流体力学2011课件 第二章流体运动基本方程和基本规律-yzy-2010

闫再友第二章

流体运动基本方程和基本规律提问（四）提问（五）提问（六）提问（七）提问（八）提问（九）课时分布第2次课第3次课第4次课第5次课第6次课第7次课第1次课认识流动所发生现象的基本实质，找出这些共同性的基本规律在流体力学中的表述；研究如何应用这些规律能动地解决实际的流体力学问题和与之相关的工程技术问题，并对流动的新情况、新进展加以预测。第一章流体力学基础知识的回顾

本章讲述了,控制体、流体微团、物质导数流体力学的基本任务和研究方法流体力学及空气动力学发展概况流体介质连续介质假设流体的密度、压强、温度、可压缩性、粘性流体的模型化气动力及气动力系数矢量和积分知识分子平均自由程物体特征尺寸实验研究理论分析数值计算静止流体和理想（无粘性）流体中压强具有各向同性温度和气体的平均动能成比例实验课时间安排第6周的周五5、6节，10月6日第9周的周五5、6节，10月27日第12周的周五5、6节，11月17日第二章流体运动的基本方程和基本规律§2.1连续方程§2.2动量方程§2.3能量方程§2.4方程的基本解法§2.6旋涡运动§2.5微团运动分析理论力学分析杆件受力的基本原理是什么？牛顿三定律+动量定理+机械能守恒第二章流体运动的基本方程和基本规律材料力学分析材料受力的基本原理是什么？牛顿三定律+能量法（功或位移的互等定理）自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能量守恒。本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基本方程：连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略介绍这三个方程的解法。Descartes笛卡尔(法国哲学家、数学家,1596-1690)系统所受外力的矢量和为0时，系统的总动量守恒。第二章流体运动的基本方程和基本规律焦耳（James

Prescort

Joule,1818～1889）英国杰出的物理学家。1847年4月28日英国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒定律第一次作了全面和充分的阐述。能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一个物体。

JouleDescartesLavoisier拉瓦锡（Antoine-LaurentLavoisier，1743－1794），法国化学家，1789年，拉瓦锡在他的历史名著——《化学概论》中第一次用清晰的语言把质量守恒定律表达出来，用实验进行了验证。质量既不能创造，也不能消灭。和前面推导的物理意义不同，那里采用的是运动的控制体，这里我们主要采用位置在空间固定的控制体，即控制体固定在空间某个位置，流体从中穿过。第二章流体运动的基本方程和基本规律在第一章中，我们讨论了几种用来分析流体运动的模型，现在对这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基本方程。哪几种？§2.1连续方程§2.1.4连续方程的物质导数形式§2.1.1连续方程的物理意义§2.1.2连续方程的积分形式§2.1.3连续方程的微分形式§2.1.5用运动控制体推导连续方程§2.1.1连续方程的物理意义连续方程描述的是流体力学中的质量守恒定律：流出空间位置固定的控制体的质量流量=控制体内质量随时间的减少率。“物质即不能创造也不能消灭”连续方程的物理意义：§2.1.1连续方程的物理意义显然，控制体的体积和控制面都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控制体内所包含的质量是随时间变化的。固定控制体§2.1.1连续方程的物理意义在推导连续方程之前，我们引入质量流量的概念。对位于流场中任意的微元面dA，如图2-1所示。

图2-1流过面dA

的质量流量§2.1.1连续方程的物理意义以速度

穿过面

的流体微团，在穿过面以后的时间

内，它运动了的位移

，扫过的体积为，该体积内的流体质量为，（2-1）§2.1.1连续方程的物理意义这就是

时间内流过微元面

的流体质量。定义单位时间流过微元面

的质量为面

的质量流量(massrateofflow)，其单位为kg/s.（2-2）质量通量(massflux):单位面积上的质量流量,单位是kg/(s·m2)，即，

§2.1.1连续方程的物理意义质量流量和质量通量的概念很重要。上式表明穿过一个面的质量通量等于密度乘上速度在该面的法向的速度分量。（2-3）§2.1.1连续方程的物理意义在许多空气动力学方程中，经常会出现，ru,rv,rw,所以它们分别表示x,y,z

方向的质量通量。更一般的讲，如果

V

是任意方向的速度的绝对值，那么rV

的含义就是穿过和

垂直的面的质量通量。§2.1连续方程§2.1.4连续方程的物质导数形式§2.1.1连续方程的物理意义§2.1.2连续方程的积分形式§2.1.3连续方程的微分形式设流场特性随空间和时间的变化而变化，比如。在该流场中，考虑如图2-2中所示的空间位置固定的控制体。§2.1.2连续方程的积分形式为了得到连续方程，对空间位置固定的控制体运用质量守恒律：质量既不能创造，也不能消灭。

在控制面上任取一点，其速度是，

是包含该点的有向面元，其方向为面元的外法线方向，dg是控制体内流体微团的体积。§2.1.2连续方程的积分形式图2-2空间位置固定的控制体§2.1.2连续方程的积分形式对该控制体运用质量守恒律：

穿过面元

的质量流量是，rVndA

>

0

的物理意义是流出控制体的质量流量。rVndA<0

的物理意义是流入控制体的质量流量。流出控制体的质量流量=控制体内质量随时间的减少率。记为，（2-4）

§2.1.2连续方程的积分形式质量流量沿整个控制面S积分，可得B为：现在考虑方程(2-4)的右边项C

：体元dg

中包含的流体质量是，因此，整个控制体内的质量是，（2-5）

因为，B

=C，

所以，§2.1.2连续方程的积分形式那么控制体内的流体质量随时间的增加率是，反过来，控制体内质量随时间的减少率就是上式的相反数，

（2-6）

§2.1.2连续方程的积分形式此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用质量守恒定律得到的结果，称为连续方程。上式就是连续方程的积分形式。（2-7）

§2.1.2连续方程的积分形式积分形式的连续方程可以用来解释某个有限区域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。然而，有时候需要关心流场的细节，就必须对所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，就要使用微分形式的连续方程。从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的连续方程。§2.1.3连续方程的微分形式由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求偏导数可以放到体积分符号里面，根据矢量场面积分和体积分的关系(奥高公式)，有，因此，（2-8）

§2.1.3连续方程的微分形式由于有限控制体是任意的，因此对任意控制体，都要求此方程的积分为零，唯一方法是被积函数在控制体内所有点值都为零。因此，（2-11）

这就是连续方程的微分形式。该方程建立了流场中某点的流动变量之间的关系。§2.1.3连续方程的微分形式而积分形式的连续方程反应的是流场中一个有限空间的流动变量之间的关系。值得注意的是：连续方程的微分形式与积分形式都是质量守恒定律的等效的表示。它们只是数学表述方式不同而已，反映的的实质都是“物质即不能创造也不能消灭”。§2.1.3连续方程的微分形式在连续方程的推导过程中，关于流体性质的唯一假设就是连续性假设。因此，前面导出的连续方程对任意流体的三维非定常流动、有粘或是无粘、可压或是不可压，都成立。对定常流动，，因此积分与微分形式的连续方程分别简化为，

§2.1.3连续方程的微分形式对定常不可压缩流动，积分与微分形式的连续方程分别简化为，

？（2-12）

（2-13）

§2.1.3连续方程的微分形式举个例子来说明连续方程的用途。如下二维定常不可压缩流动，V1，A1V2，A2§2.1.4连续方程的物质导数形式首先引入一个矢量记号

它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢量点乘标量的梯度。第一章我们学习了物质导数，下面我们把连续方程表示成物质导数的形式。？（2-14）

§2.1.4连续方程的物质导数形式上式即是连续方程的物质导数形式。应用上述的矢量记号，上式变为，

此方程中前两项的和就是密度的物质导数。因此有，考虑微分形式给出的连续方程，

（2-16）

§2.1.5用运动控制体推导连续方程即该方程把求导符号移到积分符号内，有，对于随流体一起运动的控制体（为了与速度的表达符号区分开，用R表示体积），控制体内流体的质量保持不变。即：

§2.1.5用运动控制体推导连续方程因此，有，参考（1.63）式，可知：

§2.2动量方程§2.2.1动量方程的物理意义§2.2.2

动量方程的积分形式§2.2.3

动量方程的微分形式§2.2.4动量方程的物质导数形式此式更一般的形式是：牛顿第二定律常写成：下面：用流场变量(压力、密度、速度)来表述(2-18)。动量方程描述的是动量守恒定律：动量随时间的变化率等于作用在控制体上的力。此式表示的是动量定理：力=动量随时间的变化率§2.2.1动量方程的物理意义（2-17）（2-18）§2.2.2动量方程的积分形式先考虑方程（2-18）的左边，求F的表达式，即当流体穿过控制体时施加给控制体的力。F有两个来源：彻体力：重力、电磁力等。表面力：控制面上的压力和剪切力。gS§2.2.2动量方程的积分形式设

是单位质量流体施加给控制体g

的彻体力。那么施加给整个控制体内流体的总的彻体力是，控制体所受到的总的压力是，gS在粘性流中，剪切应力和法向粘性应力也会对控制体施加一个表面力。在这里我们不去详细讨论粘性力的计算公式，只是简单的用来表示控制体受到的粘性力。§2.2.2动量方程的积分形式gS当流体穿过空间位置固定的控制体时，受到的合外力为：§2.2.2动量方程的积分形式压强在表面上产生的表面力控制体受到的粘性力彻体力gS（2-21）§2.2.2动量方程的积分形式现在针对空间位置固定的控制体分析方程（2-18），该方程可以改写为，控制体内因非定常而产生的动量随时间的变化率单位时间内流出控制体的动量作用在控制体上的力§2.2.2动量方程的积分形式现在考虑方程（2-18）的右边项。当流体穿过空间位置固定的控制体时，动量随时间的变化率是下面两项之和：单位时间内流出控制面S

的动量

控制体g

内由于流场的非定常振荡而产生的动量随时间的变化率即，关于

的计算：净流出控制面的总动量就是流出控制面的动量减去流入的动量。§2.2.2动量方程的积分形式我们知道，流出微面元

的质量流量是。因此单位时间流出微面元

的动量是：流出控制体的总动量就是在控制面

上求和，（2-23）上式中，为正时表示质量从控制体内流出，为负时表示质量流入控制体。因此在整个控制面上的积分就是流出动量（正值）和流入动量（负值）的总和，积分的最终结果表示的是净流出控制面的动量。§2.2.2动量方程的积分形式如果

，那么单位时间流出控制面的动量比流入的动量多。如果

，那么单位时间流入控制体的动量比流出的动量多。§2.2.2动量方程的积分形式由于非定常振荡，动量随时间的变化率是，关于的计算：体元中流体的动量是：因此在任意瞬间，控制体内包含的总动量是，（2-24）§2.2.2动量方程的积分形式根据式（2-18），由上式及（2-21），有，根据计算所得的式（2-23）、（2-24），可以得到流体穿过空间位置固定的控制体时，动量随时间的总的变化率的表达式，同时它也表示方程（2-18）的右边，（2-25）（2-26）§2.2.2动量方程的积分形式它是一个矢量方程。和积分形式的连续方程一样，它可以直接用于研究某个有限区域空间的气动问题，而不必考虑流场中某个具体点的细节。此式即为积分形式的动量方程。等号左端项分别为压力、彻体力和粘性力。等号右端项分别为定常情况的控制体的动量流量和非定常情况下的动量增加率。§2.2.3动量方程的微分形式推导动量方程的微分形式：

根据标量面积分和体积分的关系，有，§2.2.3动量方程的微分形式因此，动量方程在x

方向的分量方程为，（2-32a）（2-31）（2-29）§2.2.3动量方程的微分形式动量方程的微分形式：

粘流的动量方程，称为N-S方程。（2-32）§2.2.3动量方程的微分形式注意到：此方程对任何三维非定常流、可压或是不可压、有粘性或是无粘都适用。特别地，对无彻体力的定常无粘流动，积分形式与微分形式分别简化为：（2-33）§2.2.4动量方程的物质导数形式下面用物质导数的形式来表示动量方程。考虑如下形式给出的x方向的动量方程的微分形式，左端第一项可以展开为，§2.2.4动量方程的物质导数形式左端第二项中，把看成是标量和矢量的积。运用矢量记号，该项可以展开为，§2.2.4动量方程的物质导数形式将这两项展开式代入x方向的动量方程，上式中括号里面的两项，刚好是连续方程的左边。由于连续方程的右边等于零，所以上式变为，上式中圆括号内的两项，它们的和正好是物质导数。因此上式变为，§2.2.4动量方程的物质导数形式此即为x方向动量方程的物质导数形式。§2.2.4动量方程的物质导数形式因此，动量方程的物质导数形式为，（2-39）§2.2.4动量方程的物质导数形式无粘流的动量方程，称为Euler方程:Euler方程:（2-34）§2.2.5用运动控制体推导动量方程即该方程把求导符号移到积分符号内，有，对于随流体一起运动的控制体（为了与速度的表达符号区分开，用R表示体积），控制体内流体的质量保持不变。但是动量在发生变化。即：

§2.2.5用运动控制体推导动量方程因此，有，参考（1.63）式，可知：

§2.3能量方程§2.3.1能量方程的引入§2.3.2能量方程的物理意义§2.3.3能量方程的积分形式§2.3.4能量方程的微分形式§2.3.5能量方程的物质导数形式§2.3.1能量方程的引入对不可压流动，密度是常数。流场的主要变量是压强和速度

。连续方程和动量方程都是关于和方程。因此，对不可压流，连续方程和动量方程已经封闭。对可压流动，密度也是一个变量。因此，为了使该系统封闭，还需要一个基本方程，即本节的能量方程。在能量方程的推导过程中，引入了另外两个流场变量：内能和温度

。对这两个变量，还需要引入附加的方程，这将在后面的内容中提到。§2.3.1能量方程的引入§2.3.2能量方程的物理意义能量方程描述的是能量守恒定律。根据热力学第一定律，系统内能的增加等于外界环境传给系统的热量以及外界环境对系统做功的和。系统：取某封闭边界内一定量的物质，这些物质就定义一个系统。系统以外的区域定义为外界环境。能量既不能创造，也不能消灭，它只能从一种形式转化成另一种形式，从一个物体传递到另一个物体。从微观角度来看，系统的内能包括分子热运动能量、分子间的相互作用势能，分子和原子内部运动的能量，以及电场能和磁场能等§2.3.2能量方程的物理意义设为单位质量的流体的内能，对于一个宏观静止的系统有，此即为热力学第一定律的表达式。（2-40）§2.3.3能量方程的积分形式对流过空间位置固定的控制体的流体运用热力学第一定律，设，根据热力学第一定律，B1=外界环境传递给控制体内流体热量的传热率B3=控制体内流体能量的变化率B2=外界环境对控制体内流体做功的功率（2-41）§2.3.3能量方程的积分形式下面，我们分别讨论B1、B2

和B3

的计算，推导出能量方程。由于上式的每一项都包含能量的时间变化率，因此严格的讲方程（2-41）是功率方程。但是它描述的是能量守恒原理，因此习惯上也把方程（2-41）称为能量方程。设，为单位质量流体的热传递功率，单位是J/(s·kg)。有限控制体内的体元

中的流体质量是

。§2.3.3能量方程的积分形式可能是控制体内的流体吸收外界环境的热辐射或者是流体本身向外辐射热量。也可能是是控制体内因温度梯度而产生的热传导B1

（外界环境传递给控制体的热量的传热率）的计算：所以控制体内的总热传递功率为所以，通过控制面上微元流出控制体的热流量为，§2.3.3能量方程的积分形式单位时间内通过单位面积的热传导率为所以，通过控制面流入控制体的总热流量为，§2.3.3能量方程的积分形式因此，有，（2-43）由于粘性作用导致控制体热量增加的功率总的热传导流入的热流

总的热传递功率

在计算外界环境对控制体内的流体做功的功率之前，我们考虑力对运动物体所做的功的功率，§2.3.3能量方程的积分形式即，力对运动物体做功的功率等于速度和力在速度方向分量的积。B2的计算：§2.3.3能量方程的积分形式控制面上面元

所受到的压力为，。因此当流体以速度

穿过

，压力对控制面

的流体做功的功率为，

。因此，控制面上的压力对控制体内流体做功的功率为，g（2-44）§2.3.3能量方程的积分形式控制体内的体微元

，设

是单位质量的彻体力。那么彻体力对体微元做功的功率是，因此，控制体内彻体力对控制体

内流体做功的功率为如果流动是有粘性的，当流体流过控制面时，控制面上的剪切力也要对其做功。这里不详细讨论剪切力所做的功，只是以简单的表示剪切力做功的功率。（2-45）§2.3.3能量方程的积分形式于是对控制体内流体做功的总功率为，压力对控制体内的流体所做功的功率彻体力对控制体内的流体做功的功率剪切力做功的功率

gdg（2-46）§2.3.3能量方程的积分形式然而，流场中空间位置固定的控制体内的流体（系统）不是静止的，而是以速度

在运动，因而单位质量流体的动能为

。因此单位质量的运动的流体系统的总能量是其内能、动能的和，

。为了分析清楚控制体内的能量，前面的热力学第一定律的表达式中，从微观角度来看，内能

包括分子热运动能量、分子间的相互作用势能，分子和原子内部运动的能量等。该方程描述的只是宏观静止的系统。§2.3.3能量方程的积分形式在总能中为什么不考虑重力位能（势能）？重力已经在彻体力中考虑了。如果彻体力中不考虑重力，总能中就必须考虑重力位能。§2.3.3能量方程的积分形式现在我们来求B3的表达式，控制体内流体能量的变化率,于是，能量守恒方程B3=

B1+B2变为，B3（控制体内流体能量的变化率）的计算：单位时间流出控制面的总能控制体内由于流场变量的瞬时变化引起的总能随时间的变化率（2-49）§2.3.3能量方程的积分形式等号左边分别为非定常情况总能变化率以及定常情况下的能量流量；等号右边分别为热能传输率，热传导率，粘性热能传输率，压力、彻体力和粘性应力做功功率。上式即为能量方程的积分形式，其实质是流体中的热力学第一定律。§2.3.3能量方程的积分形式

表示粘性项在方程中的适当形式。§2.3.4能量方程的微分形式（2-51）左端第二项中，把看成是标量

和矢量的积。运用矢量记号，该项可以展开为：§2.3.5能量方程的物质导数形式上式左端第一项可以展开为，令，§2.3.5能量方程的物质导数形式++‖‖能量方程的物质导数形式，（2-56）§2.4方程的基本解法§2.4.1N-S方程§2.4.2

方程的理论解§2.4.3

数值解-计算流体力学（CFD）§2.4.1N-S方程在能量方程中，引入了另外一个未知的流场变量。现在有三个方程，即连续方程，动量方程和能量方程，但它们包含了四个独立的变量： 用标量表示相当是5个方程，6个独立变量。方程组封闭的条件：§2.4.1N-S方程这样就是有5个方程5个独立变量（用标量表示相当是7个方程，7个独立变量）。引入如下两个方程可以使系统封闭：§2.4.1N-S方程连续方程：X方向动量方程：Y方向动量方程：Z方向动量方程：能量方程：

为密度速度

为法向应力

为压强

为切向应力

为彻体力

为单位质量的内能

为温度

为热传导系数§2.4.1N-S方程其中，切向应力法向应力

为粘性系数

为粘性系数，§2.4.1N-S方程§2.4.2方程的理论解空气动力学中的三大控制方程(连续方程、动量方程和能量方程)，都是高度非线性偏微分方程或积分方程，目前为止还没有这些方程的解析解。但是针对某些应用空气动力学问题，可以对控制方程进行一定程度的简化和近似，从而得到简化方程的解析解。§2.4.2方程的理论解理论空气动力学的发展过程就是在应用过程中对所有的控制方程进行适当简化，并获得其解析解的过程。当然这种方法能解决的空气动力学问题很有限。但是经典空气动力学理论就是沿着这个方向发展的。这些封闭形式的解为快速计算提供了简单的工具。这在设计的初始阶段尤为重要。在现代空气动力学中，解析解的优点：求解解析解的过程可以使我们更加的熟悉这些气动问题的物理本质。封闭形式的解直观的告诉我们哪些变量对流动的影响非常重要，而且可以知道这些变量增大或者减小时，会对流场产生什么样的影响。§2.4.2方程的理论解§2.4.3数值解-计算流体力学（CFD）计算流体力学（CFD)是用代数离散的方式代替方程中的积分或者微分，最终求解出给定空间和时间离散点上的流场变量值的一种方法。CFD的优点：不做任何几何近似，也可以处理完全非线形的连续方程，动量方程和能量方程。因此，许多以前不能求解的空气动力学的复杂流动，都可以用CFD的方法来解决。§2.5微团运动分析§2.5.1流场的迹线、流线§2.5.2

角速度、旋度和角变形率§2.5.3

流函数、速度位及它们的关系§2.5.1流场的迹线、流线空气动力学中，除了要求解密度场、压强场、温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动图画(FlowPatterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体运动。为此，引入迹线和流线的概念。迹线(PathLine)：流体微团在流场中的运动轨迹。或者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连线。§2.5.1流场的迹线、流线烟火的轨迹为迹线§2.5.1流场的迹线、流线分析速度场给定的非定常流动，并取一个流过该流场的流体微团A，如图2-6a所示。图2-6A微团A经过点1，跟踪微团A的运动轨迹，如图2-6a中虚线所示。微团A的轨迹就定义为微团A的迹线。§2.5.1流场的迹线、流线现在跟踪另外一个微团B，如图2-6b所示。假设微团B也经过点1，但是和微团A不是同时经过。微团B的迹线如图2-6b中虚线所示。图2-6AB§2.5.1流场的迹线、流线由于流动是非定常的，所以点１处（流场中其它的点也一样）的速度随时间变化。因此微团A和B的迹线分别是图2-6a和图2-6b中不同的曲线。图2-6AB一般说来，对非定常流动，通过流场中同一点的不同微团，其迹线也不相同。流线(StreamLine)：流场中的一条曲线，线上各点的切向和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

§2.5.1流场的迹线、流线xyz§2.5.1流场的迹线、流线一般地说，流线和迹线是不重合。对定常流,流场中给定点的速度矢量的大小和方向都是不随时间变化。因此经过流场中同一点的不同微元，其迹线相同；还有，迹线和流线也重合。因此在定常流动中，流线和迹线是是相同的空间曲线。

§2.5.1流场的迹线、流线xyzxyz§2.5.1流场的迹线、流线流线和迹线

如何求流线方程设是流线上的一个微段。§2.5.1流场的迹线、流线流线是空间曲线

,用表示。点A处的速度和平行。因此，由矢量叉乘的定义得流线方程为，xyz§2.5.1流场的迹线、流线在迪卡尔坐标系下，笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式为，xyz§2.5.1流场的迹线、流线上式亦可表达为，笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：§2.5.1流场的迹线、流线为了深入理解流线微分方程的物理意义，考虑如图所示二维情况下的流线,或yxuvA代入，和，有,§2.5.1流场的迹线、流线已知下列流场分布，求通过点（0，5）的流线方程：解：由流线的微分方程有，§2.5.1流场的迹线、流线对通过点（0，5）的流线，我们有，r因此过（0，5）点的流线方程为，对上式两边同时积分，可以得出，

为常数§2.5.1流场的迹线、流线代入，和，有，已知流场分布，求

时通过点的流线方程：解：由流线的微分方程有，根据全微分的积分与路径无关的原理，任选一积分路径 对上式进行积分，有，§2.5.1流场的迹线、流线即，将条件，代入上式，可得，§2.5.1流场的迹线、流线xy因此，

时通过点的流线方程为，也可以用分离变量法求该流线方程，§2.5.1流场的迹线、流线第3种解法§2.5.1流场的迹线、流线代入，和，有，已知流场分布，求

时通过点的迹线方程：解：迹线的微分方程为，对第一个式子做变量代换，，则§2.5.1流场的迹线、流线同理，得到y满足的方程为以t=0,x=y=-1代入x,y，可得，c2=c4=0,即消去t，得到迹线方程（直线）为xyz

流管(StreamTube)§2.5.1流场的迹线、流线在三维空间，在流场中取一条不为流线的封闭曲线，经过曲线上每一点作流线，所有这些流线集合构成的管状曲面被称为流管，如图，§2.5.1流场的迹线、流线由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流管截面的质量流量是不变的。xyz运动中的流体微团t时刻的流体微团At+Dt时刻的流体微团A§2.5.2角速度、旋度和角变形率流场中的流体微团,当它做平移运动的同时，还可能有旋转、变形运动。流体微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度场量化分析流体微团的旋转和变形运动。§2.5.2角速度、旋度和角变形率考虑

平面内的二维流动。取流场中的一个流体微团。假设在时刻

，流体微团是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的大小和方向都可能变化。因此该微团从

时刻的位置运动到

时刻的位置 ，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生了旋转。BADCtB′A′D′C′t+Dt流体微团的一般运动

§2.5.2角速度、旋度和角变形率微团平移线变形角变形旋转yx流体微团运动的分解

整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分解为几个简单的运动的合成如图所示，

§2.5.2角速度、旋度和角变形率考虑流体微团的速度，yxdydxABC二维流体微团的速度D§2.5.2角速度、旋度和角变形率考虑流体微团从时刻

到时刻的位置和形状（不考虑线变形），

yxdydxAuvBC流体微团在t时刻流体微团在t+Dt时刻kDq1Dq2B′A′C′dydx二维流体微团的角变形和旋转§2.5.2角速度、旋度和角变形率在Dt

时间内AB边和AC边旋转的角位移（角度）分别是Dq1和Dq2（习惯上逆时针旋转为正）。对于AC边，它之所以旋转是因为点A和C的运动不同。kDq1Dq2B′A′C′dydxdydxAuvBC§2.5.2角速度、旋度和角变形率对于点Ａ与Ｃ有，在

Dt

时间内点A在y方向的位移=vDt在

Dt

时间内点C在y方向的位移=点C相对于点A在y方向的位移=kDq1Dq2B′A′C′dydxdydxAuvBC§2.5.2角速度、旋度和角变形率这个相对位移从下图的几何关系，有，kDq1Dq2B′A′C′dydx（2-62）§2.5.2角速度、旋度和角变形率考虑AB边，类似于AC边，在Dt

时间点B

相对于点A

在x

方向的位移是因此，kDq1Dq2B′A′C′dydxdydxAuvBC（2-64）由，，有，定义AB边和AC边的角速度分别为，和。§2.5.2角速度、旋度和角变形率

角速度(angularvelocity)（2-65）（2-66）（2-68）流体微团在xy

平面的角速度定义为AB边和AC边的角速度的平均值，记作，因此，§2.5.2角速度、旋度和角变形率kDq1Dq2B′A′C′dydx（2-67）将式（2-65）、（2-66）代入上式，可得，§2.5.2角速度、旋度和角变形率上面的分析只考虑了在二维xy平面内的运动。对一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方向的矢量，

上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速度。

（2-69）§2.5.2角速度、旋度和角变形率旋度：定义为旋转角速度的两倍，记为，

旋度（2-70）如果在流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移和变形运动。§2.5.2角速度、旋度和角变形率如果在流动中处处成立，流动称为有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。xy

平面内的二维无旋流动条件，

（2-73）§2.5.2角速度、旋度和角变形率图2-14有旋流中的流体微团图2-15无旋流中的流体微团§2.5.2角速度、旋度和角变形率有旋无旋§2.5.2角速度、旋度和角变形率为什么区分有旋流动和无旋流动有如此重要呢？随着我们学习流体力学或空气动力学的深入，其答案是显而易见的。我们会发现研究无旋运动会比有旋运动简单得多。§2.5.2角速度、旋度和角变形率许多实际的空气动力学问题中的流动都是无旋的。例如，绕翼型的亚音速流动，小攻角下绕细长体的超音速流动，喷管的亚音速和超音速流动。对这些情况，一般在贴近物面处有一个很薄的粘性附面层；在附面层内，流动是高度有旋的。然而，在附面层外，流动一般是无旋的。所以，无旋流动的研究是空气动力学一个很重要的方面。§2.5.2角速度、旋度和角变形率再回到前面xy

平面内的二维流动时流体微团的运动分析。

角变形率(shear-strainrate)设AB和AC之间的夹角为k

。当流体微团在流场中运动时，k

也会相应改变。kDq1Dq2B′A′C′dydxdydxAuvBC§2.5.2角速度、旋度和角变形率在t

时刻，k

=90o。在t+Dt

时刻，k

也会变化了Dk，kDq1Dq2B′A′C′dydxdydxAuvBC（2-74）在粘性流动中，角变形随时间变化是一个非常重要的量，称为角变形率，用个gz

来表示。因此，由上式及式（2-62）、（2-64），可得，§2.5.2角速度、旋度和角变形率角变形：流体微团在xy

平面内k

的变化。规定当k减小时角变形为正。因此，角变形=（2-75）§2.5.2角速度、旋度和角变形率类似，在yz

和zx

平面上流体微团的角变形率为，§2.5.2角速度、旋度和角变形率角速度（以及旋度）和角变形率只取决于流场速度的导数，把速度的导数写成如下矩阵形式，§2.5.2角速度、旋度和角变形率速度的导数写成如下形式，反对称张量角速度对称张量变形率（线变形，角变形）§2.5.2角速度、旋度和角变形率已知下列流场分布，求旋度和角变形率,解：式 表明流场除（０，０）点外均为无旋流动。§2.5.2角速度、旋度和角变形率§2.5.2角速度、旋度和角变形率r上节我们已经求出该流场的流线方程为，接着求角变形率，§2.5.2角速度、旋度和角变形率流体微团无旋但有角变形例：平面流场u=ky，v=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征。解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：xyo（流线是平行于x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）§2.5.2角速度、旋度和角变形率§2.5.3流函数、速度位及它们的关系考虑微分形式给出的连续方程

，

由高等数学的全微分方面的知识，上式表明， 是某函数的全微分。即，对于二维定常不可压缩流动，连续方程可以简化为，

（2-78）§2.5.3流函数、速度位及它们的关系又有，

因此有，

函数y(x,y,t)，称为该二维不可压缩流动的流函数。

（2-79）（2-80）（2-81）§2.5.3流函数、速度位及它们的关系上式说明，流函数

y(x,y,t)为常数的曲线上各点的切线方向和该点的速度方向重合，因此该曲线为一条流线。现在求流函数y(x,y,t)

为常数的曲线。此时， 。因此，

即，

§2.5.3流函数、速度位及它们的关系流函数

y在极坐标系中的表达式，

分析二维定常不可压缩流的流函数与流量之间的关系。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系在二维定常不可压缩流场上做任意曲线

，如图所示。现计算每秒流过此曲线与垂直于xOy

平面单位长度所成的截面上的体积流量。M0M1yx§2.5.3流函数、速度位及它们的关系设在

曲线上取弧段

，其方向沿着由

到

的方向，与

垂直的单位法向矢量，其方向取在与流体速度方向在

截面的同侧。M0M1yx§2.5.3流函数、速度位及它们的关系流函数与体积流量之间的关系，M0M1yx§2.5.3流函数、速度位及它们的关系M0M1yx上式表明，通过任意曲线M0M1与垂直xOy

单位长度所成截面的总体积流量，等于该曲线两端点的流函数之差，而与曲线形状无关。因此若给定两点做流线，由此两条流线所界定的流管的体积流量，即为两条流线上的流函数之差。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系则沿曲线M0M1所成截面的总体积流量为，已知下列二维定常不可压缩流动的速度分布，a

为常数，求流函数。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系解：例子：第3种解法§2.5.3流函数、速度位及它们的关系根据全微分（或与路径无关的曲线积分），将上式沿曲线M0M积分（M0

为任意选择的曲线起点），M0(x0,y0)yxM(x,y)M1(x,y0)§2.5.3流函数、速度位及它们的关系M0(x0,y0)yxM(x,y)M1(x,y0)§2.5.3流函数、速度位及它们的关系其中，因为流函数可以差一个常数，所以y(M0

)为任意选取的常数。因此流函数最终可表达为，§2.5.3流函数、速度位及它们的关系因为流函数可以差一个常数，因此流函数最终可表达为，流线图（流函数为常数）§2.5.3流函数、速度位及它们的关系等位线与流线图流线图（流线是矢量线，有方向）对于无旋流动来说，存在一个标量函数，速度矢量恰好等于其梯度。即一个标量函数的梯度的旋度等于0。从上面的式子中可以得出，§2.5.3流函数、速度位及它们的关系如果在流场中处处成立，流动称为无旋流动(irrotationalflow)。第一章的作业中曾经做过下式的证明，平行矢量的叉乘积标量函数就称为速度位函数或速度势函数(VelocityPotential)。简称位函数。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系§2.5.3流函数、速度位及它们的关系在球坐标系中速度位的表达式为，在柱坐标系中速度位的表达式为，速度位函数的特点：在非定常场中速度位函数是x,y,z,t

的函数。速度位函数是标量函数。速度位函数的梯度是速度。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系只有无旋流动才可以定义速度位函数。速度位函数可以应用到三维空间。速度位函数的选取可以差一个常数，这对流动本质没有任何影响。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系因此，只有流动无旋，才可以定义速度位。这样我们就没有必要通过三个方程去求三个未知的速度分量，而只要把速度位当成一个未知量来求解。只要给定问题的速度位，就可以直接求出速度。这就是在理论空气动力学中，为什么要严格区分有旋流动和无旋流动，这也是为什么无旋流动比有旋流动的要简单的原因。已知下列二维流场分布（点源），a

为常数，求位函数，§2.5.3流函数、速度位及它们的关系给定速度位，求其梯度很容易就可以得到速度。反过来，给定速度分布，如何求速度位函数？下面就举例说明速度位函数的求法。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系解：§2.5.3流函数、速度位及它们的关系§2.5.3流函数、速度位及它们的关系比较以上两式，即可得位函数的表达式为，因为速度位函数相差一个常数对流动本质没有任何影响，所以上式简化表达为，由（1）或（2）还有其它方法得到位函数吗？流场为二维无旋流动，故位函数存在。在讲梯度的时候，我们讲过如下一个定理，§2.5.3流函数、速度位及它们的关系已知下列二维流场分布，a

为常数，求位函数，解：§2.5.3流函数、速度位及它们的关系根据全微分（或与路径无关的曲线积分），将上式沿曲线M0M积分（M0

为任意选择的曲线起点），M0(x0,y0)yxM(x,y)M1(x,y0)§2.5.3流函数、速度位及它们的关系其中，因为位函数可以差一个常数，所以j(M0

)为任意选取的常数。利用上面的关系式，可以如下求解位函数：M0(0,0)yxM(x,y)设曲线M0M的起点

M0

和M分别为因此，有，M1(x,0)§2.5.3流函数、速度位及它们的关系M0(0,0)yxM(x,y)M1(x,0)其中，因为位函数可以差一个常数，所以j(M0

)为任意选取的常数。令其值为0，有，速度位函数存在的条件是：无旋流动，即§2.5.3流函数、速度位及它们的关系流函数存在的条件是：二维定常不可压缩流动。由该条件下的连续方程得出。流函数和速度位函数的区别：存在条件：速度位函数是在无旋条件下定义的。而流函数不论流动有旋还是无旋，都存在。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系速度位适用于三维流动，流函数只在二维情形存在。二维定常不可压缩无旋流动中，流函数与位函数同时存在。速度位函数和流函数的关系是通过速度联系起来的。§2.5.3流函数、速度位及它们的关系速度与速度位函数间的关系，速度与流函数间的关系，§2.5.3流函数、速度位及它们的关系二维定常不可压缩无旋流动中流函数和速度位的关系：取速度位的梯度和流函数的梯度的点积，有，垂直于等位线的方向垂直于流线（等流函数线）的方向§2.5.3流函数、速度位及它们的关系所以等位线和流线正交（驻点除外）。Streamlinesandpotentiallinesareorthogonalandmayreverserolesifresultsareuseful:(a)typicalinviscid-flowpattern;(b)sameas(a)withrolesreversed.§2.6旋涡运动§2.6.2速度环量；斯托克斯定理§2.6.3毕奥-萨瓦定理及直线涡的诱导速度§2.6.4亥姆霍兹旋涡定理§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度§2.6旋涡运动流体的运动可以分为无旋运动和有旋运动两种。无旋运动是流场中微团的旋转角速度等于e=0

的运动有旋运动则是流场中微团的旋转角速度e≠0的运动§2.6旋涡运动旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程实际中常碰到的现象。它与有旋运动密切相关。例如：龙卷风是一种强大的旋涡运动。在船尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都会产生旋涡。飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋涡运动是实际存在的一种重要的运动，因而对于旋涡运动的研究有着重要的意义。

§2.6旋涡运动此式表明涡量场是无源场。§2.6旋涡运动§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动的旋涡场也可以用涡线来描述。因此由速度向量所构成的速度场里所引进的关于流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到由旋转角速度向量所构成的旋涡场中来。涡线，涡管以及旋涡强度§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度涡线：是充满旋涡流场中的一系列的曲线，在任意瞬时该曲线上微团的旋转角速度向量（旋转轴线方向按右手定则）都和曲线相切，右如图所示。ds§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度涡线方程（类似流线方程）ds§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度涡管：某瞬时，在旋涡场中任取一条非涡线的光滑封闭曲线（曲线不得与同一条涡线相交于两点），过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称为涡管，见右图。§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度涡通量（旋涡强度）：通过任一截面的涡量的面积分。定义为：速度场的旋度

又称涡量。§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度涡管的侧表面是涡面。在这个涡面上流体微团的角速度矢量与涡面的法向矢量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡管表面。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此涡管可大可小，甚至无限小，涡线是横截面积趋向于零的涡管。§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度设在涡管上取一截面，截面面积为，则定义涡管的旋涡强度为，对于同一涡管，旋涡强度为一常值。因为，edssen§2.6.1涡线、涡管以及旋涡强度应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、流量等相似，但不能把两者混淆起来。涡线和流线应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否有涡，流线总是存在的。§2.6.2速度环量；斯托克斯定理速度环量(circulation)：速度沿一条光滑有向封闭曲线的线积分，即，

前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋度的概念。而在同一流动区域中所有流体旋度的总效应则是以速度的环量来体现的。速度环量是标量，取逆时针积分方向为正。zyx§2.6.2速度环量；斯托克斯定理斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线l上的环量，等于贯通以此曲线所成的任意曲面上旋度的面积分。根据此定理，一个涡管的旋涡强度可以用此涡管的围线的环量值代替，所以环量也就成了涡强的同义词。斯托克斯定理：§2.6.2速度环量；斯托克斯定理如果曲线所围成的区域中无涡通量，则沿此围线的环量为零。§2.6.2速度环量；斯托克斯定理斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲线的速度环量为零，则流场中的流动是无旋的。通常将围绕包含点涡闭合曲线上的速度环量称为点涡强度。诱导速度(inducedvelocity)：由旋涡存在而产生的速度。dLdwBGArNMO§2.6.3毕奥-萨瓦定理及直线涡的诱导速度毕奥-萨瓦公式（Biot-savart'slaw）：用来确定诱导速度的大小。该公式指出,在不可压流动中，强度是G

、微段长度dL

的涡线对周围流场所产生得诱导速度为：§2.6.3毕奥-萨瓦定理及直线涡的诱导速度直线涡的诱导速度：a2a1hMdLdarDAB§2.6.3毕奥-萨瓦定理及直线涡的诱导速度直线涡的诱导速度：诱导速度的方向是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。a2a1hMdLdarDAB§2.6.3毕奥-萨瓦定理及直线涡的诱导速度如果涡线的一端无限长且M的投影在另一端点，a2a1hMAB§2