2023届新课标数学高考“冷门”知识点

2023届高三数学“查缺补漏”部分最近3年高考还没有考过的“冷门”内容，这些内容在2023高考中可能成为考察的“热点”。1．使用韦恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.(1)设两集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{y|y＝x2}，则用阴影部分表示A∩B正确的是(B)(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为(D)A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)2．空间几何体中的台体及其相关知识.(1)几种几何体(如正三棱锥和正四面体，正四棱柱和正方体等)的概念容易混淆，要注意它们的定义区别．(2)旋转体的面积名称图形侧面积表面积体积圆柱

S侧＝S＝或S＝V＝圆锥

S侧＝S＝或S＝V＝圆台

S侧＝π(r＋r′)lS＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)球

无S＝V＝注：对于一些不规则几何体，常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体求体积．3．斜二侧画法画出直观图.(1)已知正三角形ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．答案：(2)一个平面四边形的斜二测直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．答案：2eq\r(2)a2(3)如图，已知△ABC的水平放置的直观图是等腰Rt△A′B′C′，且∠A′＝90°，A′B′＝eq\r(2)，则△ABC的面积是(B)A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．14．直线的倾斜角.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，_x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为．因此，直线的倾斜角的取值范围为．(1)直线xcosα＋eq\r(3)y－5＝0的倾斜角的取值范围是________．(2)经过两点A(2，1)和B(a，a＋1)的直线l的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．答案：(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))(2)0<a<25．利用散点图认识变量间的相关关系.散点图的作用(1)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则两个变量之间不具有相关关系．(2)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段．(3)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关，．练习：如图,是根据变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是(D)A．①②B．①④ C．②③D．③④6．最小二乘法的思想，根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(1)回归直线方程的求法——最小二乘法(2)设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程的系数为：，其中，,称为样本点的中心，(3)求线性回归方程的步骤：①；②计算，，；③代入公式计算的值；④写出线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝.(3)除用散点图外，还可以用样本相关系数r来衡量两个变量x，y相关关系的强弱，其中当r＞0，表明两个变量正相关_，当r＜0，表明两个变量负相关______;对于变量，如果r，那么负相关性很强；如果r，那么正相关性很强；如果r或，那么相关性很强；如果r，那么正相关性一般；如果r，那么相关性较弱；r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间__几乎不存在_线性相关关系，通常|r|_>0.75时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系．4．用相关指数R2来刻画回归的效果，公式是R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果_越好_；R2的值越小，说明残差平方和越大，也就是说模型拟合效果_越差_；在线性回归模型中，R2的值表示解释变量（自变量x）对于预报变量（因变量y）的贡献率.5.残差图：以产品编号为横坐标，残差为纵坐标.残差图的作用：(1)通过残差发现原始数据中的可疑数据,即数据采集过程中是否有人为的错误；(2)判断所建立模型的拟合效果.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.练习：(1)用最小二乘法所建立起来的线性回归模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，下列说法正确的是(B)A．使样本点到直线y＝a＋bx的距离之和最小B．使残差平方和最小C．使相关指数最大D．使总偏差平方和最大(2)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(D)A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg7．频率分布折线图，茎叶图的特点。(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小正方形上端的中点，解得到频率分布折线图频率分布折线图的优点：反应了数据的变化趋势.(2)茎叶图的特点:①能够保留原始数据；②能够展示数据的分布情况；③可以随时记录与表示.8．随机数的意义，运用模拟方法估计概率。(1)随机模拟方法定义：使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机数模拟方法．(2)基本步骤：用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值．练习：1（2023年高考福建卷（文））利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为_______.答案:解析：本题考查的是几何概型求概率．，即，所以．2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(B)A．0.35B．0.25C．0.20D．9．几何概型的意义.(1)几何概型概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)几何概型的基本特点：几何概型的特征：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果是无限的，即有无限个不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的；③几何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(构成事件A的测度,试验全部结果所构成的测度)(测度，即长度、面积、体积等)．练习：1.已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.其中实数a，b满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0，))则函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是________．答案：eq\f(1,3).2.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)πC.eq\f(1,6)D.eq\f(1,6)π3.如图，在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事件的概率：(1)在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；(2)在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB.解：(1)因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为区域D.以B为圆心，BA为半径画弧交BC于M，则P必须落在线段BM内才有BP＜BM＝BA，于是P(BP<AB)＝P(BP<BM)＝eq\f(BM,BC)＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(BA,2BAcos30°)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).(2)作射线AP在∠BAC内是等可能分布的，在BC上取点M，使∠AMB＝75°，则BM＝BA，当P落在BM内时，BP＜AB.于是所求的概率为eq\f(75,120)＝eq\f(5,8).10．平面向量数量积的物理意义。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积，即功是力与位移的数量积

W=

|F|

|S|

cosα(4)已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W为.解析：W＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5，2lg2)·(2lg5，1)＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2.11．平面向量数量积与向量投影的关系。(1)向量数量积的概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，规定，零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0．(2)向量的投影设两个非零向量a与b的夹角为θ，|a|cosθ称为向量a在b方向上的投影；|b|cosθ称为向量b在a方向上．(3)向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与向量b在a方向上的投影的乘积．向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影是一个数量，不是向量，当0°≤θ<90°，它是正数_；当θ＝90°，它是_0_；当90°<θ≤180°，它是____负数____．如图4－26－1所示b在a方向上的投影的三种情况．练习：设e为单位向量，若向量a与e的夹角为，且|a|=2，则e在a－e的投影为（Ａ）Ａ.Ｂ.Ｃ.－2Ｄ.212．利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则，由向量数量积的坐标表示，有设的夹角为，于是，所以所以对任意角，，有13．从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决.练习:（2023年四川理10）.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润A．4650元B.4700元C.4900元D.5000元答案:C解析:由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数14．简单的类比推理.类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理．简言之，类比推理是由特殊到_特殊的推理．归纳总结(1)一般地，类比对象的确定可以从以下两个方面来思考：①从形式上去思考，如由条件的相似去类比结论的相似；由命题结论的相似类比推理方法的相似……，②从内容上去思考，形与形类比，低维与高维类比，有限与无限类比，抽象与具体类比……(2)几何中的类比猜想比较广泛，常常将三维空间中的对象与二维平面中的对象进行类比；二维平面中的对象与一维中的对象进行类比，如：点与线类比，线与面类比，面与体类比，平面角与空间角类比等等．(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．练习：1.我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为S＝eq\f(1,2)cr.类比这个结论，在空间中，果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S′与内切球半径R之间的关系是________．答案：V＝eq\f(1,3)S′R2.在△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝________．答案:eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)15．复数的几何意义，复平面上点或向量对应复数关系.(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的向量=(a，b)(a，b∈R)练习：已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.试求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数；(2)eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数；(3)B点对应的复数．解：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.16．平面直角坐标系伸缩变换作用下的图形变化.伸缩变换：①函数y＝af(x)(a>0)的图象可以看作将函数y＝f(x)的图象中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长（a>1）或压缩(0<a<1)为原来的a倍得到．②函数y＝f(ax)(a>0)的图象可以看作将函数y＝f(x)的图象中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(0<a<1)或压缩(a>1)为原来的eq\f(1,a)得到．例1已知f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如下图所示．令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A.若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称B.若a＝1，0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根C.若a＝－2，b＝0，则函数g(x)的图象关于y轴对称D.若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根答案：B解析:方法一：用淘汰法，当a<0，b≠0时，g(x)＝af(x)＋b是非奇非偶函数，不关于原点对称，淘汰A.当a＝－2，b＝0时，g(x)＝－2f(x)是奇函数，不关于y轴