2016年全国普通高等学校统一招生测验文科数学及解答

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2016年全国普通高等学校统一招生考试

文科数学注意事项：.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷i至3页，第n卷3至5页..答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置..全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效..考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}(A){4,(A){4,8}(B){0,2,6} (C){0,2,610}(D){0,2,4,6,810}【答案】C【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B={4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故CB={0,2,6,10}，故应选答案CA(2)若z=4+3i，则三=IzI43. 43.—+—i i(A)1 (B)-1 (C)55 (D)55【答案】D【解析】试题分析：因z=4+3i,则其共轭复数为Z=4-3i,其模为IzI=I4+3iI=<42+32=5z43.故「=---，，应选答案DIzI55(3)已知向量BA=(—,——),BC=(——,万)，则NABC=

(A)30° (B)45°(C)60° (D)120°【答案】A【解析】：试题分析:因为BA试题分析:因为BA=（1，4）,BC=（：，1），故BA.BC=曰+（二鼻’又因为BA-BC=1BAI-IBCIcosZABC=1x1xcosZABC=cosZABC所以cos^ABC=3，，所以ZABC=g，应选答案A>—> >—L 6（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是——平均■优.累———平均■优.累—（A）各月的平均最低气温都在0。。以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（。三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于200C只有7、8两个月份，故应选答案D

（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是8111(A)15(B)8(C)讴(D)30【答案】C【解析】试题分析：前2试题分析：前2位共有3义5=15种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为P—15.故选c.1(6)若tan。=1(6)若tan。=3贝Ucos29=4(A) 51(B) 5（C）4(D)5【答案】D【解析】试题分析:cos20—cos2试题分析:cos20—cos29一sin29cos20-sin20COS20+sin201-tan20 1-(-3)21+tan20 1、1+(-3)2故选d.4 2 1⑺已知”23,b=33,c=253,则(A)b<a<c(B)a<b<c (C)b<c<a(D)c<a<b【答案】A【解析】4 2 1 2 2试题分析：a=23—43,c=253=53，又函数y—%3在［0,+^)上是增函数，所以b<a<c.故选A.（8）执行右面的程序框图，如果输入的&=4,b=6,那么输出的n=【答案】【答案】D— —Is二"中-'口］比•— —Is二"中-'口］比•=3-国A-»-口I—事［-=金+q■r-e鼻］I/，出fS345(D)6【答案】B【解析】试题分析E根据程序框图，程序运行过程中各字母的值依次为开始a=4匕=6,^=0,5-0,执行循环：第一次：a=2,&=4,a=6,5=6,咫二卜第二次：zj=-2,&=6.iz=4,s=10.^1=2；第三次；＜2—2,b—4.(2=6.5=16,Fi=3；第四次；a=-2&-20:ra=4；此时满足判断条件$〉16,退出循环,输出篦=4.故选B.TOC\o"1-5"\h\z兀 1 „,5「 -,BC边上的高等于-BC,则sinA=(9)在ABC中，B=4 33 <10 息 3<10(A)10△ (B)10 (C)5 (D)10【解析】试题分析：由题意得，c 11 1 .nS=—a•一a-acsinBnc-AABC2 3 2,.・.sinC-豆sinAnsin(-兀一A)-史sinA

3 4 312cosA+X2sinA-史sinA・•・tanA-3nsinA-辿10故选D.（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+36J5（B）54+18万（C）90（D）81【答案】B【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一四棱柱，.••表面积为（3.3+3.6+3•3，5>2-54+18、污，故选B.（11）在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是9n 32n(A)4n(B) (C)6n(d)——【答案】B

【解析】试题分析：由题意得，要使球的体积最大，则与直三棱柱的若干个面相切，设球的半径为骨，易得A伤C的内切球的半径器3=3二KM2,又二《茶="孤|^=称笈，故选B.X2Y2一，.〜(12)已知0为坐标原点，F是椭圆C：—+J=1(〃>b>0)的左焦点，A,B分别为C

a2b2的左，右顶点.P为C上一点，且PF，x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1(A)3【答案】A(B)1 (C)2 (D)32 3 4【解析】试题分析:由题意得，A(—a,0)，B由题意得，A(—a,0)，B(a,0)根据对称性，不妨P(-c,一)，设l:X=my-a

a\o"CurrentDocument"a-c、 a、 a-c, 、・•・M(-c, ),E(0,—),・••直线BM：y=———, (x-a)，又\•直线BM经过OE中m m m(a+c)点,故选A.(a-c)a ac1故选A. - ^^e————,(a+c)m 2m a3第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题〜第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分'2x-y+1>0,(13)设x,y满足约束条件U-2y-1<0,则z=2x+3y-5的最小值为.x<1,【答案】-10【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3)，直线

z=2%+3y—5过点B时取最小值-10(14)函数y=sinx-木cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到.兀【答案】-3【解析】试题分析：y=2sin(%--■)，所以至少向右平移3(15)已知直线l：%八qy+6=0与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD仁 .【答案】3【解析】试题分析：由题意得：AB=2\：12—(2)2=2V3，因此CD=2y3cos-=3.(16)已知£6)为偶函数，当%<0时，f(%)=e-%-i—%，则曲线丫=f(x)在点(1,2)处的切线方程式.【答案】y=2x.【解析】试题分析：%>。时,f(%)=e%-i+%,f(%)=e%-i+1,f'(1)=2,y-2=2(x-1)ny=2x.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)n(I)求a,a；2 3(II)求｛a｝的通项公式.n1【答案】(1)-,；(2)a4n【解析】试题分析(I)因为a-1，n(I)求a,a；2 3(II)求｛a｝的通项公式.n1【答案】(1)-,；(2)a4n【解析】试题分析(I)因为a-1，11—2n-1a2-(2a-1)a-2a-0，n n+1 n n+1

所以a2-(2a—1)a—2a=0，解得a=一TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2 2 2同理可得a2—(2a—1)a—2a=0，解得a=12 3 2 3 3 4即(2a —a)(a+1)=0n+1 nn(II)由已知得即(2a —a)(a+1)=0n+1 nnnnn+1 n n+1因为｛a｝各项都为正数，所以2a=a，即—=1，故数列｛a｝是首项为a=1,公n n+1 na2 n 1n比为q=1的等比数列，其通项公式为a=J2 n2n-1(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.-在碧左3S1K翌ss刈&注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014.(I)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据：Zy=9.32

ii=1Zty=40.17,iii参考数据：Zy=9.32

ii=1Zty=40.17,iii=1i=1参考公式：r=Z参考公式：r=Z(7)2Z(yi=1 i=1—,-y)2i回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:£（t-干）（y-y）i i _b=i=i 、 ,a=y-bt.£（t-1）2ii=1【答案】（1）可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.（2）我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨.【解析】试题分析：（1）变量y与t的相关系数i=17£i=17£ty-£t.£y

ii i ii=1-T)2.£(y-y)2 7Xii=1i=1，-y)2又£t又£t=28i

i=1£y=9.32

ii=1£ty=40.17iii=1£(t—T)2=2/=5.292i=10.55所以r=7x40.17-28x9.327x5.292x0.55p0.99故可用线性回归模型拟合变量y0.55所以r=7x40.17-28x9.327x5.292x0.55p0.99故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.（2）歹=4y=1£y，所以7ii=1£ty-71.yiii=1[ £12-7t2i40.17-7x4x1x9.32 728=0.10i=1八 一八1a=y-bx=-x9.32-0.10x4x0.93所以线性回归方程为，=0.1f+S9九当¥=9时，^=04x9+0.93=1.83因此,我们可以前测2016年我国生活垃圾无害代处理L83亿吨.（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA，地面ABCD,AD〃BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.(I)证明MN〃平面PAB;(II)求四面体N-BCM的体积.【解析】试题分析：(1)取PB中点Q,连接AQ、NQ,「N是PC中点，NQ//BC,且NQ=1BC,一2一23一1一 ..—又AM=3AD=3义4BC=2BC，且AM//BC•.QN//AM，且QN=AM.二AQNM是平行四边形.•.MN//AQ又MN亡平面PAB,AQu平面PAB•・MN//平面PAB⑵由⑴QN//平面ABCD.TOC\o"1-5"\h\z1 1・•.V=V=-V =-VN-BCM Q-BCM2P~BCM2P~BCA・•・V =1义1PA-S =1义4义2<5=空N-BCM23 AABC6 3(20)(本小题满分12分)已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线11,12分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR〃FQ；（II）若4PQF的面积是4ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（I）见解析；（II）y2=x-1【解析】试题分析：（I）连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF及AP//BQ,得/AFP+NEFQ= ,•二/PFQ=90”.,「R是PQ中点,・・・RFrRP二RQ..\APAR=AFAR,「・/P诙NF限ZP^A=ZF^A,XZBQF+ZBRQ=180c-ZQBF=ZPAF^2ZPA^,.■.ZFQB=ZP^，/PRA二NPRF(等角的余角相等)，・•.AR//FQ.(II)设4x,y),B(x,y)11 2 2试题分析：试题分析：TOC\o"1-5"\h\z- 1 1. . 1f((0),准线为x=--,S=-^PQ\--y-y,2 APQF 21 1 2 1 2.设直线AB与x轴交点为N,S=FN\\y-yAABF2 1 21•・•S =2S ，二21FN\=1,・・.x=1，即N(1,0)APQF AABF N… Iy2=2x设AB中点为M(X,y)，由<1 1得y2-y2=2(x-x)Iy2=2x 1 2 1 212 2y-yy y1 ~又----,a---=，即y2=x-1x-x x-1x-1y2・•・AB中点轨迹方程为y2=x-1.(21)(本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.(I)讨论f(x)的单调性；x—1(II)证明当xG(1,+s)时，1<_；一<x；lnx(III)设c>1,证明当xG(0,1)时，1+(c-1)x>cx.【答案】(I)单调减区间为(1,+8)，增区间为(0,1)；(II)(III)见解析。【解析】■委：，:，J九晨■委：，:，J九晨J立衣上▽%小出二月1+1T二1“乂，0.,、产女如a送全庭Z「9cLX-X"，o.公正义鼠总可二H-二'（4Y二公9-，”j