届华杯赛真题详解第6决赛及答案

第六届“金杯”少年数学邀请决赛第一试试1

|x||x3.1415926| 2．n是自然数，Nn1n23n是n1n23nN可N210n的可能值共有多少个？100A，B6米和4.510分钟内（10分钟1甲和乙在途中迎面相遇多少次？2甲在途中追上乙多少次？3A，B8165厘米，且长宽比不小于2。若在任一盒子中放一层边长为5厘米的小立方体，无40％，现往1要使得最大的盒子开始往外溢，最少要注进去多少立方厘米的水？若干台计算机联网，要求：1任意两台之间最多用一条电缆连接；2任意三31600条，问：1网的计算机有多少台？2这些计算机按要求联网，最少需要连多少条电缆？决赛试题第二代数式rvzrwysuzswxtuytvx中，r，s，t，u，v，w，x，y，z可以分1或－1，iii1，2，…，99，100100个数排成一个数列：a1a2a99a100。已知数6个是a66094个是a9498，其他的不知道是什么数。如果相邻两数aiai11040之间的质数填入图中的圆圈中，使得三组由“

某工厂生产一 布安装12个小球， 下图所示。若两个 可以圆心对圆心，红球对红球白球对白球叠放在 起，我们说它们属于同一规格问：该工厂生产的这 类玩具一共可以有多少种不同1208个质数（不一定不同436294长边和短边的比例都是2：1的长方形称为基本长方形，用短边互不相同的1 2用短边互不相同且最小短边为1a1，a2，a3，a4，a5为5个短边，且a11a2a3a4a5，大长方形记为(a1a2a3a4a5。试题答题12345答05题6789答4题答试题详【分析与解答】绝对值号作用后得到一个非负的数。要使左边为0 |y8||2y7.13| 由（2）y11(2y7.13y117018.505y21158x1.5707963,y

x1.5707963y1151【分析与解答】N210N210N是n1n23n的最小公倍数，说明这些数中每个数含质210210个。 根据以上分析，n的取值范围从 ]1到 ]即342到682，共341个 341个可能值。10t秒时甲乙迎面相遇，则有：(4.56)t2k11100k1为非负整数，并且t600解出0k131k132t200200320063 (64.5)t2k21100k2为非负整数，并且t600t20020032009 T＝3，10，17，24，31）52705k10，那么a1024；如果k8，那么a1111111112进制51110。这都不可能，只能是aka911个球，此后对每个ai，如果ai1则无需添球就可以分成两堆，如果ai018个球，因此在到a98－1＝70，也就是a1到a811。如果是a81，那么：如果是a71，那么a10100000012进制＝64110a6a5等为1a更小，均不合要求7691122010qxy10pq5x，y2面的比例至少是2 440%，不合题目要求。所以y只能为12 2 把y＝1代入25xy(5xp)(5yq) 条件：x4。我们再结合另一个长宽比条件考虑。x＝12，所以5p102qp52qp5x＝22，所以10p102q，p，q最大的一组取值是5和2.5。此时重新刚才被我们弱化了的覆盖面积条件：小立方体覆盖积占底面积的15

x＝2x＝3p，q515＋5：10＋5>2，覆盖面积占53545

40要求此时底面积为(155)(105)200平方厘米容积 也就是注入1200立方厘米的水时最大的盒子开始往外溢。另一方面，根据覆盖1125立方厘米的水。x<4是弱化了的覆盖面积条件，x＝1，2，3的各情况，我们需要重新原覆盖面积条件，排除x＝1，2的可能，最后定下x＝3，y＝1。AAAA相MAN台。第一组的内部连线数是确定的，根据条件2MN条连线，但按照条件2BCMBC相连，也就是说第二组中每增加一MN条。MN+M条（MA与第一组的连线数。我们设M+N=X，MN＋M1600M＝（X＋1）/2，N＝（X－1）/2时得到。X＝79A80台。379A【评注】这是一个推理计数问题。解决第一问时用到了条件1，2，解决第二3M【分析与解答】该代数式每项都是16项所以和是偶数。1，4，512，3，6项都取－16，6项积为－16r2s2t2u2v2w2x2y2z21。641，两项取－1rstvwz1,uxy141或－1，所以110060985954次，9894，95，96，9745811006098100，99，97，96，95，60，94，…，8，7，98，6，5，4，3，2，1100从a1交换到a10099次，99交换到a9998次，986次，9796次，96交换95次，95交换949461，每个数i交换i2次，然后又是60交换59次，…，2交换1次。共计584825同的交换次数规律，我们以60和98为界划分区间，对不同区间的数作不同的讨a1a2a3b3b2b1如果a3＋b3除以32，那么只可能a3，b3除以31，进而a1，b1，a2，b231631831也不可能。a3＋b33a3b3a3，b3只能在17，19，23，29中取。这四个数中19除以31，其他除以3都余2，所以a3，b319。b3＝19a3<b3，a317AB111317192329313717193723137，不可能。a3＝19，b3＝2329。可能的两种填法是：【分析与解答】我们“同一规格”的一组球放法中的共同特征，不难发3a，b，c，那么（c，a，b）经旋转后都属于同一种规格。同时白球共有9个，应当满足abc9abc0a010a19组……一直到a1552x1x2xkxk1x83组解对应一种规格。abc55111934，8，36294这样的数，这提示我们在分析时可以利用数关于8同余的性质。一个偶数的平方是4的倍数，一个奇数的平方除以818k28－k个奇质数。8个质数为：2x1x2xkxk1x8做P，根据题设，有4(Pk)36294 2...x2。左边除以8分别余0或k 86－kk26。分别再代入检验：k＝28084k＝6从而我们有256xx36318x2x27 x2x236318x2x2的范围在32 到19219236336256xx37040142xx144x7 7 20x711x813【评注】这道题的是在条件不充分的情况下解多元方程。利用到关于余1个，2个，3个，4个kk长方1（1，2个1长方形的长边拼长边，短边拼短边的拼法均不成立，只能是两个1长方形的212（1，2，2.5）（1，2，5长方形可能是3长方形添加1长方形，也可能是2长方形添加2长方形得到，这两种情况可能还有交叠即某拼法既可以看作3＋1也可以看作2＋2。值得3＋1的拼法中，31长方形可能有：长边拼长边，短边拼：4长方形的拼法为(1,2,2.25,2.5),(1,2,2.5,4.5),(1,2,2.5,5),(1,2,5,6),(1,2,5,12)5(1,2,5,6,11)，(1,2,2.5,4.5,7)，(1,2,2.5,4.5,14)，(1,2,5,12,14.5)，(1,2,5,12,29)(1,2,2.25,2.5,4.5) 1，2，3，4长方形的组合：16避免重复，遗漏或者不合题意（比其中两个基本长方形短