式，要考虑数字1〜9中.哪两个数字的积等于另一个数字.所

以先从乘法算式填起。乘法算式(3)中可以先填成2x3=6,余下的数字再分別填入(1)、(2)中。1+4=5,剩下的7,8,9不能组成(2)式。1+7=8,剩下的4,5,9能组成9-5=4,或9一4=5。1+8=9,剩下的I,7,8能组成8—7=1,或8—1=7。乘法算式(3)也可以填成2x4=8,那么：

1+5=6,剩下的3,7,9不能组成(2)式。1+6=7.剩下的3,5,9不能组成(2)式。3+6=9,剩下的1,5,7不能组成(2)式。所以.此题答案是:❶■（通-）■x|■=1■❹■（或■-■=■）例【3】把数字1~9填在方格里，使等式成立，毎个数宇只能用

一次。分析 一位数组成除法算式商相等的情况:4-2=6-3,6-2=9-3,8-2=4-1,所以可先填写等式中的前4个数。

如果先填4-2=6-3,剰下的1,5,7,8,9要组成一个三位数除以一

个两位数，商是23即所得的积的个位一定是个双数，只能填8。试验可知:79x2=158o如果先填8-2 =4-1，剩下的3,5.6,7,9不能组成一个三位数除以一个两位数、商是4的除以算式.所以等式中的前4个数不能填84=4-1。我们可以填4-2=6-3o解492B6E3gl58H79（第一种情况）23691745（第二种情况）例【4】用数字0-9组成下面的加法算式.毎个数字只许用一次.现巳写出3个数字.请把这个算式补充完整。分析观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位数字为lo因为算式中8已出现.故第一个加数的百位数字为9或7。如果第1个加数的百位数字为9,则和的百位数为1或2,而这吋1,2都已用过，所以第1个加数的百位数不是9。如果第1个加数的百位数字为7,则和的百位数字必须为0,且十位

必向百位进一.此吋1,0,4.2,8都已用过，还剩下9,6,5.3,这里只有一个双数.如果放在第2个加数或者和的个位，那么和或者第2个加数的个位也必须是双数，这样显然不可能.所以6只能放在十位

上，这样和的十位就是5,余下的分別填9和3。•(6)4+28⑩例【5】在下面算式的A内填入一个合适的数字，使算式成立。▲0()▲—5戶9

~1^93分析由干(12)—9=3,所以被减数的个位数字为2;再看十位，

由于9一(0)=9,所以減数的十位数字为0;再看百位，由干9一0=(9)，

所以差的百位数字为9;最后看千位.由于(7)-5-1=1,所以被减数的千位数字为7。解▲0()▲50jk9

iA93在做算式迷这类题时，首先要观察题目功结中的算式.看看它含有哪几种运算.要填的数是几位数.要填的数宇是否规定好了，还是可以任意填。其次是要熟练运用加滅之间、乘除

之间的逆运算关系逬行推理。先确定能够确定的数字，而且毎一步要把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后，所有的空格填完之后要检验一下.看看答案是否正确。3■^图形分与合把一个几何图形按照某种要求分成几何图形.就叫做图形的分

割。反过来，按照一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，

就叫做图形的拼合，在日常生活和生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的冋题。当你感到分割或拼合图形有困难时，请记住:最好的方法是动画一画,剪一剪，拼一拼。R典型織例［1］把一个正方形分成形状，大小相等的4份，该怎样分呢？分析把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。另

外.还要考虑把图形分成形状，大小相同的不规则阁形，而这些不规

则的部分又要恰好能拼合为原I冬I。解有很多种分法，这里只列出/几种分法:（毎一块有相同的点数）.怎么分？例P]如下图，把一块地分给4个小组种植，形状大小要相同分析阁中共有20个点子，把它分成形状大小相同的4块吋,每块应有5个点子。每一竖行最多有4个点子，而最右端的4个点子

又是呈正方形排列的，因此，可以想到选择含有4个呈正方形点子，另加1个点子的图形作为单位进行分割。例［3］下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎

样拼？BzB分析这副拼板共有25个小正方形，如果能拼成一个大正方形，

那么这个大正方形毎边就有5个小正方形。根据图形的凹凸情况，可

以考虑把①和③拼在一起;再根据凹凸情况，依次拼上④、③、②。解例14J从上面6块图形中迭用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚线表示出拼的方法.并标上所迭图形的编分析 在给出的6块阁形中，先找到哪两块阁形可以拼成三角形、梯形，哪三块可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形.再结合要拼成阁形的形状、大小来选取小阁形拼合。解例［5］你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的3个、4个、6个、8个、9个、12个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。▲▲▲3个▲4个 6个▲▲叶9个 12个分析等边三角形是一个轴对称的阁形，它的3条边都相等，因

此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。解分法见下阁（分法不唯一）3个▲1个▲6个▲9个▲12个▲8个▲8个叶-功结无论是图形的分割还是拼合，都要结合所提

供图形的特点来思考。根据要求可以找出图形的对称点、对称轴等等，分割或拼合之后，检

验整体与部分的联系，看是否符合要求。同时，在进行图形分割和拼

合过程中，要学会动手剪剪、拼拼、画画、分分、动脑筋想想。第六讲新奇的算式除了上前面讲到的算式中所缺的数用方框表示外，还有的算式中所缺的数用文字或字母来表示。文字算式秘在解答时不但要运用前面所讲到的方法，而且要注意在同一道题中相同的文字或字母表示同一个数字，不同的文字和字母就表示不同的数字。謹例下面的加法算式中.相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求这个算式。FORTYTEN+TENSIXTY还可以这样想:学过英语的同学可以看出算式中英文是40+10+10=60o但这个特点对解题无任何解助.此字母间的特

点有：1.由个位Y+O=Y,则N+N=O或10。2.由十位T+0=T,则E+E+进位=10或0,逬位为03.或lo由千位O、I不同百位要向千位逬位。4.由万位F.S不同千位要向万位逬位。结论:因为特点2,所以个位没有逬位，则N=0,而E、N不同，所以E=5©2.由特点3.4,且百位最多逬2,I最小为1.所以0=9.I=lo3.由特点4,F+1=S,F、S可能是2,3;3,4;6,7;7,84. 由结论2R+T+T+K逬位)>22->试T=6R>9失败(0=9)T=7R=8X=3失败(F、f＞无法取值）T=8R=7X=4则F=2S=3得解。5.Y只能为6,因其他数字巳被使用。结果29786850

+ 8503丨46> 4vimun目例2:*i|下面的算式中毎一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，当它们各代表什么数字时算式成立。祝你好啊-好啊好

祝你好由于被減数的千位是“祝”，而减数与差的千位是0,所以“祝=1”至少是“祝你好”的10倍，所以“好啊好”至少是“祝你好”

的9倍，于是，“好”=9。再从个位数字看出“啊”=8,从十位数字看出“你”=0。确定下式中各汉字代表的数字.使算式成立:克匹林奥）奥奥林匹克林43匹克奥

3克

3克由于4与“克”的积为一位数“奥”，