孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质47非简谐效应课件

4.7非简谐效应一、晶体的热传导本节主要内容:二、晶体的热膨胀4.7非简谐效应

在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。也就是说,在简谐晶体中,声子态是定态,携带热流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.所以，用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。实际上，原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。当在晶体的势能展开式中，考虑3次方及其以上的高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性独立的谐振子.通常把3次方及其以上的高次项称为非简谐项。如果原子的位移相当小，则非简谐项和简谐项(2次方项)相比为一小量，则可把非简谐项看成微扰项。一、

晶体的热传导1.

N过程和U过程把声子看成准粒子后，非简谐项的微扰作用，可导致声子态之间的跃迁。这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用，或声子之间的碰撞或散射。声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程，如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子；非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子过程。三声子过程(势能展开取到3次方项)

四声子过程

(势能展开取到4次方项)

两个声子通过非简谐项的作用,产生了第三个声子,这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.声子的这种相互作用可以理解为:一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变,由于非简谐项的影响,晶体的弹性模量不是常数,而受到弹性应变的调制.由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而产生第三个声子。该过程遵循能量守恒和准动量守恒。设两个相互碰撞的声子的频率和波矢分别为1、q1和2、q2；而第三个声子的频率和波矢为3、q3，对于该三声子过程，则有:两个声子的碰撞过程也可以满足称为倒逆过程(Umldappprocess)或U过程，也叫反转过程。显然对于三声子碰撞过程来说，N过程意味着波矢q1+q2=q3始终在第一布里渊区内，且方向大致相同，因而不改变热流的基本方向.而U过程则要求波矢q1+q2在第一布里渊区以外，导致q3几乎与q1+q2方向相反.

N过程U过程反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射的结果，它是产生热阻的一个重要机制。2.晶格的热传导和热导率我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要是自由电子气体对热能的输运。对于晶格而言，我们可以认为晶格中存在大量的声子气体，声子是热能的携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，声子数目就少。从而由于温度梯度的存在，将导致声子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准经典解释。

类似于第一章，晶格的热导率满足声子数目可由波色统计给出。高温时，声子数目满足

:所以,高温时,声子数目与温度成正比,从而导致声子的平均自由程随温度升高而变小,即

T-1。我们知道在高温时,也就是温度远高于德拜温度时,晶格比热容CV是一个与温度无关的常数。

因此T>>ΘD时，晶格的热导率随温度的升高而变小，满足

T-1。

所以，声子数目随温度的升高成指数规律变小，从而导致声子的平均自由程随温度升高而成指数规律变大，即

eA/T。低温下，T<<ΘD时，声子数目满足此外，T<<ΘD时，晶格比热容CV满足德拜三次方定律，即CVT3。所以，T<<ΘD时，晶格热导率满足

T3eA/T。显然T→0时，声子的平均自由程→∞，从而导致晶格热导率→∞。

对于完整的晶体，即不存在杂质和缺陷的晶体，则声子的平均自由程等于晶体的线度D，是一个常数。实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。

所以T<<ΘD时，对于线度为D的完整晶体，其热导率主要依赖于晶格的比热容，亦即，热导率

T3。热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R0附近作振动，离开平衡位置的位移用表示，势能在平衡位置附近展开：01.物理图象R0R0二、晶体的热膨胀（1）简谐近似

RU(r)R0简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，但位移的平均值为零，所以两原子间距不变，无热膨胀现象。展开式中取前两项：（2）非简谐效应展开式中取前三项：非简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，位移的平均值不再为零，两原子间距增大，有热膨胀现象。晶格自由能F1=Uequ(V),F2由统计物理知道：Z是晶格振动的配分函数。频率为s的格波，配分函数为：由晶格振动决定的内能T=0时晶格的内能若能求出晶格振动的配分函数,即可求得热振动自由能。按照自由能的定义,晶格自由能可表示如下：忽略晶格之间的相互作用能,总配分函数为：对于简谐晶体,与体积无关;对于非简谐晶体,由于非线性振动,格波频率s也是宏观量V的函数.采用准简谐近似,亦即体系能量仍由简谐近似给出,但随体积变化,代表非简谐效应,所以:为晶格振动总能量。对于大多数固体,体积的变化不大,因此可将在晶体的平