微分方程应用题

微分方程应用题第1页，共41页，2023年，2月20日，星期四细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?分析：例1第2页，共41页，2023年，2月20日，星期四将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后，温度计的读数为300；又过了10min，读数为320．先不用计算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。分析：例2第3页，共41页，2023年，2月20日，星期四翻译；建立瞬时表达式；配备物理单位；叙述给定的条件；写出清楚的框架。净变化率＝输入率一输出率主要步骤第4页，共41页，2023年，2月20日，星期四某人的食量是2500cal／天，其中1200cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。分析：输入率=2500cal／天输出率=健身训练16cal/kg/天×体重w(kg)+新陈代谢1200cal／天例3第5页，共41页，2023年，2月20日，星期四在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前?分析：例4第6页，共41页，2023年，2月20日，星期四设p(t)表示一种给定物种在时刻t的总数，r(t,p)表示该物种出生率和死亡率之差。如果这个群体是孤立的．即不出现净迁出或迁入．那么总数的变化率dp/dt

就等于r(t,p)p．在大多数简化了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数而变。于是如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题这个初值问题的解是人口预测第7页，共41页，2023年，2月20日，星期四月数026l0观察到的P2520109计算出的P24.522109.1观察一种很小的啮齿动物，其繁殖速度为每月增长群体总数的40%，啮齿动物的增长第8页，共41页，2023年，2月20日，星期四YearPopulationGrowthrate19502,555,360,9721.4719512,593,139,8571.6119522,635,192,9011.7119532,680,522,5291.7719542,728,486,4761.8719552,779,929,9401.8919562,832,880,7801.9519572,888,699,0421.9419582,945,196,4781.7619592,997,522,1001.3919603,039,585,5301.3319613,080,367,4741.8019623,136,451,4322.1919633,205,956,5652.1919643,277,024,7282.0819653,346,002,6752.0819663,416,184,9682.0219673,485,881,2922.0419683,557,690,6682.0819693,632,294,5222.0519703,707,475,8872.071950-1970年人口及增长率第9页，共41页，2023年，2月20日，星期四1950-1970年人口第10页，共41页，2023年，2月20日，星期四1950-1970年增长率第11页，共41页，2023年，2月20日，星期四1961年地球上的人口总数为3.06×109

而在以后的t年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。1700──1961年间的人口总数每35年就翻了一番，而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。预测

25l0年：2,000,000亿；

2635年：18,000,000亿；

2670年：36,000,000亿。1961年人口预测第12页，共41页，2023年，2月20日，星期四19713,784,957,1622.0019723,861,537,2221.9519733,937,599,0351.9019744,013,016,3981.8119754,086,150,1931.7419764,157,827,6151.7219774,229,922,9431.6919784,301,953,6611.7319794,376,897,8721.7119804,452,584,5921.6919814,528,511,4581.7519824,608,410,6171.7519834,689,840,4211.6919844,769,886,8241.7019854,851,592,6221.7019864,934,892,9881.7319875,020,809,2151.7119885,107,404,1831.6819895,194,105,9121.6719905,281,653,8201.571971-1990年人口及增长率第13页，共41页，2023年，2月20日，星期四19915,365,480,2761.5519925,449,369,6361.4919935,531,014,6351.4419945,611,269,9831.4219955,691,759,2101.3819965,770,701,0201.3619975,849,885,3011.3219985,927,556,5291.2819996,004,170,0561.2520006,079,603,5711.2120016,153,801,9611.1820026,226,933,9181.1620036,299,763,4051.1520046,372,797,7421.141991-2004年人口及增长率第14页，共41页，2023年，2月20日，星期四1951-2004人口第15页，共41页，2023年，2月20日，星期四1951-2004增长率第16页，共41页，2023年，2月20日，星期四YearPopulationGrowthrate19512,593,139,8571.6119562,832,880,7801.9519613,080,367,4741.8019663,416,184,9682.0219713,784,957,1622.0019764,157,827,6151.7219814,528,511,4581.7519864,934,892,9881.7319915,365,480,2761.5519965,770,701,0201.3620016,153,801,9611.18简化数据表YearPopulationGrowthrate19713,784,957,1622.0019814,528,511,4581.7519915,365,480,2761.5520016,153,801,9611.18第17页，共41页，2023年，2月20日，星期四简化图像第18页，共41页，2023年，2月20日，星期四当群体异常地庞大时，个体成员相互间要为有限的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为群体的生命系数。逻辑律第19页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学生物学家G．F．Gause对草履虫做了一个实验：把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续六天。结果发现，当数量不大时．这种草履虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律dp/dt＝ap-bp2增长，那么a＝2.309，b＝2.309/375；因此，逻辑律预测草履虫实验第20页，共41页，2023年，2月20日，星期四模型求解第21页，共41页，2023年，2月20日，星期四某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029．我们还知道，当人口总数为(3.06)×109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我们看到

0.02＝a-b(3.06)×109因此，b＝2．941×10-12．这样，根据群体增长的逻辑律．地球上的人类人口将趋于极限值常数估算第22页，共41页，2023年，2月20日，星期四预测人口第23页，共41页，2023年，2月20日，星期四预测增长率第24页，共41页，2023年，2月20日，星期四证明对于是正的。2、选择三个时间，且证明根据可以唯一确定3、1879年1881年人们在新泽西用拖网捕获了大量周岁左右的欧洲鲈鱼。把它们装进水箱里用火车运送，穿过大陆，放入旧金山海湾养殖。经过这两次艰苦的旅行，活下的有条纹欧洲鲈鱼总共只剩下435尾。然而，到1899年，仅商业净捕获量就有1234000(lb)因为这种群体的增长这么快。有理由假设它服从马尔萨斯律；外假设一条欧洲鲈鱼的平均质量是3(lb)，并且1899年捕获整整十分之一的欧洲鲈鱼。求出a的一个下界。4、一群体按逻辑律增长，极限总数是5x108。个个体。当群体总数较少时，每40min翻一番。在下列每一种初值情况下，2h后群体总数将是多少。a)108b)1091、第25页，共41页，2023年，2月20日，星期四在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt＝0.003p(t)．其小t以分钟度量。在t＝0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。a)修改马尔严斯的群体增长律使之将这两个因素包含进去。b)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t→∞时会发生什么情况?5、第26页，共41页，2023年，2月20日，星期四如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量）a)修改这个方程，使之包含：每年有6000人从该城市迁出，有4000人被杀这些因素。b)假设1970年纽约城的人口为8,000,000，求出在未来任意时刻的人口。t→∞时会发生什么情况？6、第27页，共41页，2023年，2月20日，星期四假设一群体对流行病很敏感。我们可以用下面的方式建立它的模型。设该群体最初受逻辑律控制，并且一旦p达到某个小于极限总数a/b的特定值Q，流行病便开始传播。在此阶段中生命系数A<a，B<b，且(1)被7、第28页，共41页，2023年，2月20日，星期四所代替。假设Q＞A/B。于是群体开始减少。当群体减少到某一值q＞A/B时，就达到一个特定时刻。在这个时刻流行病停止传播。群体又开始遵循(1)而增长。直到新的流行病发生。这样在q与Q之间发生周期性波动。现在我们要指出如何计算这些波动的周期。a)证明当p从q增加到Q时，周期的第一部分T1为b)证明当p从Q减倒到q时，周期的第二部分T2为第29页，共41页，2023年，2月20日，星期四据观察．每当老鼠过多时在鼠群中就会出现瘟疫。而且，密度的局部增加将会引起捕食者蜂拥而来。由于这两个因素。在两到三个星期内，一个小啮齿动物群体的97%到98%就会被吞食掉。尔后，它的密度降到疾病不能传播的水平。待减少到最高值的2%时。鼠群便从被大量捕食的困境中解脱出来。食物丰富了。于是，鼠群又开始增长，直到达到另—次疾病传播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我们可以在练习7的(1)中置b=0。恰恰相反．在周期的第二部分，A与B相比却非常小，故在(2)中可忽略A。a)在这些假设下．证明b)设T1近似地为4y．Q/q近似地为50．证明a近似地为1，顺便说一下，a的这个值非常符合老鼠在自然环境中的繁殖率。8、第30页，共41页，2023年，2月20日，星期四早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午4点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车不管已扫过的路面）分析：设单位面积上单位时间降雪量为a(km/h)，路面宽度为b(km)，扫雪速度为c(km3/h)，路面上雪层厚度为H(t)(km)，扫雪车前进路程为s(t)(km)，降雪开始时间为T例6、第31页，共41页，2023年，2月20日，星期四在t=0时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内．搅拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶内。再将混合掖搅拌均匀．然后用1升/min的速度输出。在任意时刻t＞0，从第二只桶流出的水中含多少盐？分析：例7、第32页，共41页，2023年，2月20日，星期四在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每个虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及会合前所经过的路程。分析：例8、第33页，共41页，2023年，2月20日，星期四1、根据牛顿定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例。如果空气的温度是20℃且沸腾的水在20min内冷却到60℃。那么水温降到30℃需多长时间?2、一滴球形雨滴，以与它表面积成正比的速度蒸发。求其体积V关于时间的t的函数式。第34页，共41页，2023年，2月20日，星期四3、在进入供水系统之前，对原污水进行处理。可减少谁的污染。一种常用的处理方法是使用一只活化污泥交换箱，在交换箱内装有一种浓度为c的活性污泥。把污染度c1的原污水灌入箱内，细菌将消化掉一部分污物。剩下的较清洁的混合物别被注入一只贮水器中。按规定排出物的污染度不得超过安全标准，如0.3c1，故我们的问题是求出达到安全标准的时间。实际上。到那时(t)，可以把原污水引入一个交换箱中。而原箱内的活性污泥经交换处理后污染度由c降至一个适当的最低度c0。假定每分钟输进交换箱的污水为r1gal，而排出的水为r2gal，在t=0时，交换箱内有V0gal的污水，其中含有z0污染物。建立一个数学问题以求出何时应该对交换箱实行分流。第35页，共41页，2023年，2月20日，星期四第36页，共41页，2023年，2月20日，星期四4、如果一笔存款连同连续复利一道计算．在16年内翻了一番，问利率