导数在研究函数中的应用及生活优化问题

1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函

数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数求

导一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会

用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数求导

一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最

小值(对多项式函数求导一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.

呈现目标复习检测1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增.如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.如果

，那么f(x)在这个区间内为常数.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝0[思考探究1]

f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其

他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的

左侧

，右侧

，则点a叫做函数y

＝f(x)的

，f(a)叫做函数y＝f(x)的

.f′(x)＜0f′(x)＞

0极小值点极小值(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，则点b叫做函数

y＝f(x)的

，f(b)叫做函数y＝f(x)的

.极小值点、极大值点统称为

，极大值和极小值统称为

.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值3.函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数y＝f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比

较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[思考探究2]极值点一定是最值点这句话对吗？提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点.1.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(

)A.(2，＋∞)

B.(－∞，2)C.(－∞，0)D.(0,2)解析：∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＜0得，0＜x＜2，∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)答案：D自学检测2.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(

)A.a＝B.a＝1C.a＝2D.a≤0解析：y′＝3ax2－1，当a＝0时，y′＜0，适合；当a≠0时，因为函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则3ax2－1≤0在R上恒成立，即ax2≤恒成立，所以a＜0.答案：D3.f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(

)A.0B.1C.2D.3解析：导函数值恒大于或等于零，函数总单调递增.答案：A4.函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为

，单调减区间为

.解析：y′＝6x－＝.∵定义域为(0，＋∞)，由y′＞0得x＞1，∴增区间为(1，＋∞)；由y′＜0得0＜x＜1，∴减区间为(0,1)答案：(1，＋∞)

(0,1)5.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最

小值分别为M，m，则M－m＝

.解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：321.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的

各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把

函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定

函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.知识为例寻找工具2.证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x).(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号.(3)作出结论：f′(x)＞0时f(x)为增函数；f′(x)＜0时f(x)为减函数.3.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)

在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子

区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增

减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以

在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给

区间的任何一个子区间.

(2009·安徽高考)已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性.[思路点拨][课堂笔记]

f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根，X1＝，x2＝,0＜x1＜x2，x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增此时f(x)在(0，)上单调递增，在()上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.

是否存在实数a，使f(x)在(1,2)内为单调递增函数，若存在，求出a的取值范围？若不存在，说明理由.解：∵f(x)在(1,2)内为单调递增函数，∴f′(x)≥0在x∈(1,2)内恒成立.即x2－ax＋2≥0在x∈(1,2)内恒成立，∴a≤x＋，令h(x)＝x＋，x∈(1,2)，则≤h(x)＜3，∴a≤.又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤.运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：1.先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；2.求方程f′(x)＝0的根；3.检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，

么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在

这个根处取得极小值.[特别警示]可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同.不可导的点也可能是极值点.

(2009·天津高考改编)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.[思路点拨][课堂笔记]

(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m＞0，所以1＋m＞1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x(－∞，1－m)1－m(1－m,1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.在(1)的条件下，求f(x)在x∈[－1,3]上的最值.解：当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x.令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋0－f(x)00由上表可知，f(x)的最大值为，最小值为0.

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.

某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.[思路点拨][课堂笔记]

(1)∵y＝－2000(1－)·x＝3600x－，∴所求的函数关系式是y＝－＋3600x(x∈N*,1≤x≤40).(2)显然y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x<30时，y′>0；当30<x≤40时，y′<0.∴函数y＝－＋3600(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数.∴当x＝30时，函数y＝－＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－×303＋3600×30＝72000(元).∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元.

导数是每年高考的必考内容，利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值以及利用导数解决生活中的优化问题是高考考查的常规内容.09年辽宁高考将导数及其几何意义与函数的单调性、三角、不等式证明等问题综合考查，很好的考查了考生运用已有知识综合分析问题并解决问题的能力，是高考命题的一个新方向.

感悟验证拓展提高[考题印证](2009·辽宁高考)(12分)设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行.(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)证明：当θ∈[0，]时，|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.【解】

(1)f′(x)＝ex(ax2＋x＋1＋2ax＋1).由条件知，f′(1)＝0，故a＋3＋2a＝0⇒a＝－1.于是f′(x)＝ex(－x2－x＋2)＝－ex(x＋2)(x－1).┄┄(4分)故当x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(－2,1)时，f′(x)＞0.从而f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)内单调递减，在(－2,1)内单调递增.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)(2)证明：由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝e，最小值为f(0)＝1.┄┄(8分)从而对任意x1，x2∈[0,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤e－1＜2.而当θ∈[0，]时，cosθ，sinθ∈[0,1].从而|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.┄┄┄┄(12分)

[自主体验](文)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值.解：(1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0.所以m＝－3，代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)(2，＋∞)；由f′(x)＜0得0＜x＜2，故f(x)的单调递减区间是(0,2).(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－，a＋1)内无极值；当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值.综上得：当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值.1.函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增函数(

)A.()

B.(π，2π)C.()D.(2π，3π)达标检测解析：y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx当x∈()时，恒有xcosx＞0，∴原函数为增函数.答案：C2.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大

值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(

)A.－37B.－29C.－5D.以上都不对解析：f′(x)＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，∴m＝3，而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min＝－37.答案：A3.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图

所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(

)解析：由y＝f′(x)的图象易知当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，故函数y＝f(x)在区间(0,2)上单调递减.答案：C4.(2009·江苏高考)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区

间为

.解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)<0，解得：－1<x<11，故减区间为(－1,11).答案：(－1,11)5.(2009·辽宁高考)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，

则a＝

.解析：∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0，又f′(x)＝∴f′(1)＝＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋