北师大版初中数学初三年级下册册全书知识点讲义

北师大版初中数学初三下册全书知识点讲义

锐角三角函数一知识讲解

【学习目标】

1.结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3.理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.

【要点梳理】

要点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在RtaABC中，/C=90°,/A所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也

叫做NB的邻边，NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C所对

的边AB记为c,叫做斜边.

乙帕勺对边a

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA,即sinA=

斜边c

锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,即==2

斜边C

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=翌,鬻，.

/岫邻边b

第*=笔迺,an八幺黑|一

斜边c斜边cN硒邻边a

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，

是两条线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成sin,j，

cos•A,

tan•工，不能理解成sin与/A,cos与/A,tan与/A的乘积.书写时习惯上省

略NA的角的记号“N”，但对三个大写字母表示成的角(如NAEF),其正切应写成“tanN

AEF”，不能写成

“tanAEF"；另夕卜，(sinj)，(cos/)”(tan/)?常写成sin?工、cos?/、tan2A-

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<NA<90°间变化时，0〈sinR<l，0<cos^<btanA>0.

要点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角asinacosatana

1

30°迈0

223

45°正正1

60°

22

要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60。角的各三角函数值，它的另一个应用就

是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若sin8=亚，

2

则锐角6=45°・

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

sin30。、sin45°、sin60°的值依次为苴、走、近，而cos30。、cos45°、cos60°

222

的值的顺序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).

要点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°.

(1)互余关系：sinA=cos(90°一乙4)=cosB,cosA=sin(90°-乙4)=sin5；

(2)平方关系：sir?J4+COS2-4=1；

(3)倒数关系：tan上■tan(90°-乙4)=1或tan/=—-—；

tan5

(4)商数关系：tan/=^H./

COSJ4

要点诠释：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计

算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便.

【典型例题】

类型一、锐角三角函数值的求解策略

1.（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,

则NABC的正切值是（）

【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案.

【答案】D.

【解析】

由勾股定理，得_

AC=&,AB=2A/^,BC=A/TO>

/.AABC为直角三角形，

tanZB=-^.=—,

AB2

故选：D.

【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数.

举一反三：

【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948

关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】

【变式】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,b=4,则0=，

sinA=,8sA=,sinB=,cosB=

AC

b

3443

【答案】c=5，sinA=-，8sA=—，sinB=-,cosB=

5555

类型二、特殊角的三角函数值的计算

2.求下列各式的值：

（1）（2015•茂名校级-一模）6tan230°-V3sin600-2sin45"；

（2）（2015•乐陵市模拟）V2sin60°-4cos2300+sin45°«tan600；

（3）（2015•宝山区一模）sin60。+tan60«_----_2-----__

COS26002cos450+tan600

【答案与解析】一

解：（1）原式=6X（近）2-^x—-2X—

2

（2）原式=扬直-4x（直）2+近x遍

222

=近-3+近

22

近

(3)原式=—a一+V32

(A)2V2+V3

2

=273+73-2他-近）

（V2+V3）（V3~V2）

=3«-25/3+272

=6+20.

【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的

三角函数值，再进行化简.

举一反三：

【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948

关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）］

【变式】在RtAABC中，zC=90°,若/A=45°,则NB=

sinA=,cosA=,sinB=cosB=

【答案】NB=45°,sinA=—,cosA=—,sinB=—,cosB=—.

2222

类型三、锐角三角函数之间的关系

3.(2015•河北模拟)已知(3ABC中的EIA与I3B满足(1-tanA)2+|sinB-^=0

(1)试判断(3ABC的形状.

(2)求(1+sinA)2-2VcosB-(3+tanC)°的值.

【答案与解析】_

解：(1)0|1-tanA)2+|sinB-近|=0,

回tanA=l,sinB=近

2

0aA=45°,EIB=60°,回C=180°-45°-60°=75°,

丽ABC是锐角三角形；

(2)03A=45°,0B=60°,EIC=180°-45°-60°=75°,

回原式=(1+汐地7

—,1—.

2

【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题

的关键.

类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用

C*如图所示，AB是(D0的直径，且AB=10,CD是。0的弦，AD与BC相交于点P,

若弦CD=6,试求cosNAPC的值.

A

【答案与解析】

连结AC,：AB是。。的直径，；./ACP=90°,

又":ZB=ZD,ZPAB=ZPCD,APCD^APAB,

.PCCD

"~PA~~AB'

又：CD=6,AB=10,

在RtAPAC中，

PCCD63

cosZ.APC

~PAAB10-5

【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，

可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值.

锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB是。。的直径得/ACB

PC

=90°,cosNAPC=—，PC,PA均为未知，而已知CD=6,AB=10,可考虑利用APCD

PA

saPAB得°PC==CD.

PAAB

.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值

相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立

边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1①，

在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=年空=.容易知道一个

腰AB

角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题:

(1)sad60°=.

(2)对于0<A<180°,/A的正对值sadA的取值范围是.

3

(3)如图1②，已知sinA=-，其中NA为锐角，试求sadA的值.

5

图1

【答案与解析】

(1)1；(2)0<sadA<2；

(3)如图2所示，延长AC到D,使AD=AB,连接BD.

图2

Be3

设AD=AB=5a,由sinA=---=—得BC=3a,

AB5

・・.AC=J(5a)2-(3〃)2=4a,

CD=5a-4a=a,BD—y]a24-(3a)2=\/10a,

sadA^Vio

-

ADI

【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA=l；(2)在图①中设

想AB=AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当NA接近0°时，BC接近0,

则sadA接近0但永远不会等于0,故sadA>0,当NA接近180°时，BC接近2AB,

则sadA接近2但小于2,故sadA<2；(3)将/A放到等腰三角形中，如图2所示，

根据定义可求解.

锐角三角函数一巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.(2016•乐山)如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90",ADJ_BC于点D,则下列结论不正

2.(2015•山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NABC

的正切值是()

D,2

3.已知锐角a满足sin25°=cosa,则a=()

A.25°B.55°C.65°D.75°

4.如图所示，直径为10的。A经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧OA优弧上一点,

则NOBC的余弦值为（）

24

A.B.2D.

24c25

第4题第5题

5.如图，在aABC中，ZA=120°，AB=4,AC=2,则sinB的值是（）

5近V21

14

6.在RtZ\ABC中，ZC=90°,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则/A的正弦值（）

A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变

7.如图所示是教学用具直角三角板，边AC=30cm,ZC=90°,tanZBAC=息,则边BC

3

的长为（）

A.30^/3cmB.206cmC.10百cmD.5百cm

第7题第8题

8.如图所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,若AC=后，BC=2,则

sin/ACD的值为（）

752#）八非2

A.---B.----C.---D.一

3323

二、填空题

9.（2016•临夏州）如图，点A（3,t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为a,tana=W,

2

则t的值是

10.用不等号连接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tanl8°tan21

11.在△ABC中，若=0,NA、/B都是锐角，则/C的度数

为.

12.如图所示，AABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=.

13.已知：正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD上一点，若DP=1,则tan/BPC的值是

第15题

14.如果方程d-4x+3=0的两个根分别是RtZ\ABC的两条边，aABC的最小角为A,那

么tanA的值为.

15.如图所示，^ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2,0),点B的坐标是(0,2),直线

AC的解析式为y=则tanA的值是一

16.(2014•高港区二模)若a为锐角，且cosa=3巴则m的取值范围是

三、解答题

17.如图所示，Z^ABC中，D为AB的中点，DCXAC,,@.ZBCD=30°,

求NCDA的正弦值、余弦值和正切值.

18.计算下列各式的值.

⑴(2015•普陀区一模)4sin30°-&cos45°+&tan60

(2)(2015•常州模拟)亚sin45°+tan45°-2cos60°.

(3)(2015•奉贤区一模)-----2s.in30---------2cos60°.

2sin600-tan45°2

19.如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC,DF1AE,垂足为F,连接DE.

(1)求证:AB=DF；

(2)若AD=10,AB=6,求tanNEDF的值.

20.如图所示，已知。。的半径为2,弦BC的长为26,点A为弦BC所对优弧上任意一点

(B、C两点除外).

(1)求/BAC的度数；

(2)求4ABC面积的最大值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】在RtZkABC中,ZBAC=90°,sinB=组,

BC

VAD±BC,

sinB=-^5.,

AB

sinB=sinZDAC=.52.,

AC

综上，只有C不正确

故选：C.

2.【答案】D；

【解析】如图：由勾股定理得，

AC=^2，AB=2^2，BC=410,

/.△ABC为直角三角形，

.,.tanZB=—=A,

AB2

故选：D.

3.【答案】C；

【解析】由互余角的三角函数关系，cosa=sin(90°-a),sin25°-sin(90°-a),

即90°-a=25°,，a=65°.

4.【答案】C；

【解析】设。A交x轴于另一点D,连接CD,根据已知可以得到0C=5,CD=10,

OD=V102-52=5G，:ZOBC=NODC,

cosZOBC=cosZOPC=—==—.

CD102

5.【答案】D:

【解析】如图所示，过点C作CDJ_AB于D,/BAC=120°,二/CAD=60°,

又；AC=2,AD=1,CD=g,

BD=BA+AD=5,在Rt/XBCD中，BC=\IBD2+CD2=728=277,

6.【答案】D；

【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关,

而只与边的比值或角的大小有关.

7.【答案】C；

(解析】由tanABAC=生=E,BC=^AC=—x30=10^

AC333

8.【答案】A；

AC_亚

【解析】VAB=yjAC2+BC2=3,:.sinZACDsinZ.B

AB-V

二、填空题

9.【答案】2.

2

【解析】过点A作ABJ_x轴于B,

•.•点A(3,t)在第一象限，

AB=t,OB=3,

又tana=-^-=—=A,

OB32

•.•ti—_—9•

2

故答案为：1.

2

10.【答案】⑴<；(2)<；

【解析】当a为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，cos500<cos20°；

当a为锐角时、其正切值随角度的增大而增大，tanl8°<tan210.

11.【答案】105°；

sinA.也小

【解析】：+----cosB=0,

2

sin/1--=0,--cosB=0

22

即sinA=立,c°sB=®

22

又；NA、/B均为锐角，NA=45°,/B=30°,

在aABC中，ZA+ZB+ZC=180°,，ZC=105°.

12.【答案】y-；

【解析】假设每一个小正方形的边长为1,利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CU.垂

足为H,

则/A在直角△ACH中，利用勾股定理得AC=Jf=2行，

AC2755

2

13.【答案】2或W

3

【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点,

所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，

当P在边CD上时，tanABPC=—=2；当P在CD延长线上时,

PC

14.【答案】-或；

34

【解析】由炉―4x+3=0得％=1,%=3,①当3为直角边时，最小角A的正切值

为tanA=,；②当3为斜边时，另一直角边为J汇了=2及，；.最小角A的

3

正切值为12114=」尸=也.

2V24

1万

故应填上或上.

34

15.【答案】-；

3

【解析】由aABC的内心在y轴上可知0B是/ABC的角平分线，则N0BA=45°,

易求AB与x轴的交点为(-2,0),所以直线AB的解析式为：y=x+2,

y=x+2

联立|1

可求A点的坐标为(-6,-4),

y=­x-1

/.AB—JAD2+BD2-6A/2,又0C=0B=2,

BC2A/21

BC=2&.在RtZXABC中，tanA

~AB~6y/2~3'

16.【答案】一

33

【解析】V0<cosa<1,

A0<1~3?.<1,

2

解得-［〈鹏工

33

三、解答题

17.【答案与解析】

过D作DE〃AC,交BC于点E.

,/AD=BD,；.CE=EB,；.AC=2DE.

又：DC±AC,DE〃AC,

DC±DE,即/CDE=90°.

又：/BCD=30°,EC=2DE,DC=囱DE.

设DE=k,贝!|CD=G左，AC=2k.

在Rt^ACD中，AD=ylAC2+CD2=y/lk.

Ar2k_2币CDy/3kV21

sinNCD4=——cosZCDA

AD7茄一麻一〒

18.【答案与解析】

解：(1)原式=4X,-④乂乎+遥X返

=1+3亚-

(2)原式=&X及+1-2X1

22

=1+1-1

=1.

24

(3)原式=•

2X^-114

=遥+1_3

24

273-1

4--

19.【答案与解析】

(1)证明：；四边形ABCD是矩形,

:.AD〃BC,AD=BC

・・・ZDAF=ZAEB

又,:AE=BC,

・・・AE=AD

又,:ZB=ZDFA=90°,

/.AEAB^AADF.

・•・AB=DF.

(2)解：在RtZ\ABE中，BE=ylAE2-AB2=V102-62=8

△EAB^AADF,

DF=AB=6,AF=EB=8,

EF=AE-AF=10-8=2.

EF21

tanNEDF=----=—=—

DF63

20.【答案与解析】

(1)连接BO并延长，交。0于点D,连接CD.

BD是直径，BD=4,ZDCB=90°.

在RtZXDBC中，sinZ.BDC=——=

BO42)

ZBDC=60°,ZBAC=ZBDC=60°.

(2)因为4ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，4ABC的面积最大，此时

点A应落在优弧BC的中点处.

过0作OELBC于点E,延长E0交。。于点A,则A为优孤BC的中点.连结AB,AC,

则AB=AC,ZBAE=-ZBAC=30°.

2

在RtZ\ABE中，BE=A/3,/BAE=30°,

__B_E__=&=3

AE=

tan30。一耳―

3

/.S^ABC=5X2A/^X3=3>/^.

答：△ABC面积的最大值是3\^.

解直角三角形及其应用一知识讲解

【学习目标】

1.了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函

数的定义解直角三角形；

2.会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题.

【要点梳理】

要点一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt^ABC中，ZC=90",NA、ZB./C所对的边分别为a、b、c,则有：

①三边之间的关系：/+!?=(?(勾股定理).

②锐角之间的关系：NA+/B=90°.

③边角之间的关系：

.aba

sin-4=—,cosHA=—,tan-4A=—,

ccb

-b_a_b

sin=一,cos2j——，tan3=­•

cca

①"收?=(45=；°〃，11为斜边上的高.

要点诠释：

(D直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

要点二、解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类⑥7、^.已知条件解法步骤

由tanH=±求NA,

两

RtAABC两直角边(a,b)b

边

ZB=90°-NA,

B

c=+*

由sin4=±求NA,

c

斜边，一直角边（如c,a）ZB=90°-ZA,

口”--b：---

b=―/

ZB=90°-NA,

锐角、邻边

b

（如/A,b）d?=6-tan-4»c=

cosA

一直角边

ZB=90°-NA,

和一锐角

边锐角、对边

a,a

（如NA,a）c=-----b=------

sin工,tanA

角

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=csmAfb=c-cosA

要点诠释:

1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意

标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的

顺序进行计算.

2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少

有一个条件为边.

要点三、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际

问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根

据题意画出几何图形，建立数学模型.

（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直

角三角形的问题.

（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的

直角三角形.

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

（1）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母&表示.

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离/的比叫做坡度，用字母i表示，则

i=，=tana,如图，坡度通常写成厂而：/的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线

下方的叫做俯角，如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①

中，目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，

如图②中的目标方向线0A,OB,0C,0D的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏

西80°,北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,

西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.

要点诠释：

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角

的大小，最好画出它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三

角形或矩形来解.

3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正

确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.

【典型例题】

类型一、解直角三角形

e1.在Rt^ABC中，/C=90°,a、b、c分别是/A、ZB./C的对边，根据下列条件，

解这个直角三角形.

(1)ZB=60°,a=4；(2)a=l,百.

【答案与解析】

(l)ZA=90°-ZB=90°-60°=30°.

由tanB=一知，Z?=tz•tanB=4xtan600=4G.

a

,a,a40

由cos3=一知，c=-----=--------=8.

ccosBcos60

(2)由12118=2=6得/8=60°,，ZA=90°-60°=30°.

a

a2+b2—c1,c=\Ja2+b2=>/4=2.

【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(D已知两边；(2)已知一锐角和一边.解题关键

是正确选择边角关系.常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切

(正切).

(1)首先用两锐角互余求锐角NA,再利用/B的正切、余弦求b、c的值；

(2)首先用正切求出NB的值，再求NA的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c

的值.

举一反三：

【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952

关联的位置名称(播放点名称)：例1(1)-(3)】

【变式】(1)已知NC=90°,"26，b=2，求NA、NB和c；(2)已知sinA二工，c=6,

3

求a和b；

【答案】(1)c=4；ZA=60°、ZB=30°；(2)a=4；b=2>/i

2.(2015•湖北)如图，AD是回ABC的中线，tanB=1，cosC=>但，AC=J0求:

32

(1)BC的长；

(2)sinEADC的值.

【答案与解析】

解：过点A作AEE1BC于点E,

回cosC=Y^,

2

aac=45°,

在Rt回ACE中,CE=AC・cosC=l,

团AE=CE=1,

在RtElABE中，tanB=J,即例=1,

3BE3

0BE=3AE=3,

0BC=BE+CE=4；

(2)国AD是国ABC的中线，

E)CD=3BC=2,

2

0DE=CD-CE=1,

0AEI3BC,DE=AE,

EfflADC=45°,

0sinfflADC=^.

2

【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正

确应用.

类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用

▼3.（2016•盐城）已知AABC中，tanB==，BC=6,过点A作BC边上的高，垂足为

3

点D,且满足BD：CD=2：1,则4ABC面积的所有可能值为.

【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求

得.

【答案】8或24.

【解析】

解：如图1所示：

VBC=6,BD：CD=2：1,

，BD=4,

VAD±BC,tanB=2,

3

•AD=2

.♦.AD=2BD=B,

33

二SAABC=LC・AD」X6x窿8；

223

VADIBC,tanB=Z,

3

•AD=2

"BD-T

；.AD=2BD=8,

3

/.SAABC=LBC・AD=Lx6x8=24；

22

综上，AABC面积的所有可能值为8或24,

故答案为8或24.

【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想

的运用是本题的关键.

举一反三：

【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952

关联的位置名称（播放点名称）：例2】

【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰RtHABC中，13c=90。，AC=6,D是AC上一点,

若tanl?lDBA=l,则AD的长为多少？

5

【答案与解析】解：作DE团AB于E,如图，

H3C=90°,AC=BC=6,

00ACB为等腰直角三角形，AB=MAC=6圾，

00A=45",

在RtElADE中，设AE=x,贝IDE=x,AD=-\/2x,

在RtHBED中，tan回DBE=15=L

BE5

0BE=5x,

Elx+5x=6遍，解得x=«,

0AD="\/2XV2=2-

类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用

C4.某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为i=l:百（i

=1:73是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m,天桥另一斜面AB的坡角

/ABC=45°.

AD

FB

（1）写出过街天桥斜面AB的坡度;

（2）求DE的长;

（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°,

方便过路群众，改建后斜面为AF,试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到.0.01

m）.

【答案与解析】

⑴作AG_LBC于G,DE_LBC于E,

在RtZ\AGB中，/ABG=45°,AG=BG.

AB的坡度i'=AGU=i.

BG

(2)在RtZkDEC中，tanZC=——,/.ZC=30°.

EC3

又；CD=10m.DE=—CD=5m.

2

(3)由(1)知AG=BG=5m,在Rt^AFG中,NAFG=30°，

tanZAFG=—,即走=',解得阳=5后一5=3.66(m).

FG3FB+5

答:改建后需占路面的宽度FB的长约为3.66m.

【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解.（2）坡度是坡面的

铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值.

Cs.腾飞中学在教学楼前新建了一座‘'腾飞”雕塑.为了测量雕塑的高度，小明在二楼

找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30。，底部B点的俯角为45。，小华

在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60°（如图所示）.若已知CD为10米，请

求出雕塑AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据由=1.73）.

【答案与解析】

过点C作CELAB于E.

ND=90°-60°=30°,ZACD=90°-30°=60°,

ZCAD=18