二项分布及其应用

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条件概率

一、条件概率的定义与性质

假使事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基才能件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。

1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．

2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．

（2）假使B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝

二、典型例题

1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？

（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？

例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6〞，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8〞。（1）求P(A),P(B),P(AB);

(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。

2、利用缩小基才能件空间的方法求条件概率

例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的状况下，其次次与第三次均是白球的概率。（2）第一次和其次次均是白球的状况下，第三次是白球的概率。

1

例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么

（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。

（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求其次件也是次品的概率。

3、条件概率的性质及应用

例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。

例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花}（1）求P(B|A)(2)求P(AB)

三、课堂练习

1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的状况下，其次次抛出的也是偶数点的概率是多少？

2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的状况下，求其次件也是合格品的概率。

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事件的相互独立性

一、相互独立事件的定义

假使事件A的发生不会影响事件B发生的概率，或事件B的发生不会影响事件A发生的概率，那么事件A与事件B相互独立。

设A，B为两个事件，假使，则称事件A与事件B相互独立；假使事件A与B相互独立，那么A与B，

A与B，A与B．

注意区分互斥事件与相互独立事件二、典型例题

1.相互独立事件的判断

例1：判断以下各对事件是否是相互独立事件：

（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲比赛，“从甲组中选出1名男生〞与“从乙组中选出1名女生〞；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球〞与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球〞；（3）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果〞与“把取出的苹果放回到筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨〞。

例2：下面所给出的两个事件A与B相互独立吗？

①抛掷一枚骰子，事件A=“出现1点〞，事件B=“出现2点〞；

②先后抛掷两枚均匀硬币，事件A=“第一枚出现正面〞，事件B=“其次枚出现反面〞；

③在含有2红1绿三个大小一致的小球的口袋中，任取一个小球，观测颜色后放回袋中，事件A=“第一次取到绿球〞，B“其次次取到绿球〞。2.求相互独立事件的概率

例1：设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与B发生的概率都是

例2：某同学参与科普知识竞赛，需回复3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响。

（1）求这名同学得300分的概率；（2）求这名同学至少得300分的概率；

例3：甲、乙、丙三人参与了一家公司的聘请面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是0.5，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少有1人面试合格的概率；（2）签约人数X的分布列.

14，求P（A），P（B）。

3

例4：某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲选中的概率

45，乙选中的概率为

35，丙选中的概率为

710.

（1）求恰有一名同学选中的概率；（2）求至多有两人选中的概率.

3.综合题型

例1：甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为

1314和，求：（1）两个人都译出密码的概率；

（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有一个人译出密码的概率；

（4）至多有一个人译出密码的概率；（5）至少有一个人译出密码的概率.

例2：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，假使两人投中的概率为0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）至少有一人投中的概率.

4.多个事件的相互独立性

例1：甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，假使只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；假使有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；假使三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。

（三）课堂练习

1、两人打靶，甲击中的概率为0.8。，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是（）A.0.56B.0.48C.0.75D.0.6

2、若P(A∩B)=0，则事件A与B的关系是（）

A.互斥事件B.A、B中至少有一个为不可能事件C.互斥事件或至少有一个是不可能事件D.以上都不对3、国庆节放假，甲、乙、丙外出旅游的概率分别是人外出旅游的概率为（）A.

596013、

14、

15，假设三人的行动互不影响，那么这段时间至少有1

B.

35C.

12D.

160

4、将一个硬币连掷5次，5次出现正面的概率是;5、已知A、B是相互独立事件，且P（A）=

12，P(B)=

23，则P(A?B)_________;P(A?B)_________

6、分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面}，B={硬币乙出现正面}.验证事件A、B是相互独立的。

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独立重复试验与二项分布

一、独立重复试验与二项分布的定义

1.独立重复试验：在一致条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2?，n)表示第i次试验的结果，则P(A1A2?An)＝．

2.二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则在

n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝(k＝0,1,2，?，n)．

此时称随机变量X听从二项分布，记作，并称p为成功概率．二、典型例题

1、独立重复试验概率的求法

例1:某人连续射击5次，每次中靶的概率均是0.9，求他至少两次中靶的概率。

例2：病人服用某药品被治愈的概率为0.9求服用这种药的10位患有这种病的患者中至少有7人被治愈的概率。

例3：某人参与一次考试，若5道题中解对4道则为及格，已知他解对每道题的正确率为0.6，求他及格的概率

2、求随机变量的二项分布列

例1：一名学生骑车上学，从家到学校途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率都是，设X为该生在

31途中遇到的红灯次数，求X的分布列。

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3、利用二项分布求概率

例1：有10台都为7.5千瓦的机床，假使每台机床的使用状况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？

（三）课堂练习