《三角函数的定义》教案新部编本

教师学科教案[20–20学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《三角函数的定义》教案教学目标知识与技能1.理解并掌握任意角三角函数的定义。2.理解三角函数是以实数弦、余弦、正切函为自变量的函数。3.掌握正数的定义域。4.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号。5.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。过程与方法1.培养学生应用图形分析数学问题的能力。2.学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值。情感、态度与价值观通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神。二、教学重、难点教学重点1.三角函数的定义和定义域。2.三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等。教学难点根据任意角三角函数定义求三角函数值。正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数。三、教学方法引导法四、课时2课时五、教学过程第一课时教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:教师提出问题：初中是如何定义角的？师:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数.温故知新概念形成1．用坐标形式表示出中所学的锐角三角函数设点P（x,y）是锐角终边上的任意一点，记OP=r(r≠0),则，，2．任意角的三角函数设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)则P与原点的距离根据三角形的相似知识得到均为定值。比值叫做的正弦,记作：比值叫做的余弦,记作：比值叫做的正切,记作：(4)角的其它三种三角函数比值叫做的余切,记作：比值叫做的正割,记作：比值叫做的余割,记作：以坐标原点为锐角的顶点,以Ox轴为角的始边,则角的终边落在直角坐标系的第一象限内,若设点P(x,y)始终边上的任意一点,记OP=r(r≠0),试将角的三角函数用x,y,y表示出来.学生作图,教师在此过程中要引导学生在坐标系中做出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形.该过程中要适时指点学生,并加强学生与学生之间的讨论与交流.回答问题:教师通过多媒体将此过程展示给学生,明确坐标与三角函数的关系.教师提出问题:问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意角的三角函数定义吗?由学生讨论回答.问题2:角的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？这是一个较有思考价值的问题,教师要注意正确地引导和必要地提示,锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关,与直角三角形的大小无关,类似地-…问题3:依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，他们的自变量是什么？x还是y？r还是？将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中的讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。2．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。通过讨论，充分发挥学生学习的主动性概念深化1。角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。2．定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没用说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上的除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。3．三角函数是以“比值”为函数值的函数4．对于正弦函数sinα=，因为r>0所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域R;类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα=,因为x=0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x=0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义。现将它们列表如下:三角函数定义域sinαRcosαRtanα{α|α≠kπ+,k∈Z}对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题:谈到函数,定义域要先行.在此,对三角函数的定义与要进一步地明确,确定三角函数的定义域的依据就是任意角的三角函数的定义.三角函数是以角为自变量的函数,如何去确定这些函数定义域?他们的定义域是什么?由学生讨论回答让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角的终边，至于是转了几圈,安什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数包含锐角三角函数.实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。让学生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。应用举例例1.已知角的终边过点P(2,-3)，求的六个三角函数值.例2.求下列各角的六个三角函数值（1）0（2）π（3）学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导让学生巩固六种三角函数概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。归纳小结1。知识：三角函数的定义及其定义域2．数学思想方法：数形结合思想；类比法。让学生学会学习学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用布置作业层次一：教材练习A,1~3使学生进一步巩固和应用所学知识第2课时教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入任意角的三角函数定义教师提出问题：任意角的三角函数是如何定义的？温故知新，为新课引入埋下伏笔概念的形成1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离，比值只与角的大小有关.2．三角函数是以“比值”为函数值的函数。3．三角函数值的符号的讨论①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．教师提出问题：我们发现这三个比值中而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定请同学们探讨一下三角函数值的符号是如何？问题2。你能否归纳出更易记忆的规律？学生甲：记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.学生乙：为正全正为正为正学生丙：：由学生讨论得出新的结论应用举例例1.确定下列三角函数值的符号(1)cos260º(2)(3)tan(-672º20’)(4)例2.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角。例3填表：如表1学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导让学生巩固六种三角函数的符号，感受三角函数的定义在三角函数符号中的作用。巩固特殊三角函数值表1030456090120135150180270360弧度课堂练习1.确定下列各式的符号(1)sin10º·cos240º(2)sin5+tan52.x取什么值时,有意义?3.若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能4．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（）A:sin+cos0B:tansin0C:coscot0D:cotcsc05．已知是第三象限角且，问是第几象限角？6．已知，则为第几象限角？分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.BB∴必为第二象限角必为第二象限角学生板演，教师