等比数列知识点总结与典型例题

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1、等比数列的定义：2、通项公式：

an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：qqana?q?n?mnamaman?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比an?1推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：

（1）假使a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?ab或

A??ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?14、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q?1时，Sn?na1（2）当q?1时，Sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'为1?q1?q常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或为等比数列

（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列（3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列6、等比数列的证明方法：

an?1?q(q为常数，an?0)?{an}an依据定义：若

an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列an?17、等比数列的性质：

（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。

（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

ak（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{}，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，{n}bnan（k为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{an}为等比数列，每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列

（6）假使{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列（7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列

a1?0，则{an}为递增数列{（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列a1?0，则{an}为递减数列②当0一、等差和等比数列比较：

定义递推公式通项公式中项A?等差数列an?1?an?d等比数列an?1?q(q?0)anan?an?1q；an?amqn?man?an?1?d；an?am?n?mdan?a1?(n?1)dan?a1qn?1（a1,q?0）an?k?an?k（n,k?N*,n?k?0）2Sn?n(a1?an)2G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0）前n项和n(n?1)Sn?na1?d2?na1(q?1)?Sn??a11?qna1?anq?(q?2)?1?q?1?q??重要性质

am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)二、等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y前n项和：Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d2性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为nd；

（3）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1?bmT2m?1（4）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数2n的等差数列?an?，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)

S偶?SS奇n奇?nd，

S?a偶a.n?1(6)项数为奇数2n?1的等差数列?an?，有

S2n?1?(2n?1)an(aS奇n为中间项)，S奇?S偶?an，

S?n偶n?1.三、等比数列的定义与性质

定义：

an?1a?q（q为常数，q?0）

，通项：a?1n?a1qn.n等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.

?na1前n项和：S?(q?1)n???a1?1?qn?（要注意q?1?q(q?1)！）

性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn.

四、数列求和的常用方法：

1、裂项分组法：

1111?2?2?3?3?4??1（nn?1）?(1111?2)?(2?13)?(13?14)??(1n?1n?1)?11n1?n?1?n?1、

11111,2,3,4,的前n和是：392781

1111（+12+3+4+）+（+++?）3927812、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，例

：

求

：

Sn=x?3x2?5x3?解：

Sn=x?3x2?5x3?xSn=x2?3x3?5x4?(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn(x?1)

?(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn(x?1)①?(2n-5)xn-1?(2n-3)xn?(2n-1)xn+1(x?1)②

①减②得：

(1?x)Sn=x??2x2?2x3?

?2xn-1?2xn???2n?1?xn+1n+1?x?2x2?1?xn-1?1?x??2n?1?x

从而求出Sn。

错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式；(3)用①?②，错位相减；(4)化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：

Sn=a1?a2?a3?两式相加可得：

?an?2?