中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及详细答案

中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及详细答案一、相似1.如图，正方形ABCD、等腰RtABPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.D C(1)①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF・AD；(2)若AP：PC=1：3,求tanzCBQ.【答案】(1)证明：①:四边形ABCD是正方形，「.AB=CB,ZABC=90°,「.ZABP+ZPBC=90°,「△BPQ是等腰直角三角形，「.BP=BQ,ZPBQ=90°,「.ZPBC+ZCBQ=90°「.ZABP=ZCBQ,「.△ABP^△CBQ,「.AP=CQ;②;四边形ABCD是正方形，「.ZDAC=ZBAC=ZACB=45°,•.・zPQB=45°,ZCEP=ZQEB,「.ZCBQ=ZCPQ,由①得△ABP^△CBQ,ZABP=ZCBQ•ZCPQ=ZAPF,「.ZAPF=ZABP,「.△APF-△ABP,APAF.二俨=AFrAB=AFrAD;ABAP(本题也可以连接「口，证4APF-△ADP)(2)证明：由①得△ABP^△CBQ,AZBCQ=ZBAC=45°,•ZACB=45°,AZPCQ=45°+45°=90°CCAtanZCPQ=i由①得AP=CQ,CQ_AP_1又AP:PC=1:3,AtanZCPQ=■ ,由②得ZCBQ=ZCPQ,atanZCBQ=tanZCPQ=.【解析】【分析】(1)①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABPM△CBQ,可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得ZCBQ=ZCPQ,再由△ABPM△CBQ可证得ZAPF=ZABP,从而证出^APF-△ABP,由相似三角形的性质得证；(2)由4ABPM△CBQ可得ZBCQ=ZBAC=45°,可得ZPCQ=45°+45°=90°,再由三角函数可a 1得tanZCPQ='，由AP:PC=1:3,AP=CQ,可得tanZCPQ=，再由ZCBQ=ZCPQ可求出答案.2.如图，点A、B、C、D是直径为AB的。O上的四个点，CD=BC,AC与BD交于点E。(1)求证：DC2=CE-AC；Ab(2)若AE=2EC,求之值；(3)在(2)的条件下，过点C作。O的切线，交AB的延长线于点H,若SAAc=%，△ACH求EC之长.【答案】(1)证明：:CD=BC，「.NDAC=NCDB，又VNACD=NDCE，「.△ACD-△DCE，AC_CL「• ，「•DC2=CE-AC；(2)解：设EC=k，则AE=2k，，AC=3k，由(1)DC2=CE-AC=3k2，DC=\'jk，连接OC，OD，VCD=BC，「.OC平分NDOB，「.BC=DC=Sk，VAB是。O的直径，」.在RSACB中，: \■. ‘. \ ，AD_「.OB=OC=OD=\'Jk，:・NBOD=120°，:.NDOA=60°，「.AD=AO，AAO(3)解：VCH是。O的切线，连接CO，・OC±CH.VNCOH=60°，NH=30°，过C作CG±AB于G，CG=-k设EC=k,.//CAB=30°,「• ■■■,又：乙H=NCAB=30°,「.AC=CH=3k,「.AH=\' ,-AHXCG=i\(X六;靖X与二队;丁S=. ,「.- - ,「.k2=4,k=2,即EC=2.△ACH【解析】【分析】(1)要证DC2=CE-AC,只需证△ACD-△DCE即可求解；(2)连接OC,OD,根据已知条件AE=2EC可用含k的代数式表示线段AE、CE、AC,由(1)可将CD用含K的代数式表示，在RSACB中，由勾股定理可将AB用含K的代数式表示，结合已知条件和圆的性质可求解；(3)过C作CG±AB于G,设EC=k，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将CG用1含K的代数式表示，根据三角形ACH的面积=・AH CG=91即可求解。3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是作，A作，A(0,2)和C(2\,0),点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连结BD,(1)填空：点B的坐标为；(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；DE(3)①求证：——；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y的最小值【答案】（1）纵区2）（2）解：存在，理由如下：7OA=2,OC=2\1'J,AG小tanzACO=£^=3,：.ZACO=30°,ZACB=60°①如图（1）中，当E在线段CO上时，ADEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC,ZDCE=ZEDC=30°,ZDBC=ZBCD=60°,△DBC是等边三角形，DC=BC=2,在RtAAOC中，---ZACO=30°,0A=2,/.AC=2AO=4,/.AD=AC-CD=4-2=2,・•・当AD=2时，△DEC是等腰三角形，②如图（2）中，当E在0C的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDE=15°,ZABD=ZADB=75°,AB=AD=2x/^>综上所述，满足条件的AD的值为2或2-W.（3）①如图，过点D作MN_LAB于点M,交0C于点N。A(0.2)和C(23,0),「•直线AC的解析式为y=-33x+2,设D(a,-33a+2),DN=-33a+2,BM=23-aZBDE=90°,ZBDM+ZNDE=90°,ZBDM+ZDBM=90°,ZDBM=ZEDN,---ZBMD=ZDNE=90°,「.△BMD-ADNE,「.DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.②如图（2）中，作DH^AB于H。图⑵在RtAADH中，;AD=x,NDAH=NACO=30°,「.DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,「.BH=23-32x,在RtABDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,「.DE=33BD=33-12x2+23-32x2,矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,「.y=33x-32+3:33>0,「.x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】（1）:四边形AOCB是矩形，「.BC=OA=2，OC=AB=，NBCO=NBAO=90°,.•・b（-,■■■■,r.，2）【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。（2）根据点A、C的坐标，求出NACO，NACB的度数，分两种情况讨论：①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC；②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，NDBC=NDEC=NCDE=15°,分别求出AD的长，即可求解。（3）①如图，过点D作MN±AB于点M，交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的更解析式，设D（a，-a+2），分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明△BMD~ADNE，然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解； ②如图（2）中，作DH±AB于H。设AD=x，用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。4.如图，抛物线•一口 二। ''与'■轴交于A,B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与1■轴交于点E,联接AD,OD.

(1)求顶点D的坐标(用含的式子表示)；(2)若ODLAD,求该抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与公OAD相似，求点P的坐标.【答案】(1)解：:•一八' 匕"一/’：' ■；.，・；， 」.顶点D的坐标为(4,-4m)TOC\o"1-5"\h\z(2)解：丁। !-："一-：11- -•••点A(6,0),点B(2,0),贝UOA=6,;抛物线的对称轴为x=4,.••点E(4,0),贝UOE=4,AE=2,又DE=4m,•由勾股定理得：一；、 ；一院.；,■：, .•-- ■又OD又ODLAD,•:" ' ,…,贝U■面;'飞,『—I：,解得：1.一'x'-人金+6v12•••m>0,,抛物线的函数表达式 ,(3)解：如图，过点P作PH±x轴于点H,贝必APH-△AME,rr - 0 N-7\, &承，在RSOAD中，, '、■ \,设点P的坐标为

当4APHs解得：x当4APHs解得：x=0,x=6（舍去）,@AAPHs△AMEs△OADg-7x+6-6,.••点P的坐标为.「父；解得：x=1,x=6（舍去）综上所述，点p的坐标为.或•【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点D的坐标；（2）要求抛物线的解析式，只须求出m的值即可。因为抛物线与x轴交于点A、B，所以令y=0，解关于x的一元二次方程，可得点A、B的坐标，则OA、OD、AD均可用含m的代数式表示；因为ODLAD，所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得工—工,将OA、OD、AD代入可得关于m的方程，解方程即可得m的值，则抛物线的解析式可求解；（3）△AME与工OAD中的对应点除直角顶点D、E固定外，其余两点都不固定，所以分两种情况：①当△AMEs△AOD时，过点P作PH±x轴于点H，易得△APH-△AME-△AOD，可得相应的比例式求解；②当△AMEs△OAD时，过点P作PH±x轴于点H，易得△APH-△AME-△OAD，可得相应的比例式求解。5.如图，在矩形ABCD中，上D=JV=4,点E是BC边上的点，口——连接AE,修；让修；让•交于点FA D（1）求证：二”飞二飞三（2）连接CF,求川一”•丁的值；AG（3）连接AC交DF于点G,求的值【答案】（1）证明：:四边形ABCD是矩形，

「.NBAD=NADC=NB=90°,AB=CD=4,;DF±AE,「.NAFD=90°,「.NBAE+NEAD=NEAD+NADF=90°,「.NBAE=NADF,在RtAABE中，•.・AB=4,BE=3,「.AE=5,在^ABE和合△DFA中，ZABE-^DFA"BAE二AE二AD△ABE^△DFA(AAS).(2)解：连结DE交CF于点H,•△ABE^△DFA,DF=DC=4,AF=BE=3,「.CE=EF=2,「.DE±CF,「.NDCF+NHDC=NDEC+NHDC=90°,「.NDCF=NDEC,在RtADCE中，•CD=4,CE=2,「.DE=2-、J,sinNDCF=sinNDEC=> \，(3)过点C作CK±AE交AE的延长线于点K,;DF±AE,「.CKIIDF,AG_Ab•••■ ，：，在RtACEK中，,j6「.EK=CE-cosZCEK=CE-cosZAEB=2x=616「.FK=FE+EK=2+=',AGAF~I6% - ——二=■=..【解析】【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得NBAE=NADF,在RtAABE中，根据勾股定理可得AE=5，由全等三角形的判定AAS可得△ABEM△DFA.（2）连结DE交CF于点H，由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4，AF=BE=3，由同角的余角相等得NDCF=NDEC，在RtADCE中，根据勾股定理可得DE=24，根据锐角三角函数定义可得答案.（3）过点C作CK±AE交AE的延长线于点K，由平行线的推论知AG_AbCKIIDF，根据平行线所截线段成比例可得 ’：，在RtACEK中，根据锐角三角函数定b义可得EK=，从而求出尸七代入数值即可得出答案.6.已知：如图，在RtAABC中，NC=90°,^O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且NCBD=NA.（1）判断直线BD与。O的位置关系，并证明你的结论;（2）若AD：AO=8：5,BC=2,求BD的长.【答案】⑴解：BD是。O的切线；理由如下：:OA=OD,「.NODA=NA丁NCBD=NA,「.NODA=NCBD,;NC=90°,「.NCBD+NCDB=90°,「.NODA+NCDB=90°,「.NODB=90°,即BD±OD,「.BD是。O的切线(2)解：设AD=8k,贝UAO=5k,AE=2OA=10k,丁AE是。O的直径，「.NADE=90°,「.NADE=NC,又:NCBD=NA,「.△ADE-△BCD,AE_BL10k_Bb.1,即,，： ，解得：BD='.所以BD的长是,【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质和已知得出NODA=NCBD,由直角三角形的性质得出NCBD+NCDB=90°,因此NODA+NCDB=90°,得出NODB=90°，即可得出结论；(2)设AD=8k,则AO=5k,AE=2OA=10k,由圆周角定理得出NADE=90°,△ADE-△BCD,AEBL ~ 得出对应边成比例，即可求出BD的长.7.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别交BC,AC于点D,E,连结EB,交OD于点F.(1)求证：OD±BE.(2)若DE=T；,AB=6,求AE的长.(3)若4CDE的面积是^OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由.【答案】(1)证明：连接AD,丁AB是直径，「.NAEB=NADB=90°,;AB=AC,「.NCAD=NBAD,BD=CD,|/| 1/1」.二二二「.OD±BE；(2)解：:NAEB=90°,「.NBEC=90°,;BD=CD,「.BC=2DE=2-小，丁四边形ABDE内接于OO,「.NBAC+NBDE=180°,「NCDE+NBDE=180°,「.NCDE=NBAC,;NC=NC,「.△CDE-△CAB,CE_DEEE_\6「.；一产二即入艮「.CE=2,「.AE=AC-CE=AB-CE=4(3)解：:BD=CD,-SACDE=SABDE';BD=CD,AO=BO,「.ODIIAC,「△OB~△ABE「△OB~△ABE,「.SAABE=4S△OBF」•S」•SAABE=4Saobf=6SaCDE-SACAB-SACDE+SABDE+"ABE=8SACDE「△CDE-△CAB,;BD=CD,AB=AC,BC_1「.“J二，即AC=-：/-BC【解析】【分析】（1）连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及CE_DE平行线的性质即可证明;（2）先证△CDE-△CAB得;产，，据此求得CE的长，依据平行线的性质即可证明;、△cde="bde ，证△OBF-、△cde="bde ，证△OBF-.ABE得$，二？二结合［J'.一「知、△abe=6,CDE，CDn1 CD1一）2二— - '，据此得出‘ 、-，结合S 严*1丁京 - 二据此知、△abe=4,obf，SACDS （'△cab=8"CDE，由4CDE-△CAB知・BD=CD，BD=CD，AB=AC知BC_1? \，从而得出答案.8.如图1,在四边形ABCD中，乙DAB被对角线AC平分，且AC2=AB・AD,我们称该四边形为“可分四边形〃，NDAB称为“可分角〃.图I 图I 图2 畜用图（1）如图2,四边形ABCD为"可分四边形〃，NDAB为“可分角〃，求证：△DAC-△CAB.（2）如图2,四边形ABCD为"可分四边形〃，NDAB为“可分角〃，如果NDCB=NDAB,贝1NDAB=°（3）现有四边形ABCD为“可分四边形〃，NDAB为“可分角〃，且AC=4,BC=2,ND=90°,求AD的长.【答案】（1）证明：:四边形ABCD为"可分四边形〃，NDAB为"可分角〃，「♦AC.2=AB•AD,ACAL「.?..,VNDAB为“可分角〃，「.NCAD=NBAC,「.△DAC-△CAB120(3)解：:四边形ABCD为“可分四边形〃，NDAB为“可分角〃，••・AC22=AB•AD,NDAC=NCAB,」.AD：AC=AC：AB,「.△ADC-△ACB,「.ND=NACB=90°,TOC\o"1-5"\h\z・•.AB=■--p- < ， 、/、,\o"CurrentDocument"AC'•/ 2「.AD=；二'：.故答案为 .【解析】【解答】(2)解：如图所示：丁AC平分/DAB,「.N1=N2,丁AC22=AB•AD,」.AD：AC=AC：AB,「.△ADC-△ACB,「.ND=N4,丁NDCB=NDAB,「.NDCB=N3+N4=2N1,:N1+ND+N3=N1+N4+N3=180°,」.N1+2N1=180°,解得：N1=60°,「.NDAB=120°；故答案为：120；AC【分析】(1)根据“可分四边形〃的定义，可得AC2=AB•AD,从而可得：'',根据对应边成比例且夹角相等可证^DAC-△CAB;(2)根据对应边成比例且夹角相等可证△ADC-△ACB,可得ND=N4,由NDCB=N3+N4=2N1,根据三角形内角和可得N1+ND+N3=N1+N4+N3=N1+2N1=180°,求出N1=60°,从而求出NDAB的度数；(3)先证△ADC-△ACB,可得ND=NACB=90°,利用勾股定理求出AB=\,由AC2=AB•AD,即可求出AD的长.二、圆的综合9.如图，OQ是^ABC的外接圆，点E为ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F,交OQ于点D；连接BD,过点D作直线DM,使NBDM=NDAC.(1)求证：直线DM是OQ的切线；(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.【答案】(1)证明见解析(2)2<3【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到OD±BC,再根据NBDM=NDBC,即可判定BCIIDM,进而得到OD±DM，据此可得直线DM是OO的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到NBED=NEBD,即可得出DB=DE,再判定、DBFs△d>4B,即可得至I」DB2=DF•D4据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接OD.•・•点E是4ABC的内心，，NBAD=NCAD，「.BD:他D,OD±BC.又：NBDM=NDAC,NDAC=NDBC,:.NBDM=NDBC,「.BCIIDM,「.OD±DM.又TOD为OO半径，「.直线DM是OO的切线.(2)连接BE.丁E为内心，，NABE=NCBE.丁NBAD=NCAD,NDBC=NCAD,「.NBAD=NDBC,「.NBAE+NABE=NCBE+NDBC,即NBED=NDBE,「.BD=DE.又TNBDF=NADB(公共角)，：,△DBF八DAB,，DF=DB,即DB2=DF•DA.DBDATDF=2,AF=4,「.DA=DF+AF=6,「.DB2=DF•DA=12,「.DB=DE=2、；3.【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.(1)如图1,在矩形ABCD中，点O在边AB上，NAOC=ABOD,求证：AO=OB；(2)如图2,AB是。O的直径，PA与。O相切于点A,OP与。O相交于点C,连接CB,NOPA=40°,求NABC的度数.图1. 肆【答案】(1)证明见解析；(2)25°.【解析】试题分析：(1)根据等量代换可求得NAOD=NBOC,根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知NA=NB=90°,AD=BC,根据三角形全等的判定AAS证得AAODM△BOC,从而得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角/POA的度数，然后利用圆周角定理来求NABC的度数.试题解析：(1);NAOC=NBOD「.NAOC-NCOD=NBOD-NCOD即NAOD=NBOC丁四边形ABCD是矩形「.NA=NB=90°,AD=BCAAOD=ABOC「.AO=OB(2)解：:AB是eO的直径，pa与eO相切于点A,「.PA±AB,「.NA=90°.又「NOPA=40°,「.NAOP=50°,;OB=OC,「.NB=NOCB.文:NAOP=NB+NOCB,「•/B=/OCB=1/AOP=25。211.函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6,0）、B（0,2）,点C（x，y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为—；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2，以（1）中的AB为斜边在右上方作RtAABM.设点M坐标为（x，y），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2<5【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtAABC，可知点C在以AB为直径的。D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+%；5，1+\/5），代入直线y=-x+m，可得m=4+2%：'5，即可得出x+y的最大值为4+25.详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的。D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，交x轴与E，如图所示，连接OD，CD.丁A（6,0）、B（0，2），「.D（3，1），「.OD=、,百至=<10，「.CD=<10.根据CD±EF可得，C、D之间水平方向的距离为%；5，铅垂方向的距离为%;5,「•C（3+%：5,1+、区），代入直线y=-x+m,可得：1+\；5=-（3+<5）+m,解得：m=4+2J5,「.x+y的最大值为4+2、：5.故答案为：4+2<5.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解.12.如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0,0),点A(\6,0)与点B(0,—<2)，点D在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C,且NC0D=ZCB0.(1)求OM的半径；(2)求证:BD平分NAB0；⑶在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为OM的切线，求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r=m2；(2)证明见解析；(3)点E的坐标为(手，).【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出0A和0B的长度，根据RtAA0B的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出NABD=NC0D,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABEM△HBE,从而得出BH=BA=2y2，从而求出0H的长度，即点E的纵坐标，根据RSA0B的三角函数得出NAB0的度数，从而得出NCB0的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：(1).••点A为(v6,0),点B为(0,—<2)「.0A=v60B{2・•・根据RSA0B的勾股定理可得：AB=2、12「.eM的半径r=1AB=、2.21(2)根据同弧所对的圆周角相等可得：NABD=NC0D丁NC0D=NCB0「.NABD=NCB0」.BD平分/AB0(3)如图，由(2)中的角平分线可得△ABEM△HBE，BH=BA=2、2•二0H=2X2—

J2=v,2在RtAAOB中OAOB<3「.NABO=60°「.NJ2=v,2在RtAAOB中OAOB<3「.NABO=60°「.NCBO=30°HE=-3=-3——.点E的坐标为（一3一，V2）在RtAHBE中,考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.13.如图，△ABC内接于。0，NBAC的平分线交。O于点D，交BC于点E(BE>EC),且BD=2%3.过点D作DFIIBC,交在RtAHBE中,考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.(1)求证：DF为。O的切线；F D(2)若NBAC=60°,DE=〃7，求图中阴影部分的面积.F D【答案】(1)详见解析；(2)9*3-2n.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到ODLBC,根据平行线的性质得到ODLDF,根据切线的判定定理证明；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH±DF于H,证明△OBD为等边三角形，得到NODB=60°，ob=bd=2%5，根据勾股定理求出PE,证明△ABE-△AFD,根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结0D,丁AD平分NBAC交。0于D,「.NBAD=NCAD,•••BD=CD，「.OD±BC,

「BCIIDF,「.OD±DF,「•DF为。O的切线;(2)连结OB,连结OD交BC于「，作BH±DF于H,丁丁NBAC=60°,AD平分NBAC,「.NBAD=30°,「.NBOD=2NBAD=60°,・•.△OBD为等边三角形，「.NODB=60°,OB=BD=2行,「.NBDF=30°,「BCIIDF,「.NDBP=30°,在Rt在RtADBP中，PB=<3PD=3,在RtADEP中，:PD=<3,DE=口在RtADEP中，:PD=<3,DE=口,••pe=v'(J7)2_Q3)2=2,「OP±BC,•.BP=CP=3,..CE=3-2=1,「NDBE=NCAE,NBED=NAEC,△BDE-△ACE,5=1：<7,AE：BE=CE：DE,即AE：•AE=7「BEIIDF,•△ABE-△AFD,5万―一HU——工

DFAD即DF12、57BEAE解得DF=12,在RtABDH中，BH=-BD=X；；3,「•阴影部分的面积=4BDF的面积-弓形BD的面积=△BDF的面积-(扇形BOD的面积-△BOD的面积)=1*12*V3—60"义(2⑥2—亘*(2<3)2=9、.-'3-2n.2 360 4【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键.14.如图，AB为。O的直径，BC为。O的弦，过O点作ODLBC,交。O的切线CD于点D,交OO于点E,连接AC、AE,且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是OO的切线；(2)若AF：EF=2：1,求tanZCAF的值.D 五【答案】(1)证明见解析；(2)—.3【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得到ZOBD=ZOCD=90°,根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据已知条件得到ACIIDE,设OD与BC交于G,根据平行线分线段成比例定理得到1 1AC：EG=2：1,EG=；yAC,根据三角形的中位线的性质得到OG=；yAC于是得到AC=OE,求得ZABC=30°,即可得到结论.【详解】证明：(1);OC=OB,OD±BC,「.ZCOD=ZBOD,在^COD与^BOD中，尸O</COD=/BOD,OD=OD「.△COD^△BOD,「.NOBD=NOCD=90°,「.BD是。O的切线；D(2)解：:AB为。O的直径，AC±BC,;OD±CB,「.ACIIDE,设OD与BC交于G,「OEIIAC,AF：EF=2：1,一一一1AC：EG=2：1,即EG=_Ac,2「OGIIAC,OA=OB,-一OG AC,11-OG+GE=—AC+—AC=AC,22「.AC=OE,一AC=—AB,2「.NABC=30°,「.NCAB=60°,••% %-CE=BE,「.NCAF=NEAB=1NCAB=30°,2「.tanNCAF=tan30°=立.3【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键..如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，AC为直径，BD=AD,DE±BC,垂足为

(1(1)判断直线ED与。。的位置关系，并说明理由;(2)若CE=1，AC=4,求阴影部分的面积.2【答案】(1)ED与eO相切.理由见解析；(2)S=-n-v3.阴影3【解析】【分析】(1)连结。5如图，根据圆周角定理，由BD=Ad得到Nbad=nACD,再根据圆内接四边形的性质得NDCE=NBAD，所以NACD=NDCE；利用内错角相等证明ODIIBC,而DE±BC,则OD±DE,于是根据切线的判定定理可得DE为。O的切线；(2)作OH±BC于H,易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2,则CH=HE-CE=1,于是有NHOC=30°,得到NCOD=60°,然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形°C。-SAa。进行计算即可•【详解】(1)直线ED与。O相切.理由如下：连结OD，如图，BD=Ad,，NBAD=NACD.丁NDCE=NBAD,，NACD=NDCE....NDCE=NODC,...ODIIBC.OD=EH.1=1.在RtAOHC中，:OC=2,CH=1,;OC=OD,「.NOCD=NODC,而NOCD=NDCE,VDE±...NDCE=NODC,...ODIIBC.OD=EH.1=1.在RtAOHC中，:OC=2,CH=1,;CE=1,AC=4,「.OC=OD=2,「.CH=HE-CE=2-NOHC=90°,NHOC=30°,「.NCOD=60°,「•阴影部分的面积=S扇。°-葭。_60•n•22超 .22360 4【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证